פנים (טופולוגיה)

הנקודה p נמצאת בפנים של הקבוצה V שכן הקבוצה V מכילה סביבה של p.

בטופולוגיה, הפְּנים של קבוצה הוא אינטואיטיבית אוסף הנקודות שנמצאות "בתוך" הקבוצה ולא על השפה שלה. נהוג לסמן את הפנים של קבוצה $\ A$ ב-$\ \mbox{Int}(A)$ או ב-$\ A^{\circ}$.

הגדרה פורמלית

ישנן כמה דרכים שקולות להגדיר את הפנים של קבוצה:

• תהא $\ A$ קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה, $\ \mbox{Int}(A)$, בתור קבוצת כל הנקודות $\ x\isin A$ כך שקיימת קבוצה פתוחה $\ B$ כך ש-$\ x\isin B\subseteq A$ - כלומר, הקבוצה $\ A$ היא סביבה של $\ x$.

• תהא $\ A$ קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה בתור הקבוצה הפתוחה הגדולה ביותר שמוכלת ב-$\ A$. על פי הגדרה זו, הפנים הוא איחוד כל הקבוצות הפתוחות המוכלות ב-$\ A$.

• תהא $\ A$ קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה באמצעות הנוסחה הבאה המערבת משלים וסגור: $\ \mbox{Int}(A) = ( \overline{A^c} )^c$.

דוגמה

נחשב את הפנים של הקטע הסגור $\ [0,1]$ בישר הממשי.

$\ [0,1]^c = (\infty,0) \cup (1,\infty)$

$\ \overline{[0,1]^c} = (\infty,0] \cup[(1,\infty)$

$\ (\overline{[0,1]^c})^c = (0,1)$

ולכן הפנים של $\ [0,1]$ הוא הקטע הפתוח $\ (0,1)$.

תכונות הפנים

נשים לב שרבות מתכונות אלו מזכירות את תכונות הסגור.

• כל קבוצה פתוחה שווה לפנים שלה: $\ A=\mbox{Int}(A)$. בפרט הפנים הוא קבוצה פתוחה ולכן $\ \mbox{Int}(A)=\mbox{Int}\left(\mbox{Int}(A)\right)$.
• $\ A\subseteq B \rArr \mbox{Int}(A)\subseteq \mbox{Int}(B)$
• $\ \mbox{Int}(A)\cup \mbox{Int}(B)\subseteq \mbox{Int}\left(A\cup B\right)$
• $\ \mbox{Int}\left(A\cap B\right)= \mbox{Int}(A)\cap \mbox{Int}(B)$

חוץ

החוץ של קבוצה $A$, המסומן $\mbox{Ext}(A)$, מוגדר כפנים של המשלים שלה: $\ \mbox{Ext}(A) = \mbox{Int}(A^c)$. באופן שקול, ניתן להגדיר את החוץ כמשלים של הסגור: $\ \mbox{Ext}(A) = (\overline{A})^c$.

השפה של קבוצה, היא קבוצת האיברים במרחב שלא נמצאים בפנים שלה ולא נמצאים בחוץ שלה.