ספירה (גאומטריה)

בגאומטריה ובטופולוגיה, ספֵירה היא קבוצת הנקודות שמרחקן מנקודה מסוימת ("המרכז") הוא קבוע. ספירה היא השפה של כדור. בגאומטריה, המונח "ספירה" מתייחס בדרך כלל לספירה הדו-ממדית, שהיא שפתו של הכדור התלת־ממדי (ראו איור משמאל). באופן כללי, הספירה המתאימה לכדור n-ממדי היא יריעה מממד n-1. כך למשל הספירה החד-ממדית היא המעגל, שפתו של העיגול, שהוא הכדור הדו-ממדי. בטופולוגיה יש חשיבות לספירה מכל ממד שהוא; את הספירה מממד n מסמנים ב- $\ S^{n}$.

ספירה מסתובבת

גאומטריה

במרחב האוקלידי ה-n ממדי, ספירה היא קבוצת כל הנקודות שמרחקן מנקודה קבועה - מרכז הספירה - הוא קבוע חיובי. קבוע זה נקרא הרדיוס של הספירה. כאשר r=1 הספירה נקראת ספירת היחידה. המימד של ספירה במרחב ה-n ממדי הוא n-1.

משוואה מגדירה ותאור פרמטרי

המשוואה המתארת ספירה דו-ממדית שמרכזה בנקודה $\ (x_{0},y_{0},z_{0})$ ורדיוסה r היא $(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}\,$. ניתן להציג את הספירה בקואורדינטות ספריות, שבהן כל נקודה מתוארת באמצעות שתי זוויות: $x=x_{0}+r\sin \theta \;\cos \phi$, $y=y_{0}+r\sin \theta \;\sin \phi \,$ ו- $z=z_{0}+r\cos \theta \,$ (כאשר $0\leq \theta \leq \pi$, $-\pi <\phi \leq \pi$).

מושגים קשורים

שתי נקודות על הספירה נקראות נקודות אנטיפודיות אם הקו הישר שעובר דרכן הוא קוטר. לכל נקודה על הספירה קיימת נקודה אנטיפודית יחידה, והמרחק ביניהן הוא המרחק המקסימלי בין כל שתי נקודות על הספירה. אם מרכז הספירה הוא ראשית הצירים אז הנקודה האנטיפודית ל- ${\vec {x}}$ היא $-{\vec {x}}$.

אנרגיית וילמור מהווה מדד של סטיית משטח סגור מספירה דו-ממדית.

הספירה ה-n ממדית

שטח פנים של כדורים n ממדיים, עבור n בין 1 ל 25 (בציר ה-x), עבור רדיוסים שונים (צבעים שונים).

ניתן להכליל את הספירה על ידי ההצגה הגאומטרית שלה כשפה של הכדור התלת־ממדי. לכל n טבעי הספירה ה-n ממדית מוגדרת להיות השפה של הכדור ה-n+1 ממדי (תמיד ממד הכדור שהספירה חוסמת גדול באחד מממד הספירה). ממד זה הוא ממדייי הספירה כיריעה טופולוגית. כך מתקבל (עבור הרדיוס r):

• הספירה ה-0 ממדית היא זוג הנקודות {r,-r}
• הספירה החד-ממדית היא המעגל ברדיוס r.
• הספירה הדו-ממדית היא הספירה הרגילה, מעטפת הכדור התלת־ממדי.
• הספירה התלת־ממדית היא אוסף נקודות במרחב הארבע-ממדי שמרחקן ממרכז הספירה הוא r.

את ספירת היחידה ה-n ממדית מסמנים ב-$\mathbb {S} ^{n}$. כל הספירות ה-n ממדיות דיפאומורפיות ולכן ברב השימושים אין הבדל בין ספירה כלשהי לספירת היחידה. לפי נוסחת המרחק האוקלידי, ספירת היחידה ה-n ממדית שממורכזת בראשית הצירים היא

$\mathbb {S} ^{n}=\ \{(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},x_{n+1})\in \mathbb {R} ^{n+1}|\ \sum _{i=1}^{n+1}x_{i}^{2}=1\ \}$.

שטח פנים ונפח של ספירה n-ממדית

הנפח הלכוד בתוך ספירה דו-ממדית הוא $V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$. שטח הפנים שלה $A=4\pi r^{2}$. באופן כללי יותר, שטח הפנים של ספירה n-1 ממדית ברדיוס 1 הוא $2{\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma (n/2)}}$, כאשר $\ \Gamma (z)$ היא פונקציית גמא של אוילר.

