משתמש:Avneref/חינוך/מתמטיקה מחקר והוראה

מתמטיקה: מחקר והוראה, רותי ברקאי

הבנה רלציונית והבנה אינסטרומנטלית

ריצ'רד סקמפ (אין ויקיפדיה בכלל, יש ויקי-mathed)

• הבנה רלציונית: הסיבות, מה יש לעשות ומדוע
• הבנה אינסטרומנטלית: מכנית, מה יש לעשות ללא הבנה

מרכיבים פורמליים, אלגוריתמיים ואינטואיטיביים

אפרים פישביין; מציגים: דורון אבידר, ישי רסקין, יעקב מוניץ
היבטים של מתמטיקה כפעילות אנושית:

• פורמלי: מרכיבי הליבה: אקסיומה, הגדרה, משפט, הוכחה. חשיבות הדיוק, הרגשת הלכידות והעקביות, יכולת להניח במנותק מאילוצים מעשיים.
• אלגוריתםי: לא ניתן לפעול במתמטיקה באופן מקיף רק על פי המושגים הפורמליים - יש להיות מאומנים בדרך שאושרה כנכונה.
• אינטואיטיבי: חשובה להבנה מיידית; אבל היא יכולה להכשיל! היסטורית: גאומטריה אוקלידית פותחה ביוון העתיקה, וגאומטריה לא-אוקלידית - רק 2,000 שנה אחר כך, כי היא אינה מבוססת על אינטואיציה.

אינסוף בכוח: סדרה של מספרים, בזה אחר זה, ללא מספר אחרון - ניתן לתפיסה אינטואיטיבית; אינסוף בפועל: קבוצה אינסופית (שקיימת כולה עכשיו, ללא תהליך שמוביל אליה) - לא-אינטואיטיבי; גדולי המתמטיקאים: היוונים, קרל פרידריך גאוס, אנרי פואנקרה - דחו את המושג; עד שבא גאורג קנטור
טעויות: תפיסות מוטעות, טעויות שיטתיות, כשלי אפיסטמולוגיה
טעויות נפוצות:

• הכפלה בשבר: מצפים לתוצאה גדולה יותר.
• הפיכה של מחסר ומחוסר
• טעויות בתפיסה של קבוצות
• חוסר הבנה של היחס בין מרכיבים פורמליים, לבין מרכיבים אלגוריתמיים. לימוד עיוור של אלגוריתם מוביל ל-צמצום אסור של איברים חופשיים בשבר; פתיחת סוגריים של סינוס, לוג; וכו'

אספקטים קוגנטיביים בהוראת גיאומטריה

רינה הרשקוביץ, מכון וייצמן למדע
משתמש:Avneref/חינוך/התנסות בהוראת מתמטיקה/תקציר הרשקוביץ

• גאומטריה - מדע המרחב
• גאומטריה - מבנה לוגיקה
• ז'אן פיאז'ה: טופולוגיה
• מודל ואן היילי, אוניברסיטת אוטרכט: 5 רמות

1. ויזואליזציה: תפיסה של צורות
2. אנליזה: הכרת צורות על פי תכונותיהן.
3. הפשטה: קשרים בין תכונות של מושג גיאומטרי, קשרים בין מושגים גיאומטריים
4. דדוקציה: תפקיד של אקסיומה, הגדרה, משפט, הוכחה
5. יכולת "לגלות" משפטים חדשים, ושיטות הוכחה

בשום רמה, לא ניתן לדבר על זיכרון בלבד; המעבר מרמה לרמה הינו על פי הסדר; תלמידים שונים עוברים רמות בקצב שונה; תלמידים ברמת הנמקה מסוימת לא יוכלו להבין הנמקות ברמה גבוהה יותר; התקדמות מרמה לאחרת תלויה בהוראה יותר מאשר בגיל, או בבגרות ביולוגית.

