מודל איזינג

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

מודל איזינג (על שמו של ארנסט איזינג) הוא מודל מתמטי במכניקה סטטיסטית, המשמש לתיאור פרומגנט, או כל מערכת שקולה של יחידות הנמצאות בסריג ומבצעות אינטראקציית שכנים קרובים. זהו המודל הראשון (והפשוט ביותר) במשפחה רחבה של מודלים מבוססי ספין, אשר מתארים את התנהגותם של חומרים פרומגנטיים בטמפרטורות ושדות מגנטיים שונים. המודל משמש גם לתיאור מערכות שונות שאינן מגנטיות ומשמש מודל חשוב בתחומי מעברי הפאזה.

את המודל פיתח וילהלם לנץ אשר נתן אותו לתלמידו ארנסט איזינג כנושא מחקר לדוקטורט. איזינג, שעל שמו קרוי המודל, פתר את המודל עבור ממד אחד ומצא שלא מתקבל בו מעבר פאזה בטמפרטורה סופית (1925). על סמך זאת הסיק איזינג בטעות כי במודל לא מתרחש מעבר פאזה גם במימד גבוה יותר. מאוחר יותר (1944) הוכיח לארס אונסגר כי במודל איזינג דו-ממדי מתקבל מעבר פאזה, תוצאה הנחשבת לחשובה מאוד בתחום הפיזיקה הסטטיסטית בפרט ובתחום הפיזיקה התאורטית בכלל.

תיאור המודל[עריכת קוד מקור | עריכה]

הנחות יסוד[עריכת קוד מקור | עריכה]

המודל מניח כי בכל נקודת סריג מצוי מומנט מגנטי, או 'ספין' S, אשר ערכו הוא בינארי (לרוב מיוצג בתור 1 + ו 1-), כאשר ביצוג מרחבי הספין מתואר כחץ שמצביע "מעלה" או "מטה". הספינים מקובעים לנקודות הסריג ואינם יכולים לנוע, אך יכולים לשנות את ערכם מערך בינארי אחד לשני, בהתאם לאינטרקאציה ביניהם.

תנאי השפה בבעיה לרוב נלקחים כמחזוריים, כדי להתקרב לגבול התרמודינמי של מערכת אינסופית.

האינטראקציה[עריכת קוד מקור | עריכה]

המילטוניאן האינטראקציה במודל איזינג, ללא שדה מגנטי חיצוני, מתואר על ידי:

 \mathcal{H} =-g \sum_{<i,j>} {S_i}{S_j} .

כאשר g הוא קבוע בעל יחידות אנרגיה הנקרא "אנרגיית הקשר". הסכימה היא על כל זוגות הספינים השכנים i,j.

מהתבוננות בהמילטוניאן, רואים שערך אנרגיית הקשר בין שני ספינים סמוכים הוא בינארי - אם שני הספינים מצביעים באותו כיוון אנרגיית הקשר היא g- ואם הם מצביעים בכיוונים מנוגדים אנרגיית הקשר g+. מכאן, בהכרח קיים מספר סופי של מצבי אנרגיה עבור ספין מסוים ושכניו הקרובים. לדוגמה, עבור ספין בסריג דו-ממדי ריבועי (בו ישנם ארבעה שכנים קרובים), ייתכנו רק 5 ערכי אנרגיה לאינטראקציה בין הספין ושכניו. לעובדה זו חשיבות מכרעת לפתרון המודל.

בתוספת שדה מגנטי חיצוני, מתווסף לאנרגיה איבר אינטראקציה של מומנט מגנטי עם שדה חיצוני.

