משתמש:Avneref/חינוך/התנסות בהוראת מתמטיקה/תקציר הרשקוביץ

גם בתוך: משתמש:Avneref/חינוך/מתמטיקה מחקר והוראה

אספקטים קוגניטיביים

אספקטים קוגניטיביים בהוראה ובלמידה של גאומטריה, רינה הרשקוביץ, מכון ויצמן למדע חלק א', חלק ב'

ז'אן פיאז'ה

• הפרדה בין העולם הראלי, לעולם בתודעת התלמיד. במעבר ביניהם, התלמיד משמר תכונות של העצמים שהוא חווה - בגיל צעיר, הוא תופס תחילה תכונות טופולוגיות לא-אוקלידיות: סגירות של קוי המתאר, קשירות, פנים-חוץ; אח"כ הוא תופס תכונות אוקלידיות: אורכי קטעים, גודל זוויות.
  • מרטין (Martin, J.L. 1976a, 1976b) חלק עליו: נכונות למטלות מסוימות בלבד; חלק גדול מבני 4 לא משמרים תכונות כלל, ואלה המשמרים - גם תכונות אוקלידיות.
• שימור התכונות במעבר מהמציאות לתודעה - הכרחי לפעילות אחרת: מדידת אורך, שטח, נפח, זווית.
  • טלומיס (Taloumis, T. 1975) חלקה עליו: הכשרים תלויים זה בזה, אך לא בהכרח בכיוון אחד.
• הרשקוביץ: אין מסקנה סופית.

הזוג ואן הילי

Dina van Hiele-Geldof, Pierre van Hiele, אין ויקיפדיה אנגלית!

• המודל של ואן הילי להתפתחות המחשבה הגאומטרית:

1. ויזואליזציה: תפיסה של מראה הצורות
2. אנליזה: מזהים תכונות, אך לא רואים קשר לוגי ביניהן; אנליזה לא-פורמלית
3. הפשטה: מזהים קשר לוגי; לא תופסים מבנה דדוקטיבי כשלמות אחת
4. דדוקציה: מבינים את מבנה האקסיומה, הגדרות, היקשים, משפט (מתמטיקה)
5. תפיסה של מערכת דדוקטיבית מופשטת; החלפה של מערכת אקסיומות זו בזו; גילוי משפטים חדשים

• לא קיימת "זכירה" בלבד; המעבר מרמה אחת לבאה - לינארי, ללא דילוג; הרמות בדידות - למידה מתרחשת ב"קפיצות"; קצב שונה לתלמידים שונים; לא ניתן להבין הנמקות ברמה גבוהה מזו שנמצאים (לכן, למי שברמה 2, הסברים מרמה 4 לא יביאו אותו לרמה 4); בניגוד לפיאז'ה - הלמידה תלויה בעיקר בהוראה, ולא בגיל או בבגרות ביולוגית.
• המודל השפיע מאד; בברית המועצות שונתה שיטת הלימוד כדי לשפר את הרמה הנמוכה בגאומטריה, והיא הצליחה. בארה"ב רק בשנות השבעים, בעקבות המאמר של Wirszup ב-1976. כללית, השיטה הצליחה גם שם, אך בשנות ה-80 מחקרים הראו, שהרמות אינן לגמרי דיסקרטיות, ולא גלובליות: תלמיד יכול לעבור מרמה אחת לשנייה באותה מטלה.
• הרשקוביץ: אם התאוריה נכונה - אז (1) המטרה העליונה של גאומטריה היא המערכת הדדוקטיבית; (2) שליטה בגאומטריה כ"מדע המרחב" הכרחית להבנתה כ"מערכת דדוקטיבית". ספרי הלימוד לא מתחשבים בכך, ולכן תלמידים לא מצליחים לעבור מרמה 2 לרמה 4.
• בן-חיים, לפן והואנג (Ben-Chaim, Lappan, Haung, 1989): הסיק שיש ילדים (כשליש) התופסים מרחב באופן גרפי, שליש באופן מילולי, וכשליש באופן משולב גרפי-מילולי. מחקר של (Mukhopadheya, 1987) מצא שרקע תרבותי - מקצוע ההורים - משפיע מאד על תפיסה של צורות תלת-מימדיות.
• האם יכולת ויזואלית ניתנת לרכישה? - נראה שכן, אך היא בעייתית גם אחרי שנלמדה.

חלק שני

בניית מושגים

• אב טיפוס (Prototype): נרכשת ראשונה, תת-קבוצה של של כל דוגמות המושג, שבד"כ מכילה את הרשימה הארוכה ביותר של תכונות. למשל: הפנימיות של הגובה במשולש.
• מרכיבים במושג: קריטיים (מהותיים, חייבים להימצא); לא-קריטיים
  • כדי להבהיר מה מהותי למושג, אפשר להשתמש בדוגמות שליליות: מה הוא לא (המושג); הרשקוביץ: מורים כמעט לא משמתשים בכיתה.
• זה מורכב: בניית מושגים גאומטריים היא כנראה מזיגה של תהליכים ויזואליים, ואנליטיים; בנייה עשויה להשתנות אצל אותו תלמיד, ממושג אחד לאחר.
• איך למנוע יצירת מושגים מוגבלים-ויזואלית? יש שני קצוות:
  • מהמחקרים ברוסיה (Zykova 1969): סביבת לימודים עניה-ויזואלית
  • תפיסה מוגבלת: בניה של מושגים מוגבלים-ויזואלית, גם בסביבה עשירה. הרשקוביץ: האמת נמצאת באמצע.

