תורת הכאוס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Disambig RTL.svgהמונח "כאוס" מפנה לכאן. אם התכוונתם למשמעות אחרת, ראו כאוס (פירושונים).
"מטוטלת כאוס" בגן המדע שבמכון ויצמן. למטוטלת שלוש זרועות קבועות בצורת T, ושלוש זרועות חופשיות. שינוי קל בתנופה ההתחלתית מביא לשינוי בלתי צפוי באופן התנועה של הזרועות

תורת הכאוס או (התוהו) הוא ענף במתמטיקה, פיזיקה וכלכלה המתאר התנהגות של מערכות דינמיות שמגלות רגישות גבוהה לשינויים קטנים בתנאי התחלה.

החידוש הגדול בתורת הכאוס היה שהיא הראתה שגם במערכות פשוטות ודטרמיניסטיות יש מצבים בהן התנהגותן לא ניתנת לחיזוי באופן אפקטיבי, כי לשם כך יש צורך בידיעת התנאים ההתחלתיים בדיוק אינסופי. תופעה זו מכונה בלשון ציורית "אפקט הפרפר". דוגמאות למערכות כאלה הן האטמוספירה ומערכות כלכליות מסוימות.

בניגוד למה שהשם מרמז, התנהגות כאוטית אינה התנהגות בה יש אי סדר מוחלט. התנהגות כאוטית היא חסומה, כלומר מוגבלת לאירועים מסוימים, והמערכת שואפת למושך - אוסף יציב של מצבים. עד פיתוח תורת הכאוס המושכים היחידים הידועים היו התכנסות לנקודת שיווי משקל, התכנסות למסלול מחזורי, והתכנסות למסלול כמעט מחזורי. תורת הכאוס הוסיפה גם מושך מוזר, שהוא מסלול שהמערכת מתכנסת אליו, ואשר יש לו אופי פרקטלי.

מערכות שבהן מתקיימת התנהגות כאוטית חייבות להיות לא לינאריות. עבור משוואות הפרש התנהגות כאוטית יכולה להופיע כבר במשוואה יחידה, כמו ההעתקה הלוגיסטית. עבור משוואות דיפרנציאליות רגילות התנהגות כאוטית יכולה להופיע רק ממערכת בת לפחות שלוש משוואות אוטונומיות מסדר ראשון, כמו משוואות לורנץ, או מערכת של שתי משוואות עם תלות ישירה בזמן.

תיאור של התאוריה[עריכת קוד מקור | עריכה]

מערכת דינמית לא-לינארית יכולה באופן כללי להתנהג באחד או יותר מהאופנים הבאים:

  • להיות תמיד במנוחה
  • לגדול באופן אינסופי (רק במערכות לא חסומות)
  • להיות בתנועה מחזורית
  • להיות בתנועה מחזורית-למחצה
  • להיות בתנועה כאוטית

סוג ההתנהגות של המערכת תלוי במצב ההתחלתי שלה ובערכי הפרמטרים שלה. סוג ההתנהגות הקשה ביותר לחיזוי ולאפיון הוא הכאוטי, תנועה מורכבת לא-מחזורית שנתנה את שמה לתאוריית הכאוס.

תנועה כאוטית[עריכת קוד מקור | עריכה]

מערכת כאוטית מוגדרת כבעלת המאפיינים הבאים:

  • תלות חזקה בערך המדויק של תנאי ההתחלה
  • טרנזיטיביות מבחינה טופולוגית
  • המסלולים המחזוריים שלה צפופים במרחב המצבים

רגישות למצב ההתחלתי פירושו ששתי נקודות במערכת כזו עשויות להתנהג בצורה שונה מאוד, אפילו אם ההבדל ביניהן במצב ההתחלתי היה קטן מאוד. המערכות יתנהגו באופן זהה אך ורק אם התנאים המוקדמים היו זהים בדיוק. דוגמה לרגישות שכזו היא "אפקט הפרפר", שבו התנועה של כנפי הפרפר יוצרת, כביכול, שינויים קטנים באטמוספירה, שבמשך הזמן גורמים למזג האוויר להשתנות באופן משמעותי וליצור, באופן פוטנציאלי, אירוע אטמוספירי דרמטי כמו סופת טורנדו. תנועת הכנפיים של הפרפר היא שינוי קטן במצב ההתחלתי שגורם לשרשרת אירועים שמביאה לתופעות בקנה מידה גדול כמו הטורנדו. דוגמאות מוכרות אחרות לתנועה כאוטית הן הערבוב של צבעים נוזליים ומערבולות אוויר.