נוסחה מפורשת לשטח הפנים של ספירה n-1 ממדית: $A_{n-1}(r)={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}{\bigr )}}}r^{n-1}={\begin{cases}\displaystyle {\frac {(2\pi )^{n/2}\,r^{n-1}}{2\cdot 4\cdots (n-2)}},&{\text{if }}n{\text{ is even}};\\\\\displaystyle {\frac {2(2\pi )^{(n-1)/2}\,r^{n-1}}{1\cdot 3\cdots (n-2)}},&{\text{if }}n{\text{ is odd}}.\end{cases}}$,

ונפח הכדור התחום על ידי הספירה הוא שטח הפנים כפול ${r \over n}$, כלומר $V_{n}(r)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}+1{\bigr )}}}r^{n}={\begin{cases}\displaystyle {\frac {(2\pi )^{n/2}\,r^{n}}{2\cdot 4\cdots n}},&{\text{if }}n{\text{ is even}};\\\\\displaystyle {\frac {2(2\pi )^{(n-1)/2}\,r^{n}}{1\cdot 3\cdots n}},&{\text{if }}n{\text{ is odd}}.\end{cases}}$.

ספירה במרחבים מטריים

הספירה מוגדרת כאוסף הנקודות שמרחקן מנקודה מסוימת, המרכז, הוא קבוע. בהתאם לכך הכללת מושג הספירה למרחב מטרי כללי X היא טבעית- הספירה שמרכזה x ורדיוסה r היא אוסף כל הנקודות שמרחקן מ-x הוא בדיוק r.

$\ S(x,r)=\left\{y\in X:d(x,y)=r\right\}=\partial B(x,r)$

זוהי קבוצה סגורה וחסומה. ייתכן שהספירה תהיה קבוצה ריקה, כך לדוגמה במרחב $\mathbb {Z} ^{2}$ עם המטריקה האוקלידית הספירה $S(0,{\sqrt {3}})$ היא קבוצה ריקה כי לא קיימים $x,y\in \mathbb {Z}$ כך ש- $\ x^{2}+y^{2}={\sqrt {3}}^{2}=3$.

ספירות טופולוגית

קבוצה במרחב טופולוגי כללי נקראת ספירה n-ממדית אם היא הומאומורפית לספירה ה-n ממדית במרחב האוקלידי. ככזו היא יריעה טופולוגית מממד n, אבל לא בהכרח חלקה. יתר על כן קיימות ספירות טופולוגיות שהן גם יריעות חלקות, אבל אינן דיפאומורפיות לספירה ה-n ממדית הרגילה.

אפיון קלין מאפיין את הספירה הדו-ממדית כמרחב הטופולוגי המטריזבילי הקשיר מקומית היחיד (פרט לנקודה) המופרד על ידי כל מסילה רציפה ושאינו ניתן להפרדה על ידי שתי נקודות.

הספירה הרב-ממדית בספרות

• בנובלה שטוחלנדיה של אדווין אבוט אבוט ישנן מספר התייחסויות לספירה התלת-ממדית ולספירה הארבע-ממדית.
• במאמר שפורסם בכתב העת האמריקני לפיזיקה, מארק פטרסון מתאר שלוש דרכים שונות לדמיין ספירות תלת-ממדיות, ומצביע על תיאורים מילוליים של העולמות בקומדיה האלוהית אשר מראים כי ייתכן שדנטה דימה את היקום באופן המזכיר את הגאומטריה של הספירה התלת-ממדית $\mathbb {S} ^{3}$; הפיזיקאי האיטלקי קרלו רובלי מצדד גם הוא בפרשנות זו. ביצירתו דנטה דימה את העולם הבא כיקום ימי ביניימי שבמרכזו הגיהנום, כשאת מעגלי קווי הרוחב מחליפות ספירות דו-ממדיות שהולכות וקטנות; ככל שהדמות הראשית דנטה הרחיקה לכת כך היא ראתה עולמות מקודשים יותר המאוכלסים על ידי נשמות טובות, קדושים ומלאכים - ובסוף מסעה הגיעה לספירה המרוחקת ביותר המכווצת לנקודה: אלוהים המצוי בנקודה האנטיפודית לשטן.

ראו גם

• כדור (גאומטריה)
• כדור (טופולוגיה)
• קואורדינטות כדוריות
• גאומטריה ספירית

קישורים חיצוניים

• ספירה, באתר MathWorld (באנגלית)
• ספירה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• הגאומטריה והטופולוגיה של יריעות ספיריות