שתי רכבות המרוחקות 200 ק"מ זו מזו יוצאות באותה שעה זו לקראת זו, במהירות של 100 קמ"ש כל אחת. מיד עם צאתן יוצא זבוב מתחילת הרכבת האחת, ועף במהירות של 150 קמ"ש לעבר הרכבת האחרת. ברגע שהוא מגיע אליה, הוא הופך את כיוון מעופו, ועף אל הרכבת שממנה יצא. כך ממשיך הזבוב במעופו בין הרכבות, עד לרגע שבו הן מתנגשות ומוחצות אותו. מה אורכו של המסלול שעבר הזבוב?
יש גם חידת בונוס!
פתרון
פתרון החידה קל למדי כאשר משתמשים בנוסחה הפשוטה של הפיזיקה הקלאסית s = vt, האומרת שבתנועה במהירות קבועה, הדרך שווה למהירות כפול הזמן. הרכבות עוברות מרחק של 200 ק"מ, כשכל אחת מהן נוסעת במהירות של 100 קמ"ש, ולכן נסיעתן נמשכת שעה אחת בדיוק. הזבוב עף במהירות של 150 קמ"ש, ולכן במשך שעה יעבור מרחק של 150 ק"מ - זהו אורך המסלול שלו.
אדם שחד חידה זו למתמטיקאי ג'ון פון נוימן קיבל ממנו בִּן רגע תשובה נכונה. השואל ציין באוזני פון נוימן שיש המנסים לפתור את החידה באמצעות חישוב סכום הטור של אורכי הקטעים המרכיבים את מסלול הזבוב. "כך בדיוק עשיתי", ענה פון נוימן.
חידת בונוס: שתי מכוניות מתחילות צמודות זו לזו, ונוסעות לכיוונים הפוכים, כל אחת במהירות של 100 קמ"ש. ברגע שהן מתחילות בנסיעתן, זבוב שנמצא ביניהן מתחיל לעוף מאחת לשנייה וחזרה במהירות של 200 קמ"ש. אחרי שעה, איפה יהיה הזבוב?
פתרון
הזבוב יכול להיות בכל מקום בין שתי המכוניות. הוכחה: חישבו על המצב ההפוך בו המכוניות מרוחקות 200 ק"מ זו מזו והן נעות זו לקראת זו במהירות 100 קמ"ש כל אחת, והזבוב נע ממיקומו הנוכחי (מקום כלשהו בין המכוניות) ממכונית למכונית במהירות 200 קמ"ש, עד לפגישת המכוניות (כעבור שעה). הרצת הסרט בכוון ההפוך תראה שהזבוב יגיע אחרי שעה למיקום שבחרתם.
על ארכימדס מסופר שבעקבות עיסוקו במנופים אמר: "תנו לי נקודת משען ואניף את העולם". ובכן, פלאי העניק לארכימדס נקודת משען ומנוף. בקצהו האחד של המנוף, שמרחקו מנקודת המשען שווה לרדיוסכדור הארץ (6,400 ק"מ) מונח כדור הארץ, שמסתו 6×1024 ק"ג. בקצהו האחר נמצא ארכימדס, שמסתו 100 ק"ג. בהנחה שארכימדס וכדור הארץ נמצאים בשדה כבידה משותף ושמסת המנוף זניחה, באיזה מרחק מנקודת המשען צריך להימצא ארכימדס כדי להניף את כדור הארץ? איזה מרחק על ארכימדס לעבור כדי להניף את כדור הארץ למרחק של ס"מ אחד? כמה זמן נחוץ לארכימדס לעבור מרחק זה בהנחה שמהירותו היא עשירית ממהירות האור?
R – רדיוס כדור הארץ, שהוא גם מרחקה של נקודת המשען מנקודת המגע של כדור הארץ במנוף: 6,400 ק"מ.
m – מסתו של ארכימדס: 100 ק"ג.
D – מרחקו של ארכימדס מנקודת המשען.
מתקיים:
ומכאן:
נציב את הערכים הנתונים, ונקבל שמרחקו של ארכימדס מנקודת המשען הוא 3.84×1026 ק"מ, מרחק הגדול פי אלף בקירוב מרדיוס היקום הנראה.
כדי להניף את כדור הארץ למרחק של ס"מ אחד על ארכימדס לעבור מרחק של ס"מ, שהם 6×1022 ס"מ, השווים ל-6×1017 ק"מ. שנת אור היא בקירוב 1013 ק"מ ולכן, בהנחה שמהירותו של ארכימדס היא עשירית ממהירות האור, יידרשו לו 6×105 שנים כדי לעבור מרחק זה.