קשיים; יכולת אנליטית; גאומטריה כמבנה לוגי-דדוקטיבי; אינדוקטיבי; הוכחה
להיות מודעים לדרגות ההצדקה של התלמיד; להתחיל הוראה בהסברי התלמיד; לכוון אותו לשלב ההצדקה הרצוי

כללים אינטואיטיביים במדע ובמתמטיקה

רות סתוי, דינה תירוש; מציגות: קרין נעמן, רויטל פלבניק, אחינועם דלה-טורה, עמוס ביבלניק

• יותר מ-A, יותר מ-B
  • מטלות שימור (שימור הכמות, אך לא החזות)
  • מטלות מדעיות (למשל: נפילה של גופים שונים במסתם)
  • מטלות מתמטיות (למשל: 25% ממשהו, 80% ממשהו אחר)

מה מקור הכלל? -

• מולד; דוגמה: שלצדפיים (לוכד צדפות, Oystercatcher) דוגר על יותר ביצים, או יותר גדולות - גם לא שלו
• הככלת-יתר, מהתנסויות מוצלחות

כללים אחרים (לא במאמר הזה):

• כש-A שווה, גם B שווה
• כל דבר ניתן לחציה.

צמיחת הידע בהוראה

לי שולמן: אלה המבינים: צמיחת הידע בהוראה; מציגים: איתן, רן, איציק
המצגת ב-Prezi

• ”מי שיכול - עושה; מי שלא יכול - מלמד” (ג'ורג' ברנרד שו)
• שולמן חולק: ”מי שיכול - עושה; מי שמבין - מלמד”

צמיחת הידע בהוראה

• מה המורה יודע, ומתי למד את זה?
• מה מקורותיו של הידע של המורים?
• כיצד מאוחזר ידע ישן?
• כיצד ידע ישן וחדש משולבים יחד ליצירת בסיס-ידע חדש?
• כיצד נרכש ידע חדש?

ידע מורים

• ידע מקצועי: מורים צריכים להיות מסוגלים להסביר - מדוע טענה נחשבת למוצדקת, מדוע ראוי לדעת אותה, וכיצד היא קשורה לטענות אחרות.
• ידע פדגוגי: צורות ייצוג חלופיות, מהמחקר וגם מהפרקטיקה; באילו שיטות להשתמש כדי לארגן מחדש את הידע של הלומדים, כי הם לא טאבולה ראסה.
• ידע קוריקולרי: תוכניות הלימוד בכל התחומים והגילאים, ואין הן מתחברות

צורות ידע

• הגדי. למשל, מערך שיעור הוא בן 5 חלקים; לא לחייך עד חנוכה...; קשיים: זכירה, אין הקשר, אין רגש
• מקרים. למשל, התמודדות עם הפרעה בכיתה; קשיים: מורים מתחילים, מקובעוּת
• אסטרטגי. בד"כ נובע מהתנגשות שני הקודמים: דילמות מוסריות; קשיים: דורש השקעה, בסיס לחילוקי דעות

יש לפתח בחינות מקצועיות למורים, שיכללו את כל סוגי הידע; ייכתבו ע"י מורים.

הבטים פדגוגיים של ההוכחה

גילה חנה; מציגות: שני, מאירה, ליטל, ויויאן חמתי-עבדו

• הוכחה פורמלית; אריסטו ואפלטון, לייבניץ, פרגה, הילברט
• הוכחה מקובלת
• הוכחה שמוכיחה
• הוכחה מסבירה

נורמות סוציו-מתמטיות

יאקל, ארנה; קוב, פול (1996). נורמות סוציו-מתמטיות, הצגת טיעונים ועצמאות במתמטיקה. מתוך: עיונים בחינוך המתמטי, מקראה. עריכה: גילי שמאע (2002). עמ' 207-229.

• נורמהות סוציו-מתמטיות, במקום נורמות חברתיות. ציפיה מהתלמידים להסביר פתרונות ודרכי חשיבה - נורמה חברתית, מה נחשב להסבר מתמטי קביל - נורמה סוציו-מתמטית.
• פתרונות שונים: לא להגיע למצב של השוואת פתרונות; כן לעבור מהקשבה וניסיון להבין את הפתרונות של אחרים - לזיהוי נקודות דמיון ושוני בין פתרונות שונים; המורה לא שאל אם למישהו יש דרך מתוחכמת או יעילה יותר, ולא התייחס במפורש לפתרון אחד כטוב יותר מאחר.
• המורה: משתתף שיכול להעניק לגיטימציה להיבטים מסוימים של הפעילות המתמטית של הילדים, ולהעביר ביקורת מרומזת על היבטים אחרים.
• ריבוי פתרונות מספק למורים מידע על היכולת ועל ההבנה של התלמידים. ההבנה תורמת להבנה המתפתחת של המורה על מה שעשוי להיות מתוחכם ויעיל בעבור הילדים.
• הפיכה של ההסבר עצמו, לאובייקט לחשיבה
• מטרתו העיקרית של החינוך היא עצמאות!
• הנורמות הסוציו-מתמטיות שנבנות, עשויות להיות שונות בכיתות שונות; במסגרת תהליך המשא ומתן על הנורמות, בנו התלמידים אמונות וערכים אישיים, שאפשרו להם להיות יותר ויותר עצמאיים במתמטיקה.
• לסיכום: למורה יש תפקיד מרכזי
  • תמיכה בדיון מתמטי
  • נימוק קביל
  • בהירות ההסבר
  • עצמאות מחשבתית

