שופר גבריאל

הדמיה של שופר גבריאל

שופר גבריאל (מכונה גם חצוצרת טוריצ'לי) הינו אובייקט בעל שטח פנים אינסופי, אך נפח סופי. אובייקט זה הומצא על ידי אוונג'ליסטה טוריצ'לי אשר עסק בחישוב שטחים בחשבון האינטגרלי. שם האובייקט מושפע מהמלאך גבריאל אשר לפי האמונה הנוצרית יתקע בשופר ביום הדין, ברמיזה על תכונותיו המופלאות של האובייקט. ניתן לחשוב על השופר כעל גרסה תלת מימדית של פתית השלג של קוך, אשר שטחו סופי אך היקפו אינסופי.

הגדרה מתמטית

שופר גבריאל נוצר על ידי ציור העקום $f(x)=\frac{1}{x}$ בקטע $[1,\infty]$, וסיבובו סביב ציר x. על ידי שימוש באינטגרלים ניתן לחשב את נפח ואת שטח פניו של הגוף הנוצר.

נפח השופר

נפחו של השופר מתקבל לפי הנוסחא

$\mbox{Volume}=\int_1^{\infty} \pi\left(\frac{1}{x}\right)^2dx=\pi$

חישוב זה למעשה סוכם גלילים קטנטנים. כל גליל הינו ב"גובה" $dx$ ורדיוס הבסיס שלו הוא $\frac{1}{x}$, כלומר נפח הגליל האינפיטסמלי הוא $\pi\frac{1}{x}^2dx$.

שטח פני השופר

שטח הפנים של השופר נתון על ידי הנוסחא

$\mbox{Surface}=\int_1^ \infty 2\pi\frac{1}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}dx \to \infty$

חישוב זה למעשה סוכם את ה"אורך"‏‏ של העקום $f(x)=\frac{1}{x}$ ומכפיל אותו ב"היקף" הסיבוב אשר נתון על ידי $2\pi\frac{1}{x}$

פרדוקס הצביעה

קיומו של השופר מעורר את הפרדוקס הבא: מכיוון שנפחו של השופר הינו $\pi$, ניתן למלא את חלקו הפנימי בצבע מתוך דלי המכיל צבע בנפח $\pi$ מטרים מעוקבים (לצורך העניין, נשתמש במטרים, אך זוהי מידה שרירותית). מצד שני, שטח פניו של השופר הינו אינסופי, כלומר על מנת לצבוע את שטח פניו נדרשת כמות אינסופית של צבע, אך זהו פרדוקס, כי בעזרת דלי של $\pi$ מטרים מעוקבים צבע, מילאנו את כל נפח השופר ובכך גם את כל "דפנותיו". כלומר בעזרת צבע בכמות סופית הצלחנו לצבוע שטח אינסופי.

גרסאות נוספות

הפונקציה $f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right)$.

ניתן לבנות דוגמאות רבות לעצמים בעלי נפח סופי ושטח פנים אינסופי. למשל, גוף הסיבוב אשר נוצר מהפונקציה

$f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right)$

כאשר $x\in (0,1]$, הינו בעל נפח סופי (הינו חסום בקוביה עם צלע באורך 1), אך שטח פניו אינסופי, שכן אורך הפונקציה $f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ בקטע $x\in (0,1]$ אינו מתכנס, ורדיוס הסיבוב אינו דועך לאפס.

קישורים חיצוניים

• ג'ון שנידר, הדמיה של בנית שופר גבריאל.