הוכחה שגויה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בשעשועי מתמטיקה, הוכחה שגויה היא "הוכחה" המובילה לסתירה ברורה, וזאת משום שהיא מכילה שגיאות. כרגיל בהטעיות, השגיאה אינה מוצגת באופן גלוי, והיא עשויה להיות חבויה היטב בין פרטים רבים עד שמציאתה מהווה אתגר, המנוצל לצרכים פדגוגיים או לשם שעשוע. בנוסף, ההוכחות השגויות מראות את חשיבותה של כתיבה ריגורוזית במתמטיקה.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

שימו לב: ה"הוכחות" המופיעות כאן אינן נכונות מבחינה מתמטית; בכולן ישנה טעות באחד או יותר משלבי ההוכחה, ולכן השימוש במילה "הוכחה" בהמשך אינו נאמן להגדרתו הלוגית.

אלגברה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נפוצות מספר רב של הוכחות לכאורה המבוססות על פעולות אלגבריות שהינן שגויות. המשותף להוכחות הוא שלאורך ההוכחה מתבצעת פעולה שגויה, אך היא מוחבאת כך שמקריאה של ההוכחה קשה להבחין בה. להלן מספר דוגמאות לפעולות שגויות כאלו ולשימוש בהן בהוכחות שגויות:

  • הוצאת שורש: באלגברה לכל מספר ממשי a יש שני שורשים (מלבד 0, לו יש רק שורש אחד), \ \pm \sqrt{a}, ואולם לפונקציית השורש יש רק ערך אחד, חיובי (או מרוכב). תוך ניצול עובדה זו באופן שגוי ניתן להוכיח, לדוגמה, כי \ -1 = \sqrt{(-1)^2} = \sqrt{1^2} = 1 (למעשה, \sqrt{(-1)^2} \ne -1, משום ש- \ a^2 הינו תמיד חיובי עבור a ממשי).
  • זהויות שגויות: ישנן זהויות הנכונות למקרים פרטיים מוכרים, אך לא למקרה הכללי. לדוגמה הזהות \ (ab)^r=a^rb^r ל-r ממשי, נכונה רק כאשר a,b ממשיים (בגלל התלות בענף הלוגוריתם המוגדר). ניתן להשתמש בכך כדי להוכיח את הטענה השגויה הבאה:
-1 = -1 \,
\frac{1}{-1} = \frac{-1}{1}
\sqrt{\frac{1}{-1}} = \sqrt{\frac{-1}{1}}
\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}} = \frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}}
\sqrt{1}\cdot\sqrt{1} = \sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1}
\displaystyle{1 = -1}
  • חילוק באפס: הכפלה של כל מספר באפס היא אפס, ולכן ההפוכה של חילוק באפס איננה מוגדרת. אחרת ניתן היה להסיק שכל שני מספרים שווים, a=b מכיוון שכאשר מכפילים את שני צידי המשואה באפס מתקבלת המשוואה 0=0 שהיא נכונה. גם במקרה זה בהוכחות שקריות נהוג להסוות את פעולת החלוקה באפס כדי שהשגיאה בהוכחה לא תהיה ברורה מאליה, לדוגמה בהוכחה הבאה לכך ש-1=2:
ניקח שני מספרים שווים a, b
a = b \,
a^2 = ab \,
נחסר b^2 \, משני צידי המשוואה:
a^2 - b^2 = ab - b^2 \,
(a - b)(a + b) = b(a - b) \,
נחלק את שני צידי המשוואה ב-(a - b) \,
a + b = b \,
מכיוון ש-a=b
b + b = b \,
2b = b \,
2 = 1 \,

גאומטריה[עריכת קוד מקור | עריכה]

Loyd64-65-dis b.svg

בחידות חיתוך והרכבה, העוסקות בחיתוך צורה אחת והרכבתה לצורה אחרת, מתקיים "חוק שימור השטח": השטח של הצורה המקורית חייב להיות שווה לשטחה של הצורה החדשה. יחד עם זאת, ישנם חיתוכים רבים שבהם לכאורה חוק זה לא מתקיים. בספרות שעשועי המתמטיקה מתייחסים לחיתוכים אלו בתור קסמים או פרדוקסים - כלומר הוכחות הסותרות את חוק שימור השטח, אך בחינה מדוקדקת של החיתוכים מראה שלמעשה אלו הוכחות שקריות: הן מבוססות על טעות (קשה לזיהוי) בחישוב השטחים.