חרדה ממתמטיקה

חרדת מתמטיקה

הרשקוביץ

[1] הרשקוביץ, ש., רוטנברג, ש. (2013). הוראה בדרך של יצירת רצף הצלחות כדרך להפחתת חרדה ממתמטיקה. על"ה: עלון למורי המתמטיקה ,48, עמ' 5-14.

• חרדה מרתיעה תלמידים מלבחור במתמטיקה; מפריעה בלימוד, גם לחזקים.
• יש קשר קל בין חרדה ממתמטיקה לחרדת-בחינות בכלל; אך נמצאה רמת חרדה מובהקת גם אצל לא-חרדנים (וכמובן אצל חרדנים).
• לא מפתיע: נמצא קשר מובהק (Hembree 1990) בין חרדה לבין השגים נמוכים, יחס שלילי למקוצע, ודימוי עצמי נמוך. מתמטיקה במקום 1 במעוררי חרדה (יערי 1999).
• בעקבות הקשר: בתכניות הלימודים הוכללה מטרה ל"עצב יחס חיובי" ולא לפתח חרדה (משרד החינוך 1988, 1990) ו"מניעת כישלון... וחיבוב המקצוע (2006).
• הנחה: אחד הגורמים העיקריים הוא רצף כשלונות בעבר. למידה מעצימה (ברנדט 2000). גם: אזולאי 2006.

המחקר

• ניסויי (התערבותי), עם שיטת לימוד והערכה ייחודית; ניתוח תוצאות: כמותני, ובנוסף לכך שיחה כללית, וראיונות עם חלקן.
• 18 לתמידות כיתה י"ב, 3 יחידות לימוד, בי"ס במרכז.
• שאלון לבדיקה של רמת חרדה (Hopko 2003): מהימנות a=0.952, עם 12 פריטים, דירוג 0 עד 4.
• שאלון לפני, תקופת לימוד של 15 שיעורים במשך חודש, שאלון אחרי.
• ניסוי: אינטגרלים
• שאלון: ירידה של כ-25% בחרדה, בעיקר מהלמידה; מיעוט הירידה בחרדה מהערכה.
• ראיון: רובן דיווחו על ירידה בחרדה; חלקן היו עדיין לחוצות לפני בוחן-פתע, או לפני שיעורי בית לבד. ש' דיווחה על חרדה קבועה, בגלל שזה מתמטיקה.
  • מ' דיווחה על עליה בחרדה: קודם הייתה מיואשת ולכן אדישה, כעת יש לה שאיפה להצליח.
• הזמנה להמשך המחקר, בהיקף גדול יותר, עם משתנים: נושאים, תקופה, גיל, מגדר, השתייכות אתנית וסוציאלית.

רוטנברג

[2] רוטנברג, ש., הרשקוביץ, ש. (2013). היווצרותו של "דימוי עצמי מתמטי" והשפעתו על החרדה ממתמטיקה. על"ה: עלון למורי המתמטיקה, 49, עמ' 17-26.