גאומטריה כמערכת דדוקטיבית: כישלון רחב. הסיבות:

1. הזניחו את הגילוי העצמי של הכלל או המשפט; מנחיתים על הילדים את המשפטים, ומלמדים רק הוכחות.
2. אין בגרות לוגית שדרושה כדי להבין את הצורך בהוכחה פורמלית, ואת ההוכחה עצמה.

יכולים לסייע: הוכחה בעזרת מחשב; הרשקוביץ: יכולים לסייע בתהליכים אינדוקטיביים, שיהיו חוליה מקשרת בין גאומטריה כמדע-המרחב, לבין גאומטריה כתחום-ידע דדוקטיבי.

• המשער הגאומטרי של שוורץ וירושלמי, 1987
• CABRI, 1987 (כמו גאוגברה, )

תהליכי הוכחה

• הוכחה ליחיד ("הוכחה מסבירה")
  • הסבר נאיבי
  • הסבר איטואיטיבי
  • הבנה של כל שלב, ללא הבנה כוללת
  • הבנה של המכלול, ללא הפרטים
• הוכחה מתמטית פורמלית ("הוכחה שמוכיחה")

הרשקוביץ: הדרך להבנה של ההוכחה הפורמלית עוברת, בדירוג, ברכיבי ההוכחה ליחיד.
בנוסף:

• תלמידים לא משוכנעים שההוכחות שנלמדו בכיתה ישימות גם בעולם "שבחוץ", ותקפות גם במקרים אחרים (גם אם הם מקיימים אותם תנאים).
• אישוש: פישביין וקדם (1982) הראו, שרוב גדול (כ-90%) לא בטוחים שהוכחה (גם אחרי שהבינו והסכימו) תקפה באופן אוניברסלי, בכל המקרים; טענו שאולי צריך לבדוק עוד מקרים פרטיים.

סיפור

מתוך ילקוט מעם לועז
על השאלה למה יש צדיק ורע לו רשע וטוב לו, מספרים על האבן עזרא המעשה:
שני אנשים היו הולכים בדרך וישבו לאכול, והיה לאחד מהם שלש חלות לחם ולחבירו לא היו אלא ב’ חלות. בא אליהם עובר אורח ואמר להם: אחי, רעב אני ואין לי לחם לאכול, אולי תתנו לי לאכול מפתכם ואשלם לכם. נתרצו לו, ושיתפו אותו בסעודתם. ואכלו השלשה את חמשת החלות. והוא נתן להם חמשה זהובים. ונתעוררה השאלה כיצד יחלקו ביניהם את חמשת הזהובים. בעל ג’ החלות טען שיתנו לו ג’ זהובים, שהרי היו לו ג’ חלות; ובעל ב’ החלות טען שיחלקו הכסף לחצאים; שהרי האורח אכל משניהם בשוה, ולא הקפיד לאכול משלו יותר. ובהתעצמם החליטו להביא הדבר בפני רב העיר, ופסק: בעל ג’ החלות יקח ד’ זהובים, ובעל הב’ יקח זהוב אחד.
כששמעו העומדים גזר הדין צחקו, אמרו: הנה הרב פסק לזה יותר ממה שתבע, שהרי בעל ג’ החלות ביקש רק ג’ זהובים, והוא פסק לו ד’ זהובים - אין זאת כי משפט מסולף הוציא.
כששמע זאת הרב אבן עזרא אמר להם: אם אין אתם יכולים לרדת לסוף דעתו של שופט בשר ודם, כיצד אתם רוצים להבין משפטי השי"ת (השם יתברך)?! בואו ואסבירכם את גזר הדין. כי כל אחד מהשלשתם אכלו שליש הלחם, שהרי כולם אכלו בחבורה באופן שוה. וכאשר נחלק כל לחם לג’ שלישים, הרי ט"ו שלישים. וכל אחד אכל חמשה שלישים ( $5/3$ ). נמצא שאותו שהיה לו ב’ חלות ( $2=6/3$ ) אכל ה' שלישים, ולא נתן מלחמו אלא שליש אחד ( $6/3-5/3=1/3$ ), ומגיע לו זהוב אחד; ואילו בעל ג’ החלות היה לחמו ט’ שלישים ( $9/3$ ), הורידו מזה ה’ שלישים שאכל הוא, נמצא שאכל האורח מפתו ד’ שלישים ( $9/3-5/3=4/3$ ), ומגיעים לו ד’ זהובים. וזהו שאומר דוד המלך ע”ה: משפטי ד’ אמת צדקו יחדיו s:תהלים יט י, הן מה שרואים צדיק ורע לו והן זה שרשע וטוב לו, צודקים הם.