מושכים[עריכת קוד מקור | עריכה]

צורה אחרת לדמיין את התנועה הכאוטית, ובעצם כל סוג של תנועה, היא על ידי דיאגרמת פאזה של התנועה. בדיאגרמה כזו, כל אחד מצירי גרף הפונקציה מייצג ממד אחד של המצב, והזמן אינו מיוצג בו. לדוגמה, אפשר לצייר את המיקום של מטוטלת כנגד המהירות שלה. מטוטלת במנוחה תצויר כנקודה, בעוד שמטוטלת בתנועה מחזורית תצויר כעקומה סגורה פשוטה. כאשר ציור כזה יוצר עקומה סגורה, העקומה קרויה מסלול. למטוטלת שבדוגמה כאן ישנו מספר אינסופי של מסלולים כאלה, הנבדלים זה מזה באנרגיה שלהם.

לעתים קרובות, דיאגרמות פאזה מראות כי רוב המצבים מתקרבים לגבול מסוים. המערכת בסופו של דבר נעה באותה צורה עבור כל התנאים ההתחלתיים בתחום מסוים, כמעט כאילו המערכת נמשכת לתנועה הזו. תנועה "מושכת" כזו קרויה המושך של המערכת, והיא נפוצה מאד.

לדוגמה, אם נחבר למטוטלת משהו שיאט אותה, המטוטלת תמיד תגיע למנוחה בסופו של דבר, וללא תלות במצב ההתחלתי שלה, או ליתר דיוק - היא תגיע למנוחה בגבול. בדיאגרמת פאזה הדבר ייראה כקווים היוצרים ספירלה לכיוון האמצע, במקום סדרות של אליפסות, כפי שהיה במטוטלת חופשית. הנקודה הזו באמצע - המצב שבו המטוטלת נמצאת במנוחה - קרויה המושך. מושכים משויכים לעתים קרובות למערכות כמו המטוטלת, שבהן אלמנט מסוים מוריד בהדרגה את האנרגיה של המערכת.

במערכות פשוטות לניתוח, המושך הוא לרוב נקודתי. אבל לא כל המושכים הם כאלה. ישנן גם לולאות פשוטות, או לולאות כפולות מורכבות יותר (שבהן צריך יותר משתי דרגות חופש). ויש כאלה שהן למעשה פרקטלים: ה"מושכים המוזרים". מערכות עם מושכים לולאתיים מציגים תנועה מחזורית. אלה עם הלולאות המורכבות יותר מציגים לרוב תנועה מחזורית-למחצה. ומערכות עם "מושכים מוזרים" מציגים התנהגות כאוטית.

בכל נקודה של דיאגרמת הפאזה, המערכת תיטה להתפתח למצב שכן בצורה דטרמניסטית (ניתנת לחיזוי) כלשהי. אם המטוטלת שלנו נמצאת בנקודה מסוימת ויש לה מהירות מסוימת, אנו יכולים לחשב את הנקודה הבאה שלה ואת המהירות שלה שם. כלומר, אנו יכולים להתייחס לדיאגרמת הפאזה שלנו כשדה וקטורים, ולהבין אותה באמצעות אנליזה וקטורית.

מושכים מוזרים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בעוד שרוב אופני התנועה שמוזכרים למעלה יוצרים מושכים פשוטים, כמו נקודות או עקומות בצורת עיגול, תנועה כאוטית מתכנסת למושכים מוזרים, שהם בעלי מורכבות ופירוט גדולים מאד. לדוגמה, מודל תלת ממדי של מערכת מזג האוויר של לורנץ יוצר את "מושך לורנץ" המפורסם. הדיאגרמה של מושך זה היא אחת הדיאגרמות הידועות ביותר במערכות הכאוטיות, הן משום שהייתה מהראשונות שהתפרסמו, והן בשל צורתה האלגנטית, המזכירה כנפי פרפר.

מושכים מוזרים קיימים במערכות דינמיות רציפות (כמו מערכת לורנץ) ובמערכות דיסקרטיות, בדידות (כמו מפת הנון). למערכות דינמיות דיסקרטיות אחרות יש מבנה דוחה שקרוי קבוצת ג'וליה, שנוצר בגבול בין אזורי משיכה בנקודות קבועות - אפשר לחשוב על קבוצת ג'וליה כדוחה מוזר. למושכים ולדוחים המוזרים יש מבנה פרקטלי.

משפט פואנקרה-בנדיקסון מראה כי מושך מוזר יכול להווצר במערכת דינאמית רציפה רק אם יש לו שלושה או יותר ממדים. אולם, מגבלה זו אינה קיימת במערכות דיסקרטיות, שמציגות מושכים מוזרים במערכות בעלות שני ממדים או אפילו ממד אחד.