• מטרה: למצוא את מקור הדימוי העצמי-מתמטי
• (מירי עמית 2010), שהייתה מפמ"רית: חרדה ממתמטיקה היא גורם ראשון לכשרון בבגרות, גם אצל חזקים. NCTM בארה"ב (1991) כללו בין המטרות: להכיר בחשיבות, ולטפח ביטחון עצמי. גם בישראל: 1988, 2006 (באמצע זה נעלם).
• Tobias, 1993: החרדה מונעת מאנשים לממש כישוריהם, אם צריך לפגוש מתמטיקה.
• (פסיה צמיר 1996) הציעה: 4 מקורות לחרדה ממתמטיקה

1. בגלל המתמטיקה: היררכית, נוקשה, מדוייקת;
2. הלימוד בבית הספר: פרונטאלי, לא מרתק, קשה להערכה
3. החברה: הורים, סביבה
4. הלומד

• דימוי עצמי באשר למתמטיקה: תוצר מובהק של רצף בהיסטוריה (Klifer 1972). קיים מתאם גדול בינו לבין הצלחה (Reyes 1984).
• Tobias: יש מיתוס, שרק למתמטיקה דרוש כשרון טבעי.
• הגורם השני: חרדה מהערכה (גריס 1993, Buxton 1991).
• טיפול: בעיקר בחרדת בחינות; השאר: בחרדה בכלל, אבל אין התייחסות לדימוי העצמי!

שאלות המחקר

1. באיזו מידה הדימוי העצמי הנמוך במתמטיקה קשור לחרדה או לרתיעה ממתמטיקה?
2. האם יש קשר בין חרדה או חוסר ביטחון עצמי במתמטיקה, לחרדה או חוסר ביטחון עצמי בכלל?
3. מהם הגורמים להיווצרותו של חוסר הביטחון העצמי במתמטיקה?

המאפיינים של קבוצת המחקר

• אוכלוסיה: 9 נשים מגילים שונים, 14 - 47; כולן הצהירו על חרדה ממתמטיקה, ולא הורגש צורך לבדוק זאת בשאלון.
• יכולת לימודית: משתנה, נטיה לגבוה

ממצאים

• השוואה של יכולת מתמטית להשגים במתמטיקה: 2 העריכו את יכולתן יותר מההשגים שלהן, 3 העריכו פחות מההשגים.
• כולן הביעו רגשות שליליים למתמטיקה, ובעיקר: כלפי אפשרות הכישלון, הקושי, התסכול. אבל רק 5 קשרו בין כישלון לבין תהליך הלימוד; מסקנת החוקרות: יש תחושות שליליות לא-מודעות. לכן: יש צורך ב"חוויה מתקנת".
• כשנשאלו על הסיבות לדימוי, לדעתן - רובן הצביעו על רצף הכישלונות.

מסקנות

1. אצל הרוב: דימוי עצמי נמוך במתמטיקה, למרות השגים סבירים אצל חלקן
2. כנראה, לא קשור לביטחון עצמי כללי, לא לחרדת-בחינות, ולא למקצועות אחרים.
3. נראה שהגורם העיקרי לדימוי: רצף כלשונות וקשיים; ולא: מורים, הורים או החברה

המחקר הבא: בדיקה של השפעה של תיקון של הדימוי על שיפור היכולת, וזאת ללא טיפול קליני בחרדות עצמן

המאמרים

• Dina Tirosh, Ruhama Even. To Define Or Not To Define: The Case Of (-8)⅓
  • http://link.springer.com/article/10.1023%2FA%3A1002916606955
• Younggi Choi and Jonghoon Do. Equality Involved in 0.999... and (-8)⅓
  • http://www.jstor.org/stable/40248503?seq=1#page_scan_tab_contents

זלמן ארן

סמסטר ב'

אי-שוויוןים

${\sqrt {(x-3)^{2}}}\geq 3\Rightarrow x^{2}-6x+p\geq 9\Rightarrow x^{2}-6x\geq 0\Rightarrow x(x-6)\geq 0\Rightarrow (x\leq 0)or(6\leq x)$

פעולות נכונות:

• העלאה בריבוע, כששני האגפים חיוביים
• כששני האגפים שליליים - העלאה בריבוע, והפיכת סימן האי-שוויון

פעולות לא נכונות:

• הוצאת שורש של ריבוע: יש לרשום ערך מוחלט
  • ${\sqrt {(x-3)^{2}}}=x-3$ (לא נכון כאשר x<3, למשל: x=2); ${\sqrt {(x-3)^{2}}}=|x-3|$ (נכון)
  • $x^{2}>0\Rightarrow |x|>0$ אם x>0 אז: x>0, אם x<0 אז: x<0; איחוד: x>0 או x<0, כלומר: x שונה מ-0.
  • $x^{2}<0\Rightarrow |x|<0$ אם x>0 אז: x<0, אם x<0 אז: x>0; איחוד: אין פתרון.