שיחה:תחשיב הפסוקים

לא יודע, יכול להיות שאני מעט מבולבל, אבל לדעתי המשפט "אם A אז לא A" אינו סתירה (שקרי תמיד) אם ערך האמת של A הוא שיקרי אז אנחנו נקבל F -> T שלפי טבלת האמת של "אם אז" היא אמיתית. ITK98 - שיחה 02:51, 5 ביוני 2008 (IDT)

צודק - תיקנתי את הדוגמה בהתאם. רונן א. קידר - שיחה 13:29, 5 ביוני 2008 (IDT)

אני רוצה להציע להחליף את השימוש בשמו של הקשר A-->B שנקרא במאמר קשר "אם-אז" ולקרוא לו קשר הגרירה, ובמילים, A גורר B. לדעתי זה שם יותר מוצלח. Rockyrackoon - שיחה

אני גם רוצה להציע להשתמש במילה "עקבית" במקום במילה "קונסיסטנטית". עבור דוברי עברית המילה "עקבית" תהיה נהירה יותר, וכל מקרה זה התרגום למילה "קונסיסטנטית". כמוכן אני מציע להגדיר קונסיסטנטית של קבוצה ע"י: קבוצת נוסחאות (אולי עדיף לומר פסוקים?) היא עקבית אם ורק אם ישנה אינטרפרטציה שבה כל פסוקי הקבוצה מקבלים ערך אמת. Rockyrackoon - שיחה

שיניתי את הדוגמאות לצורה יותר פורמלית, והוספתי את ההגדרה הרקורסיבית של WFF. וגם תיקוני לשון, כולל תרגום לעברית כמו שהצעת. Elaz85 - שיחה 15:04, 26 באוגוסט 2010 (IDT)

אבן הפינה

מזה "אבן הפינה", בקישור לערך, לא מוסברת המילה לפי ההקשר שיש בערך. אז מה משמעות הביטוי "אבן הפינה"? --79.179.13.137 15:35, 3 במאי 2010 (IDT)

אכן, הקישור לערך מיותר, כיוון שמדובר בביטוי ולא באבן הפינה של מבנה. לשאלתך, "אבן פינה" משמעו "דבר מה המהווה יסוד לתחום, תפישה או ז'אנר מסויים", ובהקשר שלנו, משמעותו שרוב הלוגיקה המתמטית המתקדמת מתבססת על, או עושה שימוש אינטנסיבי בתחביר הפסוקים. Elaz85 - שיחה 15:08, 26 באוגוסט 2010 (IDT)

טעות בטבלת ה-XOR

יש לעניות דעתי טעות בטבלת האמת של התנאי הכפול, אם הכוונה היא לטבלת אמת של שער XOR אז בתוצאת המשוואות יש להחליף בין ה-T וה-F.  הודעה זו נכתבה באמצעות מערכת המשוב. 
109.66.32.3 20:07, 17 בפברואר 2013 (IST)

תנאי כפול איננו XOR ואינו אמור להיראות כמו XOR. גלעד ניר - שיחה 21:16, 21 בפברואר 2013 (IST)

שינוי שם -> תחשיב הפסוקים

למה ערך זה נקרא "תחשיב פסוקים", וערך אחר נקרא "תחשיב הפרדיקטים"? ‏VirtuOZ‏ • שיחה 22:25, 18 באוגוסט 2015 (IDT)

זה פשוט שונה, תקרא את הערכים Uhbcrd451 - שיחה

לא הבנת. כוונתי הייתה מדוע שמו של ערך זה אינו בה"א הידיעה. ‏VirtuOZ‏ • שיחה 21:29, 21 באוגוסט 2015 (IDT)

אה.. באמת צריך לשנות ל"תחשיב הפסוקים", כמדומני שזה המקובל Uhbcrd451 - שיחה 14:20, 23 באוגוסט 2015 (IDT)

בחלוף שבוע ובאין מתנגדים, שמו של דף זה שונה מ"תחשיב פסוקים" ל"תחשיב הפסוקים". תבנית {{שינוי שם}} בראש דף זה הוסרה. ‏VirtuOZ‏ • שיחה 16:31, 30 באוגוסט 2015 (IDT)

הזחה

יש פה שימוש משונה בתווי :::: לשם הזחה.

זה לא דבר שמקובל בוויקיפדיה וזה גורם לבעיות בעריכה.

