אנרגיה פוטנציאלית חשמלית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

אנרגיה פוטנציאלית חשמלית היא אנרגיה פוטנציאלית האצורה בשדה חשמלי, הנובעת מכוח לורנץ הפועל על מטען חשמלי בשדה אלקטרומגנטי. יחידת ה-SI של אנרגיה פוטנציאלית חשמלית היא ג'אול.

אנרגיה פוטנציאלית של חלקיק טעון[עריכת קוד מקור | עריכה]

פוטנציאל ואנרגיה פוטנציאלית חשמלית של חלקיק טעון, כתלות במרחק ובסוג המטען.

האנרגיה החשמלית נובעת מהימצאותו של מטען חשמלי בתוך שדה חשמלי. האנרגיה הפוטנציאלית החשמלית של חלקיק q המצוי בפוטנציאל חשמלי \ V(r) שווה למכפלה \ qV(r). העבודה הנדרשת להעברת מטען זה דרך הפרש פוטנציאלים נתון על ידי המשוואה הבאה: W_{ab} = qV_{ab} = q(V_{a}-V_{b}) \,

אנרגיה פוטנציאלית האצורה בקבוצת מטענים[עריכת קוד מקור | עריכה]

האנרגיה הפוטנציאלית בין שני מטענים שווה לאנרגיה הפוטנציאלית של אחד המטענים בהשפעת השדה החשמלי שיוצר המטען השני. כלומר, אם מטען q_1 יוצר בנקודה r_2 בה מונח מטען q_2 פוטנציאל חשמלי V_{r_2}, אז האנרגיה הפוטנציאלית האצורה תהיה: U = q_2V_{r_2}. ניתן היה לחשב את האנרגיה גם על פי הפוטנציאל בנקודה r_1, ולכן ברור שמתקיים: U = q_1V_{r_1} = q_2V_{r_2} = \frac{1}{2}(q_1V_{r_1}+q_2V_{r_2})

ביטוי זה ניתן להכללה עבור קבוצה של N מטענים q_i הממוקמים בנקודות r_i, כאשר בכל אחת מנקודות אלו יש פוטנציאל של V_{r_i} שנוצר בהשפעת כל המטענים פרט למטען הנמצא בנקודה r_i. הביטוי עבור המקרה הכללי הוא: U = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^N q_iV_{r_i}

הערה: ההכפלה בחצי נועדה לפצות על ספירה כפולה של ההשפעה ההדדית בין כל שני מטענים.

אנרגיה פוטנציאלית האצורה בפילוג מטען מרחבי[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להכליל שוב את הביטוי מהסעיף הקודם כדי לקבל ביטוי עבור האנרגיה הפוטנציאלית של פילוג מטען שאינו מורכב בהכרח מאוסף מטענים נקודתיים אלא מרוח על פני המרחב:

U = \frac{1}{2}\int \limits_{\text{all space}} \rho(r)V(r)d^3r

כאשר:

\ \rho(r) היא צפיפות המטען של הפילוג בנקודה r.
\ V(r) הוא הפוטנציאל החשמלי בנקודה r.

אנרגיה האצורה בשדה חשמלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להשתמש במשוואה של האנרגיה הפוטנציאלית האצורה בפילוג מטען מרחבי ולהביאה למונחים של השדה החשמלי.

על פי חוק גאוס (בצורתו הדיפרנציאלית): \mathbf{\nabla}\cdot\vec E = \frac{\rho(r) }{\epsilon_r\epsilon_0}

כאשר:

\epsilon_r הוא המקדם הדיאלקטרי היחסי של התווך.
\epsilon_0 הוא המקדם הדיאלקטרי של הריק.
\vec E הוא וקטור השדה החשמלי.

לכן מתקיים:

U = \frac{1}{2}\int \limits_{\text{all space}} \rho(r)V(r)d^3r = \frac{1}{2}\int \limits_{\text{all space}} \epsilon_r\epsilon_0(\mathbf{\nabla}\cdot{\vec {E}})V(r)d^3r

על פי חוקי אנליזה וקטורית:

\mathbf{\nabla}\cdot(\vec EV) = (\mathbf{\nabla}V)\vec E + V(\mathbf{\nabla}\cdot\vec E)

ולכן:

 U = \frac{\epsilon_r\epsilon_0}{2}\int \limits_{\text{all space}} \mathbf{\nabla}\cdot(\vec EV) d^3r - \frac{\epsilon_r\epsilon_0}{2}\int \limits_{\text{all space}} (\mathbf{\nabla}V)\vec E d^3r

תוך שימוש במשפט גאוס וקביעה שהפוטנציאל החשמלי באינסוף מתאפס:

 U = \frac{\epsilon_r\epsilon_0}{2}\int V\vec E\cdot \vec {dA} - \frac{\epsilon_r\epsilon_0}{2}\int \limits_{\text{all space}} (-\vec E)\cdot\vec E d^3r = \int \limits_{\text{all space}} \frac{1}{2}\epsilon_r\epsilon_0\left|{\vec E}\right|^2 d^3r

לכן, צפיפות האנרגיה, או האנרגיה ליחידת נפח של השדה החשמלי היא:  \eta = \frac{1}{2} \epsilon_r\epsilon_0 \left|E\right|^2

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]