הדפוס של מערכת עם "מושך מוזר" הוא שונה. מערכות עם "מושכים מוזרים" מציגות התנהגות כאוטית. מיפוי המושך המוזר מראה שהתנהגות המערכת בלתי צפויה ולא מכנית, נראית "משונה" או "מוזרה" ואינה עקבית וסדירה כמו ה"מושך". מכיוון שהמערכת פתוחה לסביבה החיצונית שלה, היא מסוגלת להפגין גוונים רבים של תנועה. באופן כללי, בכל אורגניזם בריא קיים "מושך מוזר", והוא עצמו "מושך מוזר" המתפתל, מתנועע, משתנה, מלא מעגלי משוב חיוביים הדוחפים את המערכת לכיוונים חדשים, ומעגלי משוב שליליים הדואגים לכך שהתהליך לא יגלוש לאקראיות צרופה, שתהרוס אותו.

היסטוריה[עריכת קוד מקור | עריכה]

שורשיה של תאוריית הכאוס בערך בשנת 1900, במחקריו של אנרי פואנקרה על בעיית שלושת הגופים, העוסקת בתנועה של שלושה גופים בחלל, בהשפעת הכבידה. פואנקרה גילה שיכולים להיות מסלולים לא-מחזוריים, שאינם מתרחקים או מתקרבים לנקודה קבועה. מחקרים מאוחרים יותר, גם בנושא של משוואות דיפרנציאליות לא לינאריות, נעשו על ידי ג.ד. בירקהוף, א. נ. קולמוגורוב, מ. ל. קרטוויט, ג'. א. ליטלווד וסטפן סמייל. חוץ מסמייל, שהיה אולי המתמטיקאי הטהור הראשון שחקר את הדינמיקה הא-לינארית, מחקרים אלה כולם היו בהשראת הפיזיקה: בעיית שלושת הגופים במקרה של בירקהוף, מערבולות ובעיות אסטרונומיות במקרה של קולמוגורוב, והנדסת רדיו במקרה של קרטוויט וליטלווד. אם כי תנועה כאוטית של כוכבי-לכת לא נצפתה, לא הייתה בנמצא תאוריה שיכלה להסביר את חוסר הסדר בתנועת נוזלים ואת השינוי הלא-מחזורי במעגלי רדיו.

תאוריית הכאוס התקדמה מהר יותר לאחר אמצע המאה, כאשר מדענים החלו להבין שתורת המערכות הלינאריות, התאוריה המערכתית המובילה באותו זמן, לא יכולה להסביר את ההתנהגות של ניסויים מסוימים כמו ההעתקה הלוגיסטית. הקטליזטור העיקרי להתפתחות של תאוריית הכאוס היה המחשב האלקטרוני. חלק גדול מהמתמטיקה של תאוריית הכאוס כוללת ביצוע של נוסחאות מתמטיות פשוטות פעמים רבות, דבר שלא היה אפשרי ללא המחשב. באחד מהמחשבים האלקטרוניים הראשונים, ה-ENIAC, השתמשו לערוך מודלים פשוטים של מזג האוויר.

חלוץ מוקדם של התאוריה היה אדוארד לורנץ, שהתעניינותו בכאוס באה במקרה דרך מחקריו על חיזוי מזג אוויר ב-1961. לורנץ השתמש במחשב בסיסי שעליו הריץ את הסימולציה האקלימית שלו. הוא רצה לראות שוב כמה נתונים שראה קודם, ועל מנת לחסוך זמן הוא הזין את הנתונים שהתקבלו באמצע סימולציה קודמת.

להפתעתו, המחשב חזה כעת מזג אוויר שונה לחלוטין. לורנץ הבין שהשינוי נובע מכך שהנתונים החדשים שהשתמש בהם היו בעלי 3 ספרות לאחר הנקודה, ואילו המחשב קודם לכן עבד עם 5 ספרות לאחר הנקודה. השינוי הזה קטן מאד, ובאותו זמן היה קונצנזוס ששינוי כזה לא יכול להשפיע בכלל. אך לורנץ גילה ששינויים קטנים בתנאים ההתחלתיים יכולים להביא לשינויים גדולים בסופו של דבר.

המונח כאוס במתמטיקה נטבע על ידי המתמטיקאי ג'יימס א. יורק.

זמינותם של מחשבים זולים וחזקים יותר מאפשרים יישום רחב יותר של תאוריית הכאוס. כיום תאוריית הכאוס היא תחום מחקר פעיל ביותר.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]