אני אפילו לא כל־כך מבין מה כן אמור להיות מפה, אבל אולי אפשר לפתור את זה באמצעות טבלה. --אמיר א׳ אהרוני, שנחשב לנודניק · שיחה 17:34, 24 באוגוסט 2015 (IDT)

הוכחה ריגורוזית לטאוטולוגיות

לאור בקשתו של משתמש:עוזי ו. דיון זה הועבר לפה מן הדף ויקיפדיה:הכה את המומחה/שאלות במדעים מדויקים. יהודה שמחה ולדמן ⁃ שיחה 15:04, 24 במרץ 2024 (IST)

אשמח מאוד לקבל הסבר לוגי מילולי ומנומק היטב (לא טבלת אמת ולא תוך שימוש בקשרים לוגיים אחרים כלשהם):
מדוע מתקיים $a\to (b\to c)\models (a\to b)\to (a\to c)$? יהודה שמחה ולדמן ⁃ שיחה 08:58, 17 במרץ 2024 (IST)

למה אתה מתכוון בסימון $\models$? לפי ,

A formula R is said to tautologically imply a formula S if every valuation that causes R to be true also causes S to be true. This situation is denoted $R\models S$. It is equivalent to the formula $R\to S$ being a tautology (Kleene 1967 p. 27).

עוזי ו. ⁃ שיחה 11:07, 17 במרץ 2024 (IST)

אני שואל איך מנמקים לוגית למה $a\to (b\to c)$ "גורר" $(a\to b)\to (a\to c)$.

לעניות דעתי גם מתקיים $a\to (b\to c)\equiv (a\to b)\to (a\to c)$. אני צודק או טועה? (והנה לך טאוטולוגיה בחנם.)

ברור לי כי אפשר להראות זאת באמצעות תרגום לקשרים לוגיים אחרים או באמצעות טבלת אמת, אך אני מחפש נימוק מילולי. יהודה שמחה ולדמן ⁃ שיחה 12:41, 17 במרץ 2024 (IST)

אני מבין שהדיון אינו על נכונות הטענה הטאוטולוגית, אלא על מהותה של הוכחה בהקשר הזה.

בלוגיקה פסוקית, נוסחה היא טאוטולוגיה אם כל התוצאות בטבלת האמת שלה הן T. זו בדיקה של "כל המקרים".

אני מבין את חוסר הנחת מהוכחה כזו. אבל אתה צריך לשאול את עצמך איזה סוג של הוכחה יכול לספק עבור טענות כאלה. מהן האקסיומות שמהן אתה מצפה להוכיח את הטענה?

אפשר, למשל, באמצעות מודוס פוננס (שהוא בעצם הכלל שמנוסח במשפט שציטטתי לעיל). רוצים להוכיח $(a\to (b\to c))\to ((a\to b)\to (a\to c))$. זה שקול לטענה ש-$(a\to (b\to c))\models ((a\to b)\to (a\to c))$ (כלומר, כאשר מתקיימת ההנחה $a\to (b\to c)$, מתקיימת בהכרח גם המסקנה $(a\to b)\to (a\to c)$). לפי אותו הסבר, זה שקול לטענה ש-$\{(a\to (b\to c)),a\to b\}\models a\to c$ (כדי להוכיח "אם X אז Y", מניחים את X ומוכיחים את Y). שוב, זה שקול לטענה ש-$\{(a\to (b\to c)),a\to b,a\}\models c$. אבל כעת אפשר לחלץ מההנחות באמצעות מודוס פוננס את המסקנות $b\to c,b$, ומהן את המסקנה הרצויה $c$. עוזי ו. ⁃ שיחה 13:49, 17 במרץ 2024 (IST)

ומדוע הטענה ${\bigl \{}a\to (b\to c),a\to b,a{\bigr \}}\vdash c$ אינה שקולה לטענה ${\bigl (}a\to (b\to c){\bigr )}\to {\bigl (}(a\to b)\to c){\bigr )}$ (שאינה טאוטולוגיה)? יהודה שמחה ולדמן ⁃ שיחה 15:48, 17 במרץ 2024 (IST)

