הבעיה השביעית של הילברט

הבעיה השביעית מבין עשרים ושלוש הבעיות שהציג דויד הילברט בקונגרס הבינלאומי של המתמטיקאים של שנת 1900 עוסקת במספרים טרנסצנדנטיים. הבעיה מורכבת משתי שאלות:

• במשולש שווה-שוקיים, אם היחס בין זווית הבסיס לזווית הראש הוא מספר אלגברי אי-רציונלי, האם היחס בין הבסיס לשוק הוא תמיד מספר טרנסצנדנטי?
• האם המספר $\ \alpha ^{\beta }$, כאשר $\ \alpha$ אלגברי (שונה מאחד ואפס) ו-$\ \beta$ אלגברי אי-רציונלי, כמו למשל $\ 2^{\sqrt {2}}$ או $\ e^{\pi }=(-1)^{-i}$, הוא תמיד מספר טרנסצנדנטי?

הילברט מציין שחקר השאלות הללו בפתח המאה ה-20 מתבקש בעקבות ההישגים של שארל הרמיט (שהוכיח את הטרנסצנדנטיות של e) ושל פרדיננד לינדמן (שהוכיח את משפט לינדמן ואת הטרנסצנדנטיות של פאי) בסוף המאה ה-19. הוא מנבא שההוכחה לטענות תהיה קשה מאוד ודרך לפתרון הבעיה יביא לפיתוחן של שיטות חדשות לחלוטין בחקר המספרים האי-רציונליים והמספרים הטרנסצנדנטיים.

הבעיה נפתרה על ידי אלכסנדר גלפונד ב-1934, ובאופן בלתי תלוי על ידי תאודור שניידר ב-1935. התשובה החיובית לבעיה נקראת על שמם משפט גלפונד-שניידר.

הקשר בין השאלות

פתרון חיובי של השאלה השנייה פותר לחיוב גם את שאלה הראשונה. הילברט ציין כי השאלה הראשונה היא למעשה ניסוח גאומטרי לשאלה, האם $\ e^{i\pi x}$ מספר טרנסצנדנטי כאשר x מספר אלגברי אי-רציונלי. זאת בשל הקשר ההדוק בין הפונקציות הטריגונומטריות לפונקציית האקספוננט המתבטא בנוסחת אוילר. לפי זהות אוילר $\ e^{i\pi x}=(-1)^{x}$, לכן זהו מקרה פרטי של השאלה השנייה.

קישורים חיצוניים

• הניסוח המקורי של הילברט בתרגום לאנגלית