ביום קיץ חם יצאת להפלגה בסירת מפרש. למרבה האכזבה הרוח פסקה, והסירה עומדת בלב ים בלי נוע. אתה יושב בירכתי הסירה ובידך מכל אוויר דחוס, ואתה שוקל להשתמש בו כדי להפיח רוח במפרש. האם יש בכך תועלת? האם תוכל למצוא שימוש אחר למכל על מנת להניע את סירת המפרש?
פתרון
אם כל האוויר היוצא מהמכל יפגע במפרש, הסירה תמשיך לעמוד ללא תנועה, אך אם המפרש לא יעצור את כל האוויר היוצא מהמכל, הסירה תנוע דווקא לאחור (כלומר בכיוון הפוך לכיוון תנועת האוויר מהמכל).
דרך טובה יותר לניצול המכל היא קיפול המפרש והפניית המכל מהירכתיים לא בכיוון החרטום אלא לכיוון ההפוך, וכך ישמש המכל כמנוע סילון להנעת הסירה קדימה.
אדם נסע מהרצליה לחיפה במהירות של 90 קמ"ש, וחזר במהירות של 60 קמ"ש. מהי המהירות הממוצעת של נסיעתו? רמז: התשובה איננה 75 קמ"ש.
פתרון
הנטייה היא לקחת את הממוצע החשבוני, הנותן מהירות ממוצעת של 75 קמ"ש, אך הממוצע החשבוני אינו מתאים לחישוב מהירות ממוצעת זו. לחישוב המהירות הממוצעת נשתמש בנוסחה הבסיסית הקושרת בין מרחק, מהירות וזמן, . נסמן את המרחק בין הרצליה לחיפה ב-. זמן הנסיעה הלוך הוא וזמן הנסיעה חזור הוא . זמן הנסיעה הכולל הוא לפיכך , ולכן המהירות הממוצעת שווה למרחק הכולל חלקי הזמן הכולל, כלומר היא
ביטוי השווה ל-
, ומכאן שהמהירות הממוצעת היא 72 קמ"ש. ממוצע זה קרוי ממוצע הרמוני.
ארכימדס שט בכנרת בסירה. תוך כדי השיט הוא לוקח כדור ברזל כבד הנמצא בסירה ומשליך אותו לכנרת. מה יקרה כתוצאה מכך למפלס הכנרת?
פתרון
כאשר הכדור צף (בזכות היותו בסירה), הוא דוחק מים שמשקלם כמשקלו. כאשר הכדור שקוע במים, הוא דוחק מים שנפחם כנפחו. כיוון שהמשקל הסגולי של ברזל גדול מזה של מים (ולכן הכדור שוקע במים), כמות המים שהכדור דוחק כאשר הוא צף גדולה מזו שהוא דוחק כאשר הוא שקוע, ולכן בעקבות השלכת הכדור מהסירה למים מפלס הכנרת ירד.
גיבורי ספרו של ז'ול ורן, "מסע אל בטן האדמה", יוצאים למסע אל מרכז כדור הארץ. מה קורה למשקלם ככל שהם מתקרבים למרכז כדור הארץ (בהנחה שגופם אינו משתנה במהלך המסע), האם הוא עולה, יורד או נותר ללא שינוי?
פתרון
משקלו של חפץ על פני כדור הארץ משקף את כוח הכבידה שמפעיל עליו כדור הארץ. ככל שגיבורי המסע מתקרבים למרכז כדור הארץ, כך גדל כוח הכבידה שמפעיל חלק כדור הארץ שמעליו, ולכן משקל יורד ככל שהם מתקרבים למרכז כדור הארץ.
חידת בונוס: היכן אדם יכול לעמוד זקוף, כך שגם ראשו וגם כפות רגליו פונים כלפי מעלה?
נוסף על כך, לפי תורת היחסות הכללית, המודל הגיאוצנטרי והמודל ההליוצנטרי שניהם כשרים, ונבדלים בבחירת מערכת הצירים ובפשטותם. אך מודל גאוצנטרי מדויק נראה שונה לגמרי מהמודל הגיאוצנטרי העתיק. מסלולי כוכבי הלכת בו אינם מעגלים ואף לא אליפסות, אלא צורות דמויות פרחים מורכבים כמו בשרטוט שכאן. גרוע מזה - המסלולים אינם חוזרים על עצמם במדויק, כך ששרטוט מלא של המודל יכלול צפיפות אינסופית של קווי המסלול - כלומר, לא ניתן לביצוע.
מסלולו של מאדים ביחס לכדוא הארץ בין 2008 ל 2013. שונה מאד מהמעגלים הנחמדים של מודל תלמי
נהג נוסע מתל אביב לחיפה במהירות של 50 קמ"ש. באיזה מהירות עליו לשוב כדי שמהירותו הממוצעת, הלוך ושוב, תהיה 100 קמ"ש?