משום שבמעבר הזה חסרה ההנחה a. מההנחות שהעתקת לכאן אפשר להוכיח את הטאוטולוגיה $a\to {\bigl (}{\bigl (}a\to (b\to c){\bigr )}\to {\bigl (}(a\to b)\to c{\bigr )}{\bigr )}$... עוזי ו. ⁃ שיחה 21:37, 17 במרץ 2024 (IST)

1. האם גם הביטוי $a\to {\bigl (}(b\to c)\to {\bigl (}(a\to b)\to c{\bigr )}{\bigr )}$ טאוטולוגיה?
2. מישהו אמר לי פעם כי כאכסיומה של תחשיב הפסוקים, הטענה ${\bigl (}a\to (b\to c){\bigr )}\to {\bigl (}(a\to b)\to (a\to c){\bigr )}$ חזקה יותר מהטענה $(b\to c)\to {\bigl (}(a\to b)\to (a\to c){\bigr )}$. מדוע כך הדבר? יהודה שמחה ולדמן ⁃ שיחה 08:54, 18 במרץ 2024 (IST)

   האקסיומה החזקה שציינת בהתחלה, נקראת חוק טרנזיטיביות הגרירה, והיא יחד עם שתי אקסיומות נוספות (חוק אי הסתירה וחוק השלישי הנמנע) ממצות את תחשיב הפסוקים כולו, כלומר כדי להוכיח כל פסוק שבתחשיב הפסוקים, מספיק להישען על שלושת החוקים הנ"ל. זה אינו נכון לגבי הפסוק השני שציינת, גם אם יצטרף לחוק אי הסתירה ולחוק השלישי הנמנע. ‫2A06:C701:427F:A900:B552:C10D:40A2:7B31‬ 12:49, 19 במרץ 2024 (IST)

מדוע? עוזי ו. ⁃ שיחה 13:12, 19 במרץ 2024 (IST)

סליחה, בטעות עירבבתי, בין הטאוטולוגיה הראשונה שצויינה בתגובתו האחרונה הנ"ל של יהודה שמחה (מעליי), לבין חוק טרנזיטיביות הגרירה $.(a\to b)\to ((b\to c)\to (a\to c))$ לגבי הטאוטולוגיות שציין יהודה שמחה, אני צריך לבדוק האם הן מספיקות (בצירוף חוק אי הסתירה וחוק השלישי הנמנע) כדי למצות את תחשיב הפסוקים. ‫2A06:C701:427F:A900:B552:C10D:40A2:7B31‬ 13:38, 19 במרץ 2024 (IST)

1. כן, זו טאוטולוגיה. כדי לבדוק טענה מהסוג $\psi _{1}\to (\psi _{2}\to (\cdots \varphi ))$, יש להניח את כל ההנחות $\psi _{1},\psi _{2},\cdots ,\psi _{n}$ ולראות האם המסקנה נובעת מהן.

2. אפשר לדרג טאוטולוגיות מהסוג $\alpha \to \beta$ ולומר ש-$\alpha \to \beta$ חזקה יותר מ-$\alpha '\to \beta '$ אם $\alpha '\to \beta$ ו-$\beta \to \beta '$ הן טאוטולוגיות (זה מתקבל על הדעת משום שמהטענה החזקה נובעת במקרה כזה הטענה החלשה: $\alpha '\implies \alpha \implies \beta \implies \beta '$). אבל הנימוק של האלמוני מעלי עמוק יותר. עוזי ו. ⁃ שיחה 13:12, 19 במרץ 2024 (IST)

אני חושב שהתכוונת לכתוב: הטאוטולוגיה $\alpha '\to \beta '$ חזקה יותר מהטאוטולוגיה $\alpha \to \beta$ אם $\alpha '\to \alpha ,\beta \to \beta '$ הן טאוטולוגיות. הלא כן? יהודה שמחה ולדמן ⁃ שיחה 19:38, 19 במרץ 2024 (IST)

אני מכיר רק הוכחה ע"י טבלאות אמת, או ע"י המרת קשר הגרירה לקשרי "גם" ו"אם", כלומר:

${\begin{aligned}&a\to (b\to c)\\&\neg a\lor (\neg b\lor c)\\&(\neg b)\lor \neg a\lor c\\&((a\lor \neg a)\land \neg b)\lor \neg a\lor c\\&((a\land \neg b)\lor (\neg a\land \neg b))\lor \neg a\lor c\\&(a\land \neg b)\lor ((\neg a\land \neg b)\lor \neg a)\lor c\\&(a\land \neg b)\lor (\neg a)\lor c\\&(\neg \neg a\land \neg b)\lor \neg a\lor c\\&\neg (\neg a\lor b)\lor (\neg a\lor c)\\&(a\to b)\to (a\to c)\end{aligned}}$

