חבורה דיהדרלית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת החבורות, חבורה דיהדרלית היא חבורת הסימטריות של מצולע משוכלל אשר איבריה הם סיבובים ושיקופים שמעבירים את המצולע לעצמו. הפעולה בחבורה היא הרכבה של שיקופים וסיבובים (ביצוע אחד מהם ולאחריו השני).

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

חבורה דיהדרלית נוצרת על ידי שני איברים, "איבר שיקוף" (שבדרך כלל מסומן כ-s), ו"איבר סיבוב" (שבדרך כלל מסומן כ-r) שבעצם מהווה "סיבוב" המצולע \frac{2\pi}{n} רדיאנים בכיוון מוגדר (עם או נגד כיוון השעון). באופן פורמלי, החבורה הדיהדרלית של מצולע משוכלל מסדר n מוגדרת על ידי ההצגה: D_n=\langle s,r|r^n=e,s^2=e,s^{-1}rs=r^{-1} \rangle כאשר e הוא איבר היחידה של החבורה.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • שלט עצור הוא מצולע משוכלל מסדר 8 (מתומן) עם כיתוב. אם נגדיר את שיקוף השלט כאיבר s, וסיבוב של השלט 45 מעלות נגד כיוון השעון כ-r, נקבל את החבורה הדיהדרלית D_8. בתרשים, השורה הראשונה מתקבלת מהפעלת איבר הסיבוב r על השלט, והשורה השנייה מתקבלת מהפעלת איבר הסיבוב r על שיקוף השלט (האיבר s).
פעולת איברי החבורה D_8 על שלט עצור.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • לכל חבורה דיהדרלית יש (לכל הפחות) שתי תתי-חבורות (לא טריוויאליות) ציקליות הנוצרות על ידי האיברים s ו-r, שסדריהן יהיו, בהתאמה, 2 ו-n.
  • מספר האיברים של חבורה דיהדרלית של מצולע משוכלל בעל n צלעות הוא 2n.
  • לכל חבורה דיהדרלית יש תת-חבורה נורמלית הנוצרת על ידי האיבר r (מכיוון שהיא מאינדקס 2).

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא חבורה דיהדרלית בוויקישיתוף
P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.