פתרון
לשם הכפלת המהירות הממוצעת מ-50 קמ"ש ל-100 קמ"ש על הנהג לעשות את הדרך הלוך ושוב בזמן זהה לזמן שבו עשה את הדרך הלוך בלבד, ולכן את הדרך חזרה עליו לעשות במהירות אינסופית.
בתיבה גדולה ואטומה נמצאות שלוש נורות להט, ומחוץ לתיבה יש שלושה מפסקים שכל אחד מהם מאפשר להדליק ולכבות את הנורה המחוברת אליו. במצב התחלתי כל הנורות כבויות (המפסקים במצב Off), ותוכלו ללחוץ על המפסקים כמה פעמים שתרצו, ואז לפתוח את התיבה פעם אחת ולזהות איזה נורה מחוברת לאיזה מפסק. איך תעשו זאת?
פתרון
נעביר שני מפסקים למצב On, וכעבור דקות אחדות נעביר אחד משני מפסקים אלה למצב Off. נפתח את התיבה ונגלה שהנורה הדולקת מחוברת למפסק שבמצב On, הנורה הכבויה החמה מחוברת למפסק שהיה במצב On והוחזר למצב Off, והנורה הכבויה הקרה מחוברת למפסק שנותר כל הזמן במצב Off.
אברהם ויצחק ניצבים בשני קצותיו של מסלול שאורכו קילומטר אחד. כל אחד מהם מתחיל, בו-זמנית, לנוע אל הקצה הנגדי. אברהם עושה זאת בהליכה, ויצחק עושה זאת בריצה, במהירות גדולה פי 2.5 מזו של אברהם. יצחק מגיע לקצה המסלול 6 דקות לפני שאברהם מגיע לקצה המסלול. בכמה דקות עבר אברהם את המסלול?
פתרון
נסמן את מהירותו של אברהם בקמ"ש ב-, ומכאן שמהירותו של יצחק היא
. נשתמש בנוסחה הבסיסית הקושרת בין מרחק, מהירות וזמן, ונקבל ממנה כי . לפי נתוני החידה
(כיוון שאנו מודדים את המהירות בקמ"ש, הפרש הזמנים, 6 דקות, נרשם כ-0.1 שעה). פתרון המשוואה נותן קמ"ש, ולכן את המרחק של קילומטר אחד עבר אברהם ב- שעה, כלומר ב-10 דקות (ויצחק עשה זאת ב-4 דקות).
פתרון נוסף: נסמן את מהירותו של אברהם בקמ"ש ב-, ואת זמן הליכתו ב-. נציג את נתוני החידה בשתי משוואות:
פתרון מערכת המשוואות נותן: .
מקור: More Mathematical Puzzles of Sam Loyd, חידה 137
אף שנפח הקומקום השמאלי גדול במידה ניכרת מנפח הקומקום הימני, כמות המים שכל קומקום מסוגל להכיל מוכתבת על ידי גובה הזרבובית (כמובן גם על ידי הגודל של הקומקום), משום שמים גבוהים מגובה זה יישפכו דרך הזרבובית. כיוון שכך, דווקא הקומקום הימני, שזרבוביתו גבוהה יותר, מסוגל להכיל יותר מים.
על כפות המאזניים הנחת משקולת ברזל ומנגד ערימת נוצות. בשפי ובנחת הוספת והחסרת נוצות עד שהמאזניים מאוזנים למשעי. מיד לאחר מכן גנבת את החללית אפולו, הטענת בה את המאזניים, המשקולת והנוצות, וטסת לירח. על קרקע הירח שוב ביצעת את המדידה. מה יראו המאזניים כעת?
פתרון
הכף עם הנוצות תכריע. על פני כדור הארץ, פרט לכבידה פועל כוח עילוי אותו קל לחשב על פי חוק ארכימדס. מאחר שנפח הנוצות גדול הרבה יותר, כוח העילוי מקל על הכף עליה מונחות הנוצות. על פני הירח שורר ואקום, ולכן אין כוח עילוי - ונחשפת האמת המרה, שמסת הנוצות גדולה ממסת המשקולת. על פני כוכב הלכת נוגה האטמוספירה צפופה הרבה יותר מאשר על כדור הארץ, ואם יתבצע הניסוי על ידי שרידיו החרוכים של האסטרונאוט האומלל, המשקולת היא שתכריע את הכף.
במשחק קליעה למטרה קיבל כל שחקן 100 כדורים, פגיעה במטרה מזכה ב6 נקודות, פספוס מוריד 8 נקודוות,
בסוף המשחק השחקנים יצאו במצב כזה,
שחקן א: 320 נקודות
שחקן ב: 250 נקודות
שחקן ג: 138 נקודות
שחקן ד: 502 נקודות
חשבו כמה קליעות קלע כל שחקן, וכמה פספוסים פספס כל אחד.
.jpg)
.jpg)