‫2A06:C701:427F:A900:B552:C10D:40A2:7B31‬ 18:40, 17 במרץ 2024 (IST)

אני לא יודע מי אתה בדיוק, אבל לא הצדקת את המעבר משורה 3 (ל־4) [ל-7]. יהודה שמחה ולדמן ⁃ שיחה 20:30, 17 במרץ 2024 (IST)

(ביקשת הסבר שאינו עובר דרך קשרים אחרים; אנא הסבר שוב את כללי המשחק). עוזי ו. ⁃ שיחה 21:38, 17 במרץ 2024 (IST)

דווקא המעבר מ-3 ל-7 קל להבנה אינטואיטיבית. נניח שיש מועדון שמדיר את כל הג'ינג'ים. בכניסה אליו יש אפוא שלט אזהרה: "או שאתה לא נכנס כאן (b~), או שאתה לא ג'ינג'י (a~)". אז בעצם כוונת השלט היא לומר: "או שאתה ג'ינג'י (a) וגם לא נכנס לכאן (b~), או שאתה לא ג'ינג'י (a~)". הדוגמה הזאת מצדיקה את המעבר מ-3 ל-7 (אם נתעלם זמנית מ-c).

כלומר:

בשלט כתוב: $\neg b\lor \neg a$

לכן כוונת השלט היא לומר: $(a\land \neg b)\lor \neg a$

‫147.235.218.108‬ 00:27, 18 במרץ 2024 (IST)

למרות שהבאת דוגמא טובה, אני לא רואה כל אינטואיציה במעבר שכתבת. בעצם, הדוגמא היא כך:

$a\to \neg b=(a\land \neg b)\oplus {\bigl (}(\neg a\land b)\oplus (\neg a\land \neg b){\bigr )}$. יהודה שמחה ולדמן ⁃ שיחה 08:54, 18 במרץ 2024 (IST)

אז אני מבין שהטאוטולוגיה היחידה שאינה מובנת לך אינטואיטיבית, היא

$x\lor \neg a\models (x\land a)\lor \neg a$,

כלומר אתה מסכים שאם תבין אותה אז כבר תבין את הכול (לפי תגובתי הראשונה) הלא כן? ‫2A06:C701:427F:A900:B552:C10D:40A2:7B31‬ 00:09, 19 במרץ 2024 (IST)

מצד אחד, זו אכן החוליה החסרה אצלי כדי להבין את ההוכחה שלך.

מצד שני, באלה היבטים הוכחתך זו קבילה ולהפך? האם בתחשיב הפסוקים היא נחשבת קבילה? יהודה שמחה ולדמן ⁃ שיחה 11:21, 19 במרץ 2024 (IST)

בין החוליה השלישית, לבין מה שהיה עד אתמול החוליה הרביעית, הוספתי לך כעת עוד שלוש חוליות שכנראה היו חסרות לך (וכך, מה שהיתה עד אתמול החוליה הרביעית, הפכה כעת להיות החוליה השביעית). אם גם כעת, עדין (אולי) המעבר מהחוליה השישית לשביעית אינו ברור לך, עדכן אותי, ואוסיף לך עוד חוליות, אבל נראה לי שכעת הכול אמור להיות נחשב בעיניך כהוכחה ריגורוזית.

