אקסיומת הקבוצה האינסופית

אקסיומת הקבוצה האינסופית (או אקסיומת האינסוף) היא אחת האקסיומות של תורת הקבוצות האקסיומטית. לפי אקסיומה זו, קיימת קבוצה אינסופית, ובפרט, קיימת קבוצה כזו שכוללת את המספרים הטבעיים (על פי הבנייה של פרגה).

ניסוח

קיימות מספר דרכים לנסח את האקסיומה, אולם הפשוטה והמקובלת ביותר מביניהן אשר איננה עושה שימוש בהגדרתם של מספרים סודרים היא זאת:

קיימת קבוצה $\ A$ כך שמתקיים $\empty\in A$, ולכל $\ a \in A$ מתקיים $\ S(a) \in A$, כאשר $S(a) = a \cup \{ a \}$. כלומר, $\ \exists A \left[ \empty \in A \land \forall a \left( a \in A \to S(a) \in A \right) \right]$.

הקבוצה $\ A$ כוללת את המספרים הטבעיים, משום שעל פי הבנייה של פרגה, אפס מוגדר בתור הקבוצה הריקה, ופונקציית העוקב מוגדרת בתור הפונקצייה $\ S$.

עצמאות

אקסיומת האינסוף עצמאית ביחס לשאר אקסיומות ZFC. אם נגדיר שקבוצה היא הקבוצה הריקה, או כל אוסף סופי של קבוצות, נקבל מודל של ZFC עם השלילה של אקסיומת האינסוף (כל קבוצה היא סופית).