שופר גבריאל

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
הדמיה של שופר גבריאל

שופר גבריאל (מכונה גם חצוצרת טוריצ'לי) הוא אובייקט בעל שטח פנים אינסופי, אך נפח סופי. אובייקט זה הומצא על ידי אוונג'ליסטה טוריצ'לי אשר עסק בחישוב שטחים בחשבון האינטגרלי. שם האובייקט מושפע מהמלאך גבריאל אשר לפי האמונה הנוצרית יתקע בשופר ביום הדין, ברמיזה על תכונותיו המופלאות של האובייקט. ניתן לחשוב על השופר כעל גרסה תלת ממדית של פתית השלג של קוך, אשר שטחו סופי אך היקפו אינסופי.

הגדרה מתמטית[עריכת קוד מקור | עריכה]

שופר גבריאל נוצר על ידי ציור העקום f(x)=\frac{1}{x} בקטע [1,\infty), וסיבובו סביב ציר x. על ידי שימוש באינטגרלים ניתן לחשב את נפח ואת שטח פניו של הגוף הנוצר.

נפח השופר[עריכת קוד מקור | עריכה]

נפחו של השופר מתקבל לפי הנוסחה

\mbox{Volume}=\int_1^{\infty} \pi\left(\frac{1}{x}\right)^2dx=\pi

חישוב זה למעשה סוכם גלילים קטנטנים. "גובה" כל גליל הוא dx ורדיוס הבסיס שלו הוא \frac{1}{x}, כלומר נפח הגליל האינפיטסמלי הוא \pi\frac{1}{x}^2dx.

שטח פני השופר[עריכת קוד מקור | עריכה]

שטח הפנים של השופר נתון על ידי הנוסחא

\mbox{Surface}=\int_1^
\infty 2\pi\frac{1}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}dx \to \infty

חישוב זה למעשה סוכם את ה"אורך"‏‏[1] של העקום f(x)=\frac{1}{x} ומכפיל אותו ב"היקף" הסיבוב אשר נתון על ידי 2\pi\frac{1}{x}

פרדוקס הצביעה[עריכת קוד מקור | עריכה]

קיומו של השופר מעורר את הפרדוקס (לכאורה) הבא: מכיוון שנפחו של השופר הוא \pi, ניתן למלא את חלקו הפנימי בצבע מתוך דלי המכיל צבע בנפח \pi מטרים מעוקבים (משום ש\pi נמדד ברדיאנים, והרדיאן הוא יחידת מידה חסרת מימד, נוכל לבחור באופן שרירותי את יחידות הנפח בהן נשתמש). מצד שני, שטח פניו של השופר הוא אינסופי, כלומר על מנת לצבוע את שטח פניו נדרשת כמות אינסופית של צבע, אך זהו פרדוקס, כי בעזרת דלי של \pi מטרים מעוקבים צבע, מילאנו את כל נפח השופר ובכך גם את כל "דפנותיו". כלומר בעזרת צבע בכמות סופית הצלחנו לצבוע שטח אינסופי.
יישובו של הפרדוקס נובע מההבדלים בין תכונות של חומרים ב"עולם האמיתי" לבין תכונות של מושגים מופשטים במתמטיקה. עוביו של ה"צבע המתמטי" בו השתמשנו למילוי שופר גבריאל הלך וקטן (עד אינסוף) ככל שעוביו של שופר גבריאל הלך וקטן. עם זאת, צבע "אמיתי" לא ניתן לחלוקה אינסופית וקיימת נקודה כלשהי (הניתנת לחישוב) בה עוביו של שופר גבריאל לא יהיה עבה מספיק אפילו בשביל מולקולת צבע אחת ולכן כלל לא ניתן למלא את שופר גבריאל בצבע.

גרסאות נוספות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הפונקציה f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right).

ניתן לבנות דוגמאות רבות לעצמים בעלי נפח סופי ושטח פנים אינסופי. למשל, גוף הסיבוב אשר נוצר מהפונקציה

f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right)

כאשר x\in (0,1], הוא בעל נפח סופי (הוא חסום בקוביה עם צלע באורך 1), אך שטח פניו אינסופי, שכן אורך הפונקציה f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right) בקטע x\in (0,1] אינו מתכנס, ורדיוס הסיבוב אינו דועך לאפס.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ אורך של גרף הפונקציה \ f(x) בקטע \ [a,b] הוא \ \int_a^b \sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}\, dx, ולכן שטח הפנים של גוף הסיבוב נתון על ידי \ 2 \pi \int_a^b f(x) \sqrt{1+\left( f'(x)\right)^2}\, dx ראה אינטגרל#שימושי האינטגרל.