לגבי שאלתך מה נחשב הוכחה קבילה בתחשיב הפסוקים, ובכן זאת שאלה מתודולוגית כללית במתמטיקה כולה: עד כמה צריך לפרט כל חוליה וחוליה בהוכחות ריגורוזיות. יש כאלה שלא מסתפקים אפילו במעבר שבין החוליה התיאורטית x=101+10 לבין החוליה התיאורטית x=110+1, ודורשים לעבור מחוליה לחוליה רק ע"י אקסיומות פיאנו (שמהן ניתן להראות באופן מפורש איך מתבצע המעבר שבין שתי החוליות התיאורטיות הנ"ל). בגדול, אם כבר אתה שואל, ובכן כדי לדעת מה נחשב קביל ריגורוזית, צריך להסכים מראש מה הן הנחות היסוד. ככל שמצמצמים יותר את הנחות היסוד, כך מאריכים את ההוכחה הריגורוזית; אם כי ברור שיש מינימום של הנחות יסוד שאינן ניתנות לצמצום נוסף, למשל באריתמטיקה מקובל שהן אקסיומות פיאנו, ובתחשיב הפסוקים מקובל שהן שלוש אקסיומות בלבד שהן חוק אי הסתירה - חוק השלישי הנמנע - וחוק טרנזיטיביות הגרירה, ובגיאומטריה הסטנדרטית מקובל שהן אקסיומות אוקלידס, ובתורת הקבוצות הסטנדרטית מקובל שהן אקסיומות צרמלו-פרנקל, וכו'. אגב, לדעתי אתה אמור לדעת (או לפחות לחשוד) מי אני, אבל אינני מעוניין שאחרים יידעו, ולכן אם תרצה לקבל ממני מידע אישי, אז נא רק דרך דף השיחה שלי (בהנחה שאתה כבר חושד במי מדובר) - אבל רק אם תופיע בדף השיחה שלי באופן אנונימי - מה שיצריך ממך לצאת מהחשבון שלך ולהיכנס שוב כאנונימי (שזה אגב מותר לפי כללי ויקיפדיה) ורק אז להשאיר הודעה בדף השיחה שלי. אם לא תצא מדף החשבון שלך לפני שאתה משאיר הודעה בדף השיחה שלי, לא אוכל להגיב שם. ‫2A06:C701:427F:A900:B552:C10D:40A2:7B31‬ 12:26, 19 במרץ 2024 (IST)

כיצד מנוסחות אכסיומות האי־סתירה וחוק השלישי הנמנע בשפת תחשיב הפסוקים? יהודה שמחה ולדמן ⁃ שיחה 19:38, 19 במרץ 2024 (IST)

תגובה למשתמש:יהודה שמחה ולדמן:

ראשית, סליחה על העיכוב, לא הייתי מקוון מאז שיחתנו הקודמת. לגופו של עניין:

כל תחשיב הפסוקים ממוצה ע"י: כלל ההסק מודוס פוננס (שלפיו אם נתון: הן $,a$ והן $,a\to b$ אז ניתן להסיק את $b$), יחד עם שלוש אקסיומות:

א. חוק אי הסתירה: $.a\to (\neg a\to b)$

ב. חוק השלישי הנמנע: $.(\neg a\to a)\to a$

ג. חוק טרנזיטיביות הגרירה $.(a\to b)\to ((b\to c)\to (a\to c))$

הסבר אינטואיטיבי לאקסיומה א': היא בעצם אומרת $,(a\land \neg a)\to b$ כלומר היא אומרת שמתוך סתירה אפשר להסיק כל טענה b. מסקנה: מסתירה אפשר להסיק הכול, אפילו שקרים. מסקנה: כל סתירה היא שקרית. זה בדיוק חוק אי הסתירה.

הסבר אינטואיטיבי לאקסיומה ב': היא בעצם אומרת, שאם ידוע לנו שטענה נתונה $\neg a$ אינה נכונה, כי ידוע לנו שממנה נובע $,a$ אז הברירה היחידה שנשארה לנו היא להסיק את $,a$ ואין אפשרות שלישית. זה בדיוק חוק השלישי הנמנע.

אני מניח שאינך זקוק להסבר אינטואיטיבי לאקסיומה ג'.

2A06:C701:427F:A900:B552:C10D:40A2:7B31‬ 19:26, 21 במרץ 2024 (IST)

אם האכסיומות שכתבת ממצות את תחשיב הפסוקים (בתוספת כלל ההיסק מודוס פוננס), מדוע האכסיומות המקובלות לרוב בתחשיב הפסוקים הן אלה פה?

