התפלגות ברנולי
מאפיינים |
---|
פרמטרים |
– ההסתברות ל"הצלחה"
|
---|
תומך |
|
---|
פונקציית הסתברות (pmf) |
|
---|
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf) |
|
---|
תוחלת |
|
---|
סטיית תקן |
|
---|
חציון |
|
---|
ערך שכיח |
|
---|
שונות |
|
---|
אנטרופיה |
|
---|
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf) |
|
---|
פונקציה אופיינית |
|
---|
צידוד |
|
---|
גבנוניות |
|
---|
בסטטיסטיקה ובתורת ההסתברות, התפלגות ברנולי, על שם המתמטיקאי השווייצרי יאקוב ברנולי, היא התפלגות בדידה של משתנה מקרי המקבל ערך או ערך בהסתברות ו-. מקרה פרטי של התפלגות זו מתאים לתיאור מערכות בהן יש שני מצבים – הצלחה או כישלון. במקרה זה מקובל לסמן את ההסתברות להצלחה באות p, ואת ההסתברות המשלימה ב- (כלומר: ).
למשל, בקובייה הוגנת ההסתברות לנפילה על היא, ולפיכך ההסתברות המשלימה המתייחסת לכל שאר התוצאות (1,2,3,4,5) היא . אם תסומן התוצאה כהצלחה וכל שאר התוצאות האחרות ככישלון, אז המשתנה המציין את המאורע המתאים הוא בעל התפלגות ברנולי עם פרמטר .
את העובדה שלמשתנה מקרי יש התפלגות ברנולי מסמנים (לעיתים ). והשונות שלו היא . משתנה בעל התפלגות ברנולי מקיים את התכונה לכל (שהרי הערכים 0 ו־1 מקיימים שוויון זה), ומכאן שכל המומנטים של משתנה כזה שווים ל־.
משתני ברנולי הם אבני הבניין של ההתפלגות הבינומית. סכום של משתני ברנולי בלתי תלויים בעלי הסתברות הצלחה p הוא בעל התפלגות בינומית כללית, (ובפרט, ההתפלגות היא התפלגות ברנולי).
אם הוא משתנה מקרי המתפלג ברנולי, אזי:
פונקציית הסתברות של התפלגות זו, עבור ערך אפשרי k היא:
צורה שקולה לביטוי זה היא:
או:
בצורה זו ניתן להבחין בדמיון הרב להתפלגות בינומית, אשר התפלגות ברנולי היא מקרה פרטי עבור .
גבנוניות ההתפלגות שואפת לאינסוף עבור ערכים גבוהים או נמוכים של . עבור ערכי ההתפלגות יוצרת משפחה מעריכית ואומד הנראות המרבית של עבור מדגם מקרי הוא ממוצע הדגימה.
התוחלת של משתנה מקרי המתפלג ברנולי היא:
זאת משום שעבור בו יחד עם מתקבל:
השונות של משתנה מקרי המתפלג ברנולי היא:
ראשית,
ומכאן:
כמובטח.