משפט הרשל-מקסוול

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, ובפרט בתורת ההסתברות, משפט הרשל-מקסוול הוא משפט הקובע כי משתנה מקרי רציף רב ממדי המקיים סימטריה לסיבוב ואי-תלות בין רכיביו הוא בהכרח משתנה מקרי המתפלג רב-נורמלית כאשר כל רכיביו בעלי אותה סטיית תקן.

משפט זה, ביחד עם משפט הגבול המרכזי וחוק המספרים הגדולים, מציגים את ייחודה של ההתפלגות הנורמלית על-פני התפלגויות אחרות. מעבר לכך, המשפט מאפשר אינטואיציה גאומטרית להופעתו של פאי בפונקציית צפיפות ההסתברות של ההתפלגות הנורמלית.

המשפט נוסח לראשונה במאמר של ג'ון הרשל משנת 1850, ונוסח שוב במאמר של ג'יימס קלרק מקסוול משנת 1860 כטענת עזר למאמר בנושא מערכות דינמיות של גז.

נוסח המשפט

בהינתן מרחב הסתברות $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )$, $2\leq n\in \mathbb {N}$ ומשתנה מקרי רב ממדי ${\vec {X}}=(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})$ המקיים את התנאים הבאים:

1. כל המשתנים המקריים $X_{i}$ רציפים.
2. כל המשתנים המקריים $X_{i}$ בלתי-תלויים זה בזה בזוגות.
3. פונקציית צפיפות ההסתברות של ${\vec {X}}$ סימטרית לסיבוב במרחב $\mathbb {R} ^{n}$.

אזי כל המשתנים המקריים $X_{i}$ שווי התפלגות, ובפרט כולם מתפלגים נורמלית עם ממוצע 0 ואותה סטיית תקן.

הוכחה

המקרה הדו-ממדי

מכיוון שהמשתנים המקריים $X_{1},X_{2}$ רציפים, קיימות לשניהם פונקציות צפיפות הסתברות $\rho _{i}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ($i=1,2$).

עבור ${\vec {X}}$ ניתן לסמן פונקציית צפיפות הסתברות כוללת $\rho :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$.

מכיוון ו-$X_{1},X_{2}$ בלתי-תלויים מתקיים $\rho (x,y)=\rho _{1}(x)\rho _{2}(y)$.

לכל $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ קיימים $r\geq 0$ ו-$0\leq \theta \leq 2\pi$ כך ש-$x=r\cos \theta$ ו-$y=r\sin \theta$. בגלל תנאי הסימטריה מתקיים כי:

${\begin{array}{lcl}\rho _{1}(x)\rho _{2}(y)=\rho (x,y)=\rho (r,0)=\rho _{1}(r)\rho _{2}(0)=\rho _{1}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)\rho _{2}(0)&(1)\end{array}}$

בגלל תנאי הנרמול על פונקציית צפיפות ההסתברות בהכרח מתקיים כי $\rho _{2}(0)\neq 0$ (אחרת האינטגרל של $\rho$ על כל $\mathbb {R} ^{2}$ היה מתאפס). באופן דומה ניתן להוכיח כי $\rho _{1}(0)\neq 0$. מטעמי סימטריה סיבובית:

$\rho _{1}(x)\rho _{2}(0)=\rho (x,0)=\rho (0,x)=\rho _{1}(0)\rho _{2}(x)\implies {\frac {\rho _{1}(x)}{\rho _{1}(0)}}={\frac {\rho _{2}(x)}{\rho _{2}(0)}}=:g(x)$

כאשר $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$. על ידי חילוק משוואה (1) ב-$\rho _{1}(0)\rho _{2}(0)$ מתקבל:

$g(x)g(y)={\frac {\rho _{1}(x)\rho _{2}(y)}{\rho _{1}(0)\rho _{2}(0)}}={\frac {\rho _{1}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)}{\rho _{1}(0)}}=g\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)$

זוהי משוואה פונקציונלית שפתרונה הוא מהצורה $g(x)=e^{-ax^{2}}$ עבור $a>0$ כלשהו. על ידי הצבה, נרמול פונקציות ההסתברות והחלפת משתנים, מתקבל כי:

$\rho _{1}(x)=\rho _{2}(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$

זוהי פונקציית צפיפות ההסתברות של התפלגות נורמלית עם ממוצע 0 וסטיית תקן $\sigma$, כרצוי. מ.ש.ל.

קיימת הוכחה נוספת למשפט המבוססת על חוק המספרים הגדולים.

המקרה הכללי

בגלל שהסמטריה מתקיימת לכל סיבוב שהוא, היא מתקיימת בפרט לכל סיבוב בתת-מרחב דו-ממדי של $\mathbb {R} ^{n}$. כלומר, לכל זוג משתנים מקריים $X_{i},X_{j}$ מתקיים תנאי המשפט הדו-ממדי, ולכן שתיהן מתפלגות נורמלית עם ממוצע 0 ואותה סטיית תקן. הדבר נכון לכל זוג משתנים מקריים, ולכן נכון לכל המשתנים המקריים במשפט.

ראו גם

• התפלגות מקסוול-בולצמן
• התפלגות נורמלית
• משפט הגבול המרכזי
• חוק המספרים הגדולים

קישורים חיצוניים

• Why π is in the normal distribution, סרטון בערוץ "3blue1brown", באתר יוטיוב, 2023-04-02