קבוצת החזקה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת הקבוצות, קבוצת החזקה של קבוצה נתונה \ A היא קבוצת כל תת הקבוצות של \ A, ומסמנים אותה ב-  \mathcal{P}(A). פורמלית  \mathcal{P}(A)=\left\{x|x \sube A \right\}, ולדוגמה:  \mathcal{P}\left(\left\{x,y\right\}\right)=\left\{\emptyset,
\left\{x\right\},\left\{y\right\},\left\{x,y\right\}\right\}. במסגרת תורת הקבוצות האקסיומטית, קיומה של קבוצת חזקה נובע ישירות מאקסיומת קבוצת החזקה.

משפטים שקשורים לקבוצת החזקה[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • עבור כל קבוצה, הקבוצה הריקה מוכלת בה, וכן היא עצמה מוכלת בה, ועל כן הן איברים בקבוצת החזקה.
  • ניתן להוכיח כי עוצמת קבוצת החזקה של קבוצה סופית כלשהי \ A שווה ל- \ 2^{|A|} (שתיים בחזקת עוצמת \ A), ובניסוח מתמטי:  \left|\mathcal{P}(A)\right|=2^{|A|}. בשל תכונה זו עבור קבוצות סופיות, גם כאשר גודל הקבוצה הוא אינסופי, נהוג לסמן את עוצמת קבוצת החזקה של \ A בסימון \ 2^{|A|}.
  • קבוצת החזקה של \ A איזומורפית לקבוצת הפונקציות המציינות: \ \lbrace 0,1 \rbrace^A = \lbrace1_x: A \to \lbrace 0,1 \rbrace|x \sube A\rbrace ולכן הסימון \ 2^{|A|} לעוצמת קבוצת החזקה עקבי עם כללי האריתמטיקה של עוצמות (שלפיהם \ 2^{|A|}=|\lbrace 0,1 \rbrace^A|)
  • משפט קנטור מראה כי אי השוויון  \left|\mathcal{P}(A)\right|>|A| שפשוט יחסית להוכיחו לקבוצות סופיות, נכון לכל קבוצה \ A.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

נושאים בתורת הקבוצות

תורת הקבוצות הנאיביתתורת הקבוצות האקסיומטיתקבוצהיחידוןהקבוצה הריקהאיחודחיתוךמשליםהפרש סימטריקבוצת החזקהמכפלה קרטזיתיחסיחס שקילותפונקציהעוצמהקבוצה בת מנייההאלכסון של קנטורמשפט קנטור שרדר ברנשטייןהשערת הרצףהפרדוקס של ראסלסדר חלקימספר סודרהלמה של צורןאקסיומת הבחירה