הרחבה נורמלית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

הרחבה נורמלית היא הרחבה אלגברית \ F \subseteq K של שדות, כך שכל פולינום אי-פריק מעל השדה הקטן שיש לו שורש בשדה הגדול, מתפצל שם. הרחבה של שדות היא גלואה אם ורק אם היא נורמלית וספרבילית. תת-הרחבות נורמליות בהרחבת גלואה מאופיינות בכך שחבורות האוטומורפיזמים המתאימות להן הן נורמליות בחבורת גלואה של ההרחבה.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הרחבה אלגברית K של F היא הרחבה נורמלית אם כל פולינום אי-פריק \ f(x) \in F[x] שיש לו שורש ב-K, מתפצל ב-K, כלומר, הוא מהווה מכפלה של גורמים לינאריים מעל K.

יהי F שדה ויהי \bar{F} הסגור האלגברי שלו. התנאים הבאים שקולים עבור תת-שדה \ F \subset K \subset \bar{F}:

  1. K/F היא הרחבה נורמלית של שדות.
  2. K הוא שדה פיצול של קבוצת פולינומים ב-\ F[x].
  3. כל פולינום מינימלי מעל F של איבר מ-K, מתפצל ב-K.
  4. לכל אוטומורפיזם \sigma בחבורת גלואה האבסולוטית -\ \operatorname{Gal}(\bar{F}/F), מתקיים \sigma (K) = K.
  5. לכל שיכון \sigma של K ב-\bar{F} מעל F, מתקיים \sigma (K) = K.
  6. מספר האיברים בחבורת גלואה \operatorname{Gal}(K/F) הוא הדרגה הספרבילית של K מעל F. קרי, מספר השיכונים של K ל \bar F המרחיבים את השיכון הסתנדרטי של F.
  7. חבורת גלואה האבסולוטית של K נורמלית בחבורת גלואה האבסולוטית של F.

תכונות של הרחבות נורמליות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הרחבת שדות היא הרחבת גלואה אם ורק אם היא נורמלית וספרבילית. לכן מעל שדות ממאפיין אפס, כל הרחבה נורמלית היא הרחבת גלואה, והדבר מאפשר להפעיל שם את המשפט היסודי של תורת גלואה ביתר קלות.

אם L הרחבה נורמלית של F, אז L נורמלית מעל כל שדה ביניים.

אם K ו-E הן הרחבות נורמליות של F המוכלות ב-L אז הצירוף שלהם EK והחיתוך שלהם K \cap E הם הרחבות נורמליות של F.

אם E/F הרחבת גלואה וחבורת גלואה שלה היא G = \mathrm{Gal}(E/F), ואם E \supset K \supset F שדה ביניים, מתאימה לו לפי המשפט היסודי של תורת גלואה תת-חבורה H = \mathrm{Gal}(E/K) של G. תת-חבורה זו היא נורמלית אם ורק אם K/F היא הרחבה נורמלית של שדות.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. כל הרחבה ריבועית (כמו  \mathbb{Q} [\sqrt{2} ] / \mathbb{Q}) היא נורמלית.
  2. ההרחבה \mathbb{Q}[ \sqrt[3]{2}] / \mathbb{Q} אינה נורמלית, שכן מתוך שלושת השורשים של הפולינום האי-פריק x^3 - 2 רק השורש הממשי \sqrt[3]{2} נמצא בשדה ההרחבה ואילו שני השורשים הנותרים \omega \sqrt[3]{2} , \omega^2 \sqrt[3]{2} \in \mathbb{C} (כאן \omega = \exp( i 2 \pi / 3) = \frac{-1  + i \sqrt{3} }{2}) הם מספרים מרוכבים ולכן לא שייכים ל-\mathbb{Q}[ \sqrt[3]{2} ] \subset \mathbb{R} שהיא הרחבה ממשית.
  3. עבור p מספר ראשוני, ההרחבה  \mathbb{Q}[\sqrt[p]{2}, \zeta_p] / \mathbb{Q} כאשר \zeta_p הוא שורש יחידה p-י פרימיטיבי, היא הרחבה נורמלית ממעלה \left[ \mathbb{Q}[\sqrt[p]{2}, \zeta_p] : \mathbb{Q} \right] = p(p-1). זהו שדה הפיצול של הפולינום האי-פריק x^p - 2.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • Jacobson, Nathan (1989), Basic Algebra II (2nd ed.), W. H. Freeman 
  • Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics 211