באיור ניתן לראות דוגמה קלאסית לחיתוכים מסוג זה, שהומצאה על ידי סם לויד. החיתוך מראה כיצד לחלק ריבוע 8x8 לארבעה חלקים (שני משולשים ושני טרפזים) שמהם ניתן לכאורה להרכיב מלבן בגודל 5x13. אולם, שטח הריבוע הוא 64 ושטח המלבן הוא 65 - ומכאן שעל ידי חיתוך והרכבה הצלחנו לכאורה להגדיל את שטח הצורה. הטעות בחיתוך היא שהשיפוע של המשולש ושל הטרפז אינם זהים. השיפוע של המשולש הוא 3/8=0.375 ואילו השיפוע של הטרפז הינו 2/5=0.4. מכאן שהטרפז והמשולש לא מתחברים באופן חלק כדי ליצור את המלבן.

באיור ניתן לראות גם הרכבה נוספת של אותם חיתוכים ממש, שנתגלתה על ידי בנו של סם לויד, היוצרת צורה שלכאורה השטח שלה הוא 63.

טורים[עריכת קוד מקור | עריכה]

במתמטיקה טור אינסופי הוא סכום עם מספר אינסופי של מחוברים. קיימים טורים השווים למספר סופי, לדוגמה הטור \frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\cdots=1. טורים נעדרים מספר תכונות אינטואיטיביות המיוחסות לסכומים ולכן הם עומדים בבסיסם של הוכחות שגויות רבות.

  • סכום מופרך: בניגוד לסכומים רגילים, התוצאה של טור אינסופי אינה בהכרח מספר סופי. ייחוס תוצאה סופית לטור והפעלת כלים אלגבריים פשוטים ומוכרים מעולם המספרים עליהם עשוי להוביל לתוצאות מופרכות. לדוגמה:
נסמן: \ 1+2+4+8\cdots=S, נחסיר 1 ונקבל:
\ 2+4+8\cdots=S-1
\ 2(1+2+4\cdots)=S-1
\ 2S=S-1
\ S=-1, כלומר:
 1+2+4+8\cdots=-1
  • קיבוציות: תוכנה מוכרת ומאפיינת של פעולת החיבור היא תכונת הקיבוציות. כאשר נתון סכום סופי של מספרים, אין צורך לחברם לפי סדר הופעתם, אלא ניתן לחבר את האיברים לפי איזה סדר שייחפץ. כלל זה לא בהכרח תקף לסכומים אינסופיים ושימוש בו עלול להוביל לתוצאות שגויות. לדוגמה:
1-1+1-1+1-1\cdots=(1-1)+(1-1)+(1-1)\cdots=0+0+0\cdots=0, מצד שני:
1-1+1-1+1-1\cdots=1-(1-1)-(1-1)-(1-1)\cdots=1-0-0-0\cdots=1
למעשה אף אחת מן התוצאות אינה נכונה. לאמיתו של דבר מההגדרה הפורמלית של טור מתקבל כי הסכום של הטור הזה כלל אינו מוגדר.
  • חילופיות: תוכנה מוכרת ומאפיינת נוספת של פעולת החיבור היא תכונת החילופיות. כאשר יש סכום סופי של מספרים ניתן להחליף את סדר הופעתם והסכום יישאר זהה. גם כלל זה אינו בהכרח תקף לגבי טורים אינסופיים. תוצאה זו קרויה משפט רימן.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]