${\begin{aligned}&1.~a\to (b\to a)\\&2.~{\bigl (}a\to (b\to c){\bigr )}\to {\bigl (}(a\to b)\to (a\to c){\bigr )}\\&3.~(\neg a\to \neg b)\to (b\to a)\end{aligned}}$

במה הן עדיפות על אלה שכתבת, אשר לעניות דעתי מעט יותר "אינטואיטיביות"? יהודה שמחה ולדמן ⁃ שיחה 22:43, 21 במרץ 2024 (IST)

בהתחלה, התגלו האקסיומות שציינת, וגם הוכח ריגורוזית ע"י מנדלסון שהן ממצות את תחשיב הפסוקים. התגלית הזו הביאה לפירסומן, וכך הן השתרשו אט אט ולבסוף גם הפכו למסורת שנלמדת עד ימינו בקורסים ללוגיקה. רק הרבה יותר מאוחר, למעשה ב-1964, הוכח-ריגורוזית ע"י הלוגיקנים דונלד קאליש וריצ'רד מונטגיו שגם האקסיומות שציינתי לעיל ממצות את תחשיב הפסוקים, אבל אז כבר היה מאוחר מדי מכדי להחליף את האקסיומות של מנדלסון שכבר הספיקו עד אז להתקבע בקוריקולום. ‫2A06:C701:427F:A900:B552:C10D:40A2:7B31‬ 02:13, 22 במרץ 2024 (IST)

אם זה נכון, אני ממש בשוק. איך למשל ניתן להוכיח במערכת זו כי $a\to a$, שלעניות דעתי שקולה לכלל השלישי הנמנע? יהודה שמחה ולדמן ⁃ שיחה 12:26, 22 במרץ 2024 (IST)

תגובה למשתמש:יהודה שמחה ולדמן:

ראשית, סליחה על העיכוב, לא הייתי מקוון מאז שיחתנו הקודמת. לגופו של עניין:

א. למעשה, אין באמת קשר בין הפסוק $a\to a$ לבין חוק השלישי הנמנע. לחוק זה יש כמה ניסוחים, למשל $,\neg \neg a\to a$ ולמשל $,(\neg a\to a)\to a$ ולמשל $,(a\to b)\to (\neg b\to \neg a)$ אבל ממש אי אפשר להגיד שניתן לנסח את חוק השלישי הנמנע ע"י הפסוק שציינת: $.a\to a$ אפרט: חוק השלישי הנמנע מציג תכונה מסויימת של פעולת השלילה. כל אחד משני הפסוקים שאותם הדגשתי בתחילת סעיף זה ע"י המילה למשל (ולמעשה גם הפסוק שאחריהם אם כי זה כבר מצריך כאן מצידי עוד הבהרה שלא תינתן כאן), משקף את התכונה הזאת, שלמעשה טוענת כך: אם מתברר לנו כי שלילת a אינה נכונה (שזה אגב היינו הך כמו להגיד שמתברר לנו $\neg \neg a$ או להגיד שמתברר לנו $,(\neg a\to a$ אז הברירה היחידה שנותרה לנו היא להסיק את $,a$ ואין לנו אפשרות שלישית. שים לב שהתכונה הזאת היא תכונה של פעולת השלילה, ולכן אי אפשר להסיק את התכונה הזאת מתוך הפסוק שציינת $,a\to a$ שהרי בו לא מוזכרת שום שלילה. יותר מזה: אני לא יודע עד כמה אתה יודע, אבל - שלא כמו הפסוק שציינת - שהוא לגמרי קונצנזואלי, חוק השלישי הנמנע אינו קונצנזואלי - למרות שהוא כמובן מוסכם בלוגיקה הסטנדרטית, ועל חוסר-הקונצנזוס הזה תוכל לקרוא בתוך הערך אינטואיציוניזם, מה ששוב מוכיח שאין קשר - בין הפסוק הקונצנזואלי שציינת - לבין חוק השלישי הנמנע שכאמור אינו קונצנזואלי. ורק אסביר על קצה המזלג למה הוא אינו קונצנזואלי: ובכן חשוב-נא על עיוור צבעים, שמכיר רק שני צבעים, לבן ושחור (נתעלם לרגע מהאפור כי הוא נחשב בעיני עוור הצבעים בתור סוג של שחור). לכן, עוור הצבעים מכיר ב"חוק השלישי הנמנע של הצבעים", שטוען כך: "אם מתברר לנו כי הטענה - שהעצם הזה לבן - אינה נכונה, אז הברירה היחידה שנותרה לנו היא להסיק שהעצם הזה שחור, ואין לנו אפשרות שלישית". זה מה שטוען עוור הצבעים. אבל הרי ברור לך ש"חוק השלישי הנמנע של עוורי הצבעים" אינו קונצנזואלי, שהרי הוא אינו מוסכם על מי שרואה צבעים, בעוד שעליו כן מוסכם להגיד - "אם העצם הזה לבן אז העצם הזה לבן" - כלומר להגיד $.a\to a$ ובכן אותו דבר גם לגבי "חוק השלישי הנמנע של השלילה": גם הוא אינו קונצנזואלי, שהרי למרות שהוא מוסכם בלוגיקה הסטנדרטית, הוא עדין אינו מוסכם על האינטואיציוניסטים, בעוד שעליהם כן מוסכם להגיד $.a\to a$ מכאן שאין קשר בין הפסוק שציינת לבין חוק השלישי הנמנע.

