חוקי קירכהוף

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

חוקי קירכהוף למעגלים (או חוקי קירכהוף) הם צמד חוקים פיזיקליים העוסקים בזרמים ומתחים במעגלים חשמליים.

החוקים תוארו לראשונה על ידי גוסטב קירכהוף בשנת 1845. חוקים אלו היו במקור חוקים ניסיוניים, אולם, שני החוקים נובעים מחוקי שימור מטען ואנרגיה וניתן לקבל אותם ממשוואות מקסוול אשר נוסחו 19 שנה מאוחר יותר ב־1864. לחוקים מקום חשוב בניתוח מעגלים חשמליים.

מקרים פרטיים של חוקים אלו הם חיבור בטור וחיבור במקביל.

חוק הזרמים[עריכת קוד מקור | עריכה]

חוק הזרמים של קירכהוף
דוגמה לחוק הזרמים של קירכהוף: סכום הזרמים הנכנסים לנקודה שווה לסכום הזרמים היוצאים ממנה, כתוצאה מכך מתקיים השוויון \ i_2+i_3=i_1+i_4 או \ i_2+i_3-i_1-i_4=0 .

חוק הזרמים (Kirchhoff's current law או בקיצור KCL), נקרא גם החוק הראשון של קירכהוף או חוק הצומת.

החוק מסתמך על חוק שימור המטען - עבור כל נקודה במעגל שאין בה הצטברות של מטען, כל מטען שנכנס צריך גם לצאת. בהתאם לכך, הסכום האלגברי של הזרמים הנכנסים לצומת חשמלי שווה לסכום הזרמים היוצאים ממנה. כלומר:

I_{\text{in}}^{\text{tot}} = I_{\text{out}}^{\text{tot}}

או - הסכום האלגברי של הזרמים הנכנסים לצומת ויוצאים ממנה שווה לאפס.

\sum_{k=1}^n I_k = I_1 + I_2 + \dots + I_n = 0

n מייצגת את כמות ה"ענפים" של הצומת שמהם הזרם נכנס או יוצא. לצורך החישוב, הזרמים הנכנסים לצומת מקבלים סימן חיובי והיוצאים סימן שלילי.

הוכחה לחוק הזרמים על ידי דיברגנץ[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להגיע לחוק הזרמים על ידי ביצוע פעולת הדיברגנץ על חוק אמפר המתוקן ושילוב עם חוק גאוס:

\nabla \cdot \mathbf{J} = -\nabla \cdot \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} = -\frac{\partial \rho}{\partial t}

כלומר סכום הזרמים הנכנסים לנפח מסוים (כאשר אלה היוצאים הם שליליים) שווה לקצב השתנות צפיפות המטען שם. אם הצפיפות לא משתנה

(\frac{\partial \rho}{\partial t}=0) אזי סכום הזרמים הנכנסים שווה לאפס.

חוק המתחים[עריכת קוד מקור | עריכה]

חוק המתחים של קירכהוף
דוגמה לחוק המתחים של קירכהוף: סכום המתחים על פני לולאה סגורה חייב להיות אפס ולכן \ v_1+v_2+v_3+v_4=0

חוק המתחים (Kirchhoff's voltage law או בקיצור KVL), נקרא גם החוק השני של קירכהוף.

החוק מסתמך על חוק שימור האנרגיה וטוען שסכום המתחים (הפרשי הפוטנציאלים) על פני לולאה סגורה כלשהי במעגל חייב להיות אפס (אחרת ניתן ליצור אנרגיה יש מאין). אם נקודת ההתחלה ונקודת הסיום הן אותה הנקודה לא יכול להיות הפרש פוטנציאליים בינה לבין עצמה. כלומר:

\sum_{k=1}^n V_k = V_1 + V_2 + \dots + V_n = 0

כאשר n מייצגת את מספר המתחים הנמדדים.

על פי חוק אוהם: \ V = I R כאשר:

  • V מסמן מתח חשמלי בין שתי נקודות בגוף
  • I מסמן זרם חשמלי בין שתי נקודות בגוף
  • R מסמן את התנגדות הגוף העשוי מחומר אוהמי

הסימן של הזרם (חיובי או שלילי) נקבע בהתאם לכיוון הלולאה, כך שאם הזרם והלולאה באותו הכיוון הוא יהיה חיובי ואם הם בכיוונים מנוגדים הוא יהיה שלילי.

לאור זאת ניתן להגיע לניסוח נוסף לחוק המתחים: בכל לולאה סגורה במעגל, הסכום האלגברי של הכא"מים של כל המקורות שווה לסכום האלגברי של המכפלות IR.

\sum \epsilon = \sum IR

המתח של כא"מ יחשב חיובי כאשר כיוון הלולאה הוא מההדק השלילי לחיובי.

גרסה נוספת לאותה המשוואה:

\sum \epsilon - \sum IR = 0

אם משתמשים בגרסה זו של המשוואה יש לזכור להפוך את כל הסימנים של IR.

ניתוח מעגל חשמלי באמצעות חוקי קירכהוף[עריכת קוד מקור | עריכה]

נתון מעגל חשמלי בעל שני מקורות מתח ושלושה נגדים.

Kirshhoff-example.svg

בשלב הראשון מגדירים כיוון לזרמים במעגל. בשלב זה כיוון הזרמים עדיין לא ידוע, אם יש טעות הזרם הרלוונטי יצא שלילי.

על פי החוק הראשון:

 i_1 - i_2 - i_3 = 0 \,

בשלב השני מגדירם לולאות וקובעים עבור כל אחת מהן באופן שרירותי האם הכיוון החיובי יהיה נגד או עם כיוון השעון.

יישום החוק השני על לולאה s1 נותן:

-R_2 i_2 + \epsilon_1 - R_1 i_1 = 0

יישום החוק השני על לולאה s2 נותן:

-R_3 i_3 - \epsilon_2 - \epsilon_1 + R_2 i_2 = 0

מכאן מתקבלת מערכת משוואות לינאריות על ידי  i_1, i_2, i_3:

\begin{cases}
i_1 - i_2 - i_3 & = 0 \\
-R_2 i_2 + \epsilon_1 - R_1 i_1 & = 0 \\
-R_3 i_3 - \epsilon_2 - \epsilon_1 + R_2 i_2 & = 0 \\
\end{cases}

אם נתון


R_1 = 100,\ R_2 = 200,\ R_3 = 300\text{ (ohms)};\ \epsilon_1 = 3,\ \epsilon_2 = 4\text{ (volts)}

הפתרון הוא

\begin{cases}
i_1 = \frac{1}{1100} \text{ or } 0.\bar{90}\text{ mA}\\
i_2 = \frac{4}{275} \text{ or } 14.\bar{54}\text{ mA}\\
i_3 = - \frac{3}{220} \text{ or } -13.\bar{63}\text{ mA}\\
\end{cases}

ל- i_3 יש סימן שלילי, זה אומר שהכיוון של i_3 הוא הפוך מזה שהנחנו לצורכי הפתרון (כלומר, כיוונו הפוך לזה שנראה בציור).

מקרים פרטיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – חיבור בטור ובמקביל

בחיבור חשמלי בטור של שניים או יותר רכיבים חשמליים, הזרם שעובר בכל אחד מהרכיבים - זהה, והמתח הכולל עליהם שווה לסכום המתחים על כל אחד מהם בנפרד.

בחיבור חשמלי במקביל של שניים או יותר רכיבים חשמליים, המתח על כל אחד מהם - זהה, והזרם הכולל שעובר בהם שווה לסכום הזרמים שעובר בכל אחד מהם בנפרד.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא חוקי קירכהוף בוויקישיתוף