משפט הסינוסים

בטריגונומטריה, משפט הסינוסים קובע כי היחס בין אורך צלע במשולש כללי לבין סינוס הזווית שמולה, שווה לקוטר המעגל החוסם את המשולש: אם a,b,c הם אורכי הצלעות ו- $\alpha ,\beta ,\gamma$ הזויות שמולן, בהתאמה, אז ${a \over \sin \alpha }={b \over \sin \beta }={c \over \sin \gamma }=d$ כאשר d הוא קוטר המעגל החוסם.

הוכחה

א

גובה המשולש המסומן ב - $h$ ניתן להצגה באופן הבא:

$\ h=b\sin \alpha$

אבל גם באופן הזה:

$\ h=a\sin \beta$

ולכן:

$\ b\sin \alpha =a\sin \beta$

או

$\ {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}$

מאחר שזה נכון ל-2 זוויות שנבחרו באופן שרירותי, זה נכון לכל זוג זוויות במשולש.

כאשר המשולש קהה-זווית, ההוכחה נכונה עבור הזווית המשלימה לזווית הקהה, אך זה לא משנה על פי הזהות $\sin \alpha =\sin(180-\alpha )$. כאשר המשולש ישר-זווית המשפט הוא פשוט הגדרת הסינוס.

ב

אם מרכז המעגל החוסם הוא O, נמשיך את BO עד שהוא נפגש עם המעגל ונקרא לנקודת החיתוך D.

נתבונן במשולש BDC. במשולש ישר-זווית זה (זווית ההיקפית BCD היא בת 90 מעלות בגלל שהיא נשענת על קוטרו של המעגל). נסמן ב -$\delta$ את הזווית CDB ואז

$\ a=2R\sin \delta$

אבל זווית $\delta$ שווה לזווית $\alpha$ כי הן נשענות על אותה קשת, לכן

$\ a=2R\sin \alpha$

או

$\ {\frac {a}{\sin \alpha }}=2R$

כנדרש.

נשים לב שמהחלק השני של ההוכחה נובע בנקל החלק הראשון של הטענה

$\ {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}$

שכן הבחירה בצלע a ובזווית שמולה $\alpha$ הייתה שרירותית ויכולנו באותה מידה לבחור בצלע b ובזווית שמולה $\beta$.

ראו גם

• משפט הקוסינוסים
• משפט הטנגנסים