ב. לגבי שאלתך, איך מוכיחים במערכת זו [של קליש ושל מוטגיו] כי $:a\to a$ ובכן במקרה, בעבודתם של שני מחברים אלה (שצוינה בתגובתי הקודמת), יש פרק מיוחד שמראה איך - מתוך המערכת שלהם - מוכח-ריגורוזית הפסוק שציינת. ההוכחה הריגורוזית המוצגת שם די ארוכה, אבל העובדה ששאלת במיוחד על הפסוק הזה, מעידה שהיתה לך אינטואיציה נכונה לגבי הקושי להוכיח אותו ריגורוזית מתוך המערכת ההיא, למרות שכאמור מתברר כי כן ניתן להוכיח אותו ריגורוזית מתוכה.

2A06:C701:427F:A900:B552:C10D:40A2:7B31

01:34, 24 במרץ 2024 (IST)

אכן הספקתי לקרוא בשבת זו את ספרו המרתק של ארנון אברון – משפטי גדל ובעיית היסודות של המתמטיקה, ובו נושא האינטואיציוניזם.

אבל רגע אחד: לעניות דעתי חוק האי־סתירה הוא $\neg (a\land \neg a)$ וחוק השלישי הנמנע הוא $a\lor \neg a$. כלומר הם שקולים.

אם אכן כך הדבר, מה הם בעצם מוסיפים זה על זה? מדוע חוק אחד מנוסח כשנים? יהודה שמחה ולדמן ⁃ שיחה 08:16, 24 במרץ 2024 (IST)

א. גם אני הייתי ממליץ על הספר שציינת, בתור מבוא פילוסופי-מתודולוגי, לפני שמתחילים ללמוד מתמטיקה באופן ריגורוזי.

ב. הפסוק $(a\to a)\to (\neg a\lor a)$ אינו מוסכם על האינטואיציוניסטים. הם, אמנם מסכימים לרישא $,a\to a$ אבל אינם מסכימים לסיפא $,\neg a\lor a$ כיוון שהיא בעצם אומרת את חוק השלישי הנמנע של הלוגיקה - שכאמור אינו מוסכם עליהם.

ג. חוק אי הסתירה של הלוגיקה $,\neg (a\land \neg a)$ שלמעשה מוסכם על האינטואיציוניסטים, אינו שקול לחוק השלישי הנמנע של הלוגיקה $,\neg a\lor a$ שכאמור אינו מוסכם עליהם. והשווה גם לחוקי עוורי הצבעים: חוק אי הסתירה של עוורי הצבעים - שלמעשה אומר באופן קונצנזואלי - שלא יתכן שהעצם הזה הנו גם לבן וגם שחור, אינו שקול לחוק השלישי הנמנע של עוורי הצבעים - שלמעשה אומר באופן בלתי קונצנזואלי - שכל עצם הנו או לבן או שחור.

במובן מסויים, תומכי הלוגיקה הסטנדרטית הם כביכול - "עוורי צבעים" - או ליתר דיוק "עוורי עוד-ערכי-אמת", כי תומכי הלוגיקה הסטנדרטית אינם מוכנים להכיר ביותר משני ערכי אמת: "אמיתי" או "שקרי". תופעה דומה קיימת אצל תומכי המספרים הממשיים: הם לא רק מכירים ב"חוק אי הסתירה של עוורי המספרים המרוכבים" - שלמעשה אומר באופן קונצנזואלי שלא יתכן שהמספר הבלתי מאופס תזה הנו גם חיובי וגם שלילי, אלא הם מכירים גם ב"חוק השלישי הנמנע של עוורי המספרים המרוכבים" - שלמעשה אומר באופן בלתי קונצנזואלי שהמספר הבלתי מאופס הזה הנו או חיובי או שלילי.