פתרון המודל[עריכת קוד מקור | עריכה]

כמו בבעיות אחרות שבהן מטפלת הפיזיקה הסטטיסטית, פתרון ישיר של משוואות התנועה במודל איזינג אינו ישים עבור מערכת גדולה, בשל הדרישה (ממשוואות המילטון) לפתרון שתי משוואות דיפרנציאליות לכל נקודת סריג, כלומר מספר עצום של משוואות דיפרנציאליות מצומדות. לכן פתרון המודל משמעו חישוב הגדלים התרמודינמיים המקרוסקופיים של מערכת כזו, כגון אנרגיה חופשית, קיבול חום סגולי ומגנטיזציה, כתלות בטמפרטורה ובשדה המגנטי החיצוני. מגדלים אלו ניתן למצוא את טמפרטורת מעבר הפאזה והאקספוננטים הקריטיים השונים בסביבות מעבר הפאזה.

עבור שרשרת איזינג בממד אחד אין מעבר פאזה, כך שבכל טמפרטורה (שונה מאפס) המערכת היא פרומגנט. למערכת דו-ממדית ומעלה בעלת אינטראקציה כזו יהיה מעבר פאזה יחיד מסדר שני, מפאזה לא-סדורה (פרומגנט) לפאזה סדורה (פאראמגנט), בטמפרטורה קריטית מסוימת. מעבר שכזה ילווה בהתבדרות של החום הסגולי (או מקסימום חד, במערכת סופית).

מודל איזינג עבור המקרה הדו-ממדי (ללא שדה חיצוני) נפתר באופן אנליטי בסביבות הנקודה הקריטית של מעבר הפאזה על ידי לארס אונסגר בשנת 1944.

המודל התלת-ממדי לא נפתר אנליטית, אולם קיים מגוון רחב של שיטות לפתרונו באופן נומרי עבור גבישים בגודל סופי. גדלים אלו שונים מהותית מהגדלים עבור סריג אינסופי, אולם ניתן למצוא את הגדלים בגבול האינסופי על ידי ביצוע סימולציות רבות בגדלי סריג משתנים, וידיעה של התנהגות גדלים אלו כתלות בגודל הסריג (תהליך זה נקרא finite size scaling).

מרבית השיטות הנומריות משתמשות בסימולציה סטטיסטית (שיטת מונטה-קרלו) המחולקת לצעדי זמן, שבה לכל ספין בצעד זמן נתון ישנו סיכוי לשנות את מצבו, כאשר ההסתברות לעבור למצב כלשהו (מבין שני המצבים האפשריים) נקבעת לפי האנרגיה שתהיה לספין ולשכניו במצב זה. מאחר שמספר החלקיקים במערכת כזו קבוע, התפלגות בולצמן מתארת בצורה טובה את הסתברות המעבר למצב חדש עם אנרגיה נתונה. מאחר שמספר מצבי האנרגיה האפשריים הוא סופי, ניתן לבנות בהתאם להתפלגות טבלה של הסתברויות מעבר כתלות במצב השכנים של ספין מסוים. באופן זה, לכל ספין נדרשת הגרלה של מספר אקראי יחיד, כך שהסימולציה אינה יקרה בזמן מעבד. ניתן לחסוך זמן מעבד נוסף על ידי היפוך של קבוצות ספינים שאין ביניהם אינטראקציה באופן סימולטני.

מודלים דומים[עריכת קוד מקור | עריכה]

מודל איזינג הוא מודל פשטני ביותר לתיאור פרומגנט. קיימים מודלים רבים ומורכבים יותר, אשר בהם לספינים רמות חופש נוספות, החל ממספר מצבים גדול יותר מ-2 (מודל פוץ) וכלה בחופש מרחבי מוחלט (מודל הייזנברג).

שימושים מחוץ לפיזיקה[עריכת קוד מקור | עריכה]

בשל אופיו הבינארי הפשוט, מודל איזינג הוא שיטה נוחה לפתרון בעיות אופטימיזציה. הפרמטרים השונים של הבעיה ממודלים לספינים על גביש, כאשר עוצמת הקשר ביניהם וקרבתם נקבעים לפי תנאי הבעיה, ופונקציית המחיר היא השקול לאנרגיה. למערכת כזו נותנים להתייצב במינימום האנרגיה, וכך מקבלים פתרון אופטימלי. שיטה זו ידועה בשם simulated annealing.