תרבוע העיגול

תַּרְבּוּעַ הָעִגּוּל הוא בעיה בגאומטריה שהועלתה לראשונה במתמטיקה היוונית, אחת מהבעיות הגאומטריות של ימי קדם. זה האתגר של יצירת ריבוע ששטחו שווה לשטח של מעגל, על ידי שימוש במספר סופי של צעדים של בנייה בסרגל ובמחוגה. הקושי שבבעיה העלה את השאלה האם אקסיומות מוגדרות של גאומטריה אוקלידית הנוגעות לקיומם של קווים ומעגלים מרמזות על קיומו של ריבוע כזה.

בשנת 1882 הוכח שהמשימה בלתי אפשרית, כתוצאה ממשפט לינדמן-ויירשטראס, המוכיח ש־ $\pi$ הוא מספר טרנסצנדנטי. כלומר $\pi$ אינו יכול להיות מיוצג על ידי השורש של פולינום כלשהו עם מקדמים רציונליים. במשך עשרות שנים היה ידוע שהמשימה בלתי אפשרית אם $\pi$ טרנסצנדנטי, אך עובדה זו לא הוכחה עד 1882.

חרף ההוכחה שתרבוע העיגול בלתי אפשרי, ניסיונות לעשות כן היו נפוצים בפסאודו־מתמטיקה. הביטוי "תרבוע העיגול" משמש לעיתים מטאפורה לניסיון לעשות את הבלתי אפשרי.

היסטוריה

שיטות לחישוב השטח המשוער של עיגול נתון, שניתן לחשוב עליה כעל בעיה מקדימה לתרבוע העיגול, היו ידועות כבר בתרבויות עתיקות רבות. ניתן לסכם את השיטות הללו על ידי ציון הקירוב ל־ $\pi$ שהן מייצרות. בסביבות שנת 2000 לפני הספירה השתמשו המתמטיקאים הבבלים בקירוב $\pi \approx {\tfrac {25}{8}}=3.125$ , ובערך באותו זמן השתמשו המתמטיקאים המצרים הקדמונים ב־ $\pi \approx {\tfrac {256}{81}}\approx 3.16$ . למעלה מ־1000 שנים מאוחר יותר, בספר מלכים, מופיע הקירוב הפשוט יותר, $\pi \approx 3$ . $\mathbb {R} ^{b3p}$ מתמטיקה הודית עתיקה, כפי שתועדה ב־Shatapatha Brahmana ו־Shulba Sutras, השתמשה בכמה קירובים שונים to $\pi$ . $\mathbb {R} ^{plofker}$ ארכימדס הוכיח נוסחה לשטח העיגול, לפיה $3\,{\tfrac {10}{71}}\approx 3.141<\pi <3\,{\tfrac {1}{7}}\approx 3.143$ . במתמטיקה הסינית, במאה השלישית לספירה, מצא ליו הואי קירובים מדויקים אף יותר באמצעות שיטה דומה לזו של ארכימדס, ובמאה החמישית מצא צו צ'ונגז'י $\pi \approx 355/113\approx 3.141593$ , קירוב המכונה Milü.

הבעיה של בניית ריבוע ששטחו שווה בדיוק לזה של עיגול, ולא קירוב אליו, מגיעה מהמתמטיקה היוונית. מתמטיקאים יוונים מצאו בניות בסרגל ומחוגה כדי להמיר כל מצולע לריבוע בעל שטח שווה ערך. הם השתמשו בבנייה זו כדי להשוות שטחים של מצולעים מבחינה גאומטרית, ולא על ידי חישוב מספרי של שטח שיהיה אופייני יותר במתמטיקה המודרנית.

ג'יימס גרגורי ניסה להוכיח את חוסר האפשרות של הפיכת עיגול לריבוע ב־Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura ("הריבוע האמיתי של המעגל ושל ההיפרבולה") ב־1667. אף על פי שההוכחה שלו הייתה שגויה, היה זה המאמר הראשון שניסה לפתור את הבעיה באמצעות מאפיינים אלגבריים של $\pi$ . יוהאן היינריך למברט הוכיח ב־1761 כי $\pi$ הוא מספר אי־רציונלי. רק ב־1882 הצליח פרדיננד לינדמן להוכיח ש־ $\pi$ הוא מספר טרנסצנדנטי, ועל ידי כך גם הוכיח את חוסר האפשרות לתרבוע העיגול בסרגל ובמחוגה.

הוכחה

הפתרון של בעיית תרבוע העיגול על ידי סרגל ומחוגה מחייב בניית המספר ${\sqrt {\pi }}$ , אורך הצלע של ריבוע ששטחו שווה לזה של מעגל היחידה. אם ${\sqrt {\pi }}$ היה מספר הניתן לבנייה, ממילא נובע מקונסטרוקציות סטנדרטיות של בנייה בסרגל ובמחוגה ש־ $\pi$ יהיה גם מספר הניתן לבנייה. בשנת 1837 הראה פייר ונצ'ל שאורכים שניתן לבנות עם סרגל ומחוגה צריכים להיות פתרונות של משוואות פולינומיות מסוימות עם מקדמים רציונליים. לכן אורכים הניתנים לבנייה חייבים להיות מספרים אלגבריים. אילו תרבוע העיגול היה אפשרי באמצעות סרגל ומחוגה בלבד, $\pi$ היה צריך להיות מספר אלגברי. רק בשנת 1882 הוכיח פרדיננד לינדמן את הטרנסצנדנטיות של $\pi$ , וכך הראה את חוסר האפשרות של בנייה זו. הרעיון של לינדמן היה לשלב את הוכחת הטרנסצנדנטיות של $e$ , שהוצגה על ידי שארל הרמיט ב־1873, עם זהות אוילר: $e^{i\pi }=-1.$ זהות זו מראה מיד כי $\pi$ הוא מספר אי־רציונלי, כי חזקה רציונלית של מספר טרנסצנדנטי נשארת טרנסצנדנטית. לינדמן הצליח להרחיב טיעון זה, באמצעות משפט לינדמן-ויירשטראס על אי־תלות ליניארית של חזקות אלגבריות של $e$ , להראות ש־ $\pi$ הוא טרנסצנדנטי ולכן תרבוע העיגול הוא בלתי אפשרי.