מודול פשוט – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־01:57, 17 בינואר 2009

באלגברה ותורת החוגים, מודול פשוט מעל חוג R הוא מודול M שאין לו תת-מודולים למעט מודול האפס ו-M עצמו. מודול האפס אינו נחשב פשוט. מן המודולים הפשוטים אפשר במקרים רבים לבנות את כל המודולים (בעלי סדרת הרכב סופית) מעל החוג.

כל מודול ארטיני מכיל תת-מודולים פשוטים. חוג המספרים השלמים, כמודול מעל עצמו, הוא דוגמא למודול שאין לו תת-מודולים אי-פריקים.

איפיון

כל מודול פשוט הוא ציקלי (כלומר, מודול מהצורה $\ M=Rx$ ), וכל מודול ציקלי איזומורפי למודול מהצורה $\ R/L$ כאשר $\ L$ אידאל שמאלי של $\ R$ . המודול R/L פשוט בדיוק כאשר L אידיאל שמאלי מקסימלי (ולפי הלמה של צורן נובע מכאן שלכל חוג יש מודולים פשוטים). המאפס של R/L הוא האידיאל הדו-צדדי הגדול ביותר המוכל ב-L; לכן R חוג פרימיטיבי אם ורק אם יש לו אידיאל שמאלי שאינו מכיל אף אידיאל דו-צדדי.

דוגמאות

המודולים של חוג המספרים השלמים הם החבורות האבליות; המודולים הפשוטים הם בדיוק החבורות הציקליות מסדר ראשוני.

תת-המודולים הפשוטים של חוג (כמודול מעל עצמו) הם האידיאלים השמאליים המינימליים שלו.

הלמה של שור

הומומורפיזם של מודולים בעל תחום שהוא מודול פשוט הוא הומומורפיזם האפס, או שהוא חד חד ערכי (כי הגרעין שלו תת-מודול). בדומה, אם הטווח של ההומומורפיזם פשוט אז הוא הומורפיזם האפס, או שהוא על (כי התמונה שלו תת-מודול). לכן הומומורפיזם בין מודולים פשוטים הוא הומומורפיזם האפס, או שהוא איזומורפיזם.

ניסוח אחר של המשפט; חוג האנדומורפיזמים של מודול פשוט הוא חוג עם חילוק, כי כל אנדומורפיזם שונה מאפס הוא איזומורפיזם ולכן הפיך.

הכיוון ההפוך ללמה של שור אינו נכון. למשל, המודול $\ \mathbb {Q}$ מעל $\ \mathbb {Z}$ אינו מודול פשוט אבל חוג האנדומורפיזמים שלו איזומורפי לשדה $\ \mathbb {Q}$ .

@@ שורה 16: / שורה 16: @@
 == הלמה של שור ==
-[[הומומורפיזם]] של מודולים המוגדר על מודול פשוט הוא הומורפיזם האפס, או שהוא חד חד ערכי (כי הגרעין שלו תת-מודול). לכן חוג האנדומורפיזמים של מודול פשוט הוא [[חוג עם חילוק]]. הכיוון ההפוך ללמה של שור אינו נכון. למשל, המודול <math>\ \mathbb {Q}</math> מעל <math>\ \mathbb {Z}</math> אינו מודול פשוט אבל חוג האנדומורפיזמים שלו [[איזומורפיזם|איזומורפי]] ל[[שדה]] <math>\ \mathbb {Q}</math>.
+[[הומומורפיזם]] של מודולים בעל תחום שהוא מודול פשוט הוא הומומורפיזם האפס, או שהוא חד חד ערכי (כי הגרעין שלו תת-מודול). בדומה, אם הטווח של ההומומורפיזם פשוט אז הוא הומורפיזם האפס, או שהוא על (כי התמונה שלו תת-מודול). לכן הומומורפיזם בין מודולים פשוטים הוא הומומורפיזם האפס, או שהוא איזומורפיזם.
+ניסוח אחר של המשפט; חוג האנדומורפיזמים של מודול פשוט הוא [[חוג עם חילוק]], כי כל אנדומורפיזם שונה מאפס הוא איזומורפיזם ולכן הפיך.
+הכיוון ההפוך ללמה של שור אינו נכון. למשל, המודול <math>\ \mathbb {Q}</math> מעל <math>\ \mathbb {Z}</math> אינו מודול פשוט אבל חוג האנדומורפיזמים שלו [[איזומורפיזם|איזומורפי]] ל[[שדה]] <math>\ \mathbb {Q}</math>.
 [[קטגוריה:תורת החוגים]]