פנים (טופולוגיה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
הנקודה p נמצאת בפנים של הקבוצה V שכן הקבוצה V מכילה סביבה של p.

בטופולוגיה, הפְּנים של קבוצה הוא אינטואיטיבית אוסף הנקודות שנמצאות "בתוך" הקבוצה ולא על השפה שלה. נהוג לסמן את הפנים של קבוצה \ A ב-\ \mbox{Int}(A) או ב-\ A^{\circ}.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

ישנן כמה דרכים שקולות להגדיר את הפנים של קבוצה:

  • תהא \ A קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה בתור הקבוצה הפתוחה הגדולה ביותר שמוכלת ב-\ A. על פי הגדרה זו, הפנים הוא איחוד כל הקבוצות הפתוחות המוכלות ב-\ A.
  • תהא \ A קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה באמצעות הנוסחה הבאה המערבת משלים וסגור: \ \mbox{Int}(A) = ( \overline{A^c} )^c .

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נחשב את הפנים של הקטע הסגור \ [0,1] בישר הממשי.

\ [0,1]^c = (\infty,0) \cup (1,\infty)
\ \overline{[0,1]^c} = (\infty,0] \cup[(1,\infty)
\ (\overline{[0,1]^c})^c = (0,1)

ולכן הפנים של \ [0,1] הוא הקטע הפתוח \ (0,1).

תכונות הפנים[עריכת קוד מקור | עריכה]

נשים לב שרבות מתכונות אלו מזכירות את תכונות הסגור.

  • כל קבוצה פתוחה שווה לפנים שלה: \ A=\mbox{Int}(A). בפרט הפנים הוא קבוצה פתוחה ולכן \ \mbox{Int}(A)=\mbox{Int}\left(\mbox{Int}(A)\right).
  • \ A\subseteq B \rArr \mbox{Int}(A)\subseteq \mbox{Int}(B)
  • \ \mbox{Int}(A)\cup \mbox{Int}(B)\subseteq \mbox{Int}\left(A\cup B\right)
  • \ \mbox{Int}\left(A\cap B\right)= \mbox{Int}(A)\cap \mbox{Int}(B)

חוץ[עריכת קוד מקור | עריכה]

החוץ של קבוצה A, המסומן \mbox{Ext}(A), מוגדר כפנים של המשלים שלה: \ \mbox{Ext}(A) = \mbox{Int}(A^c). באופן שקול, ניתן להגדיר את החוץ כמשלים של הסגור: \ \mbox{Ext}(A) = (\overline{A})^c.

השפה של קבוצה, היא קבוצת האיברים במרחב שלא נמצאים בפנים שלה ולא נמצאים בחוץ שלה.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]