2A06:C701:427F:A900:B552:C10D:40A2:7B31 08:34, 24 במרץ 2024 (IST)

אבל לא ענית על שאלתי: למה הלוגיקה הסטנדרטית עצמה מנסחת בנפרד את חוק הזהות וחוק האי־סתירה וחוק השלישי הנמנע, כאשר שלשתם חד המה? יהודה שמחה ולדמן ⁃ שיחה 11:24, 24 במרץ 2024 (IST)

"חוק הזהות"? טרם היזכרנו אותו. אני היזכרתי רק את חוק טרנזיטיביות הגרירה, חוק אי הסתירה, וחוק השלישי הנמנע.

לעצם שאלתך על הלוגיקה הסטנדרטית: ובכן הייתי בטוח שזה ברור מתוך מה שהיבהרתי עד כה לגבי האינטואיציוניסטים שחולקים עליה, אבל אני מבין שהדברים עדין לא הובהרו כל צורכם, אז אוסיף אפוא הבהרה על הבהרה, והפעם אתייחס ישירות ללוגיקה הסטנדרטית - כדי לא שישאר לך צל צילו של ספק:

ובכן גם הלוגיקה הסטנדרטית "מודעת" לכך, שחוק אי הסתירה וחוק השלישי הנמנע - אינם היינו הך. "מודעותה" של הלוגיקה הסטנדרטית לכך שהם אינם היינו הך, נשענת על "מודעותה" של הלוגיקה הסטנדרטית לעצם יכולתם של האינטיאיציוניסטים לקבל מצד אחד את חוק אי הסתירה - אך לדחות מצד שני את חוק השלישי הנמנע - ומצד שלישי עדין להישאר עקביים. למעשה, זאת בדיוק הסיבה שבגללה הלוגיקה הסטנדרטית נאלצת להוסיף למערכת גם את חוק השלישי הנמנע: כדי שיובהר לכולם כי - למרות שהאינטואיציוניסטים עקביים לשיטתם - עדין הלוגיקה הסטנדרטית מרשה לעצמה לחלוק עליהם, ע"י עצם זה שהיא מכניסה את חוק השלישי הנמנע למערכת - מה שהאינטואיציוניסטים אינם עושים - כי הם אינם מסכימים לו!

אפרט את הנקודה הזאת, של הצורך של הלוגיקה הסטנדרטית להכניס למערכת את חוק השלישי הנמנע. ובכן הגע בעצמך: אילו למשל הלוגיקה הסטנדרטית היתה מכניסה למערכת רק את חוק אי הסתירה (כמובן לצד חוק טרנזיטיביות הגרירה) - אבל לא את חוק השלישי הנמנע, אז לא היה ניתן להסיק מהמערכת את חוק השלישי הנמנע: פשוט כי טכנית חוק השלישי הנמנע הוא בלתי תלוי בשאר חוקי הלוגיקה הסטנדרטית. למעשה, אילו הוא כן היה נובע מהם, אז האינטואיציוניסטים לא היו יכולים להישאר עקביים! אבל דווקא בגלל שהם כן עקביים, כלומר דווקא בגלל שחוק השלישי הנמנע אינו נובע משאר חוקי הלוגיקה המוסכמים על כולם (חוק אי הסתירה וחוק טרנזיטיביות הגרירה), לכן כל אלה שמסכימים עם חוק השלישי הנמנע חייבים להוסיף אותו למערכת - פשוט כדי שיהיה ניתן להוכיח אותו ממנה!

לסיכום:

הלוגיקה הסטנדרטית מכניסה למערכת את חוק השלישי הנמנע, כדי שהוא יוכל להיות מוכח מתוך המערכת - שהרי הלוגיקה הסטנדרטית חושבת שהוא נכון ושלכן הוא צריך להיות מוכח מהמערכת, בעוד אשר האינטואיציוניסטים נמנעים מלהכניסו למערכת - כדי שהוא לא יוכח מהמערכת - שהרי הם אינם מסכימים לו.

‫2A06:C701:427F:A900:B552:C10D:40A2:7B31 13:45, 24 במרץ 2024 (IST)

יהודה שמחה ולדמן ⁃ שיחה 15:04, 24 במרץ 2024 (IST)