משפט השאריות הסיני

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משפט השאריות הסיני הוא שמם של מספר משפטים בתורת המספרים ובתורת החוגים, הקשורים זה לזה. בצורתו הבסיסית והמקורית המשפט עוסק במערכת של משוואות מודולריות ומבטיח קיום של פתרון למערכת תחת תנאים מסוימים.

מקורו של המשפט בספר מהמאה השלישית של המתמטיקאי הסיני סן-צו, ומכאן שמו. המשפט פורסם פעם נוספת במאה השלוש העשרה על ידי מתמטיקאי סיני נוסף, צ'ין ג'יו-האו.

המשפט עבור משוואות מודולריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

נניח ש- הם מספרים טבעיים זרים בזוגות (כלומר, המחלק המשותף המקסימלי של כל שניים מהם הוא 1). אז בהינתן מספרים שלמים כלשהם , (כאשר נמצא בקבוצת השאריות מודולו ) יש למערכת המשוואות (קונגרואנציות)

פתרון, ויתר על כן, כל שני פתרונות הם שקולים מודולו (כלומר, הפתרון יחיד מודולו m).

בניסוח אחר, מופשט יותר, המשפט קובע שהחוג איזומורפי לסכום הישר של החוגים .

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

רעיון ההוכחה הוא למצוא בסיס כך שמודולו מקבלים 1 ומודולו (כאשר ) מקבלים 0. כך בונים בסיס למרחב הפתרונות, והפתרון המבוקש הוא צירוף לינארי של איברי בסיס עם המקדמים החופשיים במשוואות המודולריות.

נגדיר ואז מתקיים ש זרים (מאחר ש-mi זר לכל גורם במכפלה המרכיבה את ni. אם הם לא היו זרים היה מספר ראשוני המחלק את שניהם, ובפרט את אחד הגורמים במכפלה, ואז היינו מקבלים ראשוני המחלק הן את mi והן mj אחר, בסתירה להנחה). מכיוון שהם זרים, קיימים ri ו si כך ש

או .

כעת נגדיר ואז . בנוסף, לכל j ששונה מ - i, כי mj מחלק את ni.

בנינו בסיס למערכת המשוואות. נסכם בעזרת הדלתא של קרונקר:

באמצעותו קל לבנות את הפתרון, שהוא:

שכן כנדרש.

לסיום, יהי y פתרון אחר, אזי לכל i מתקיים ש ומאחר שכל ה-mi זרים נובע שגם ומכאן ששני הפתרונות שקולים מודולו m.

בכך הסתיימה ההוכחה, שמציגה גם אלגוריתם מהיר לפתרון מערכת קונגרואנציות.

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נפתור את מערכת המשוואות הבאה:

כאן ו-.

נשים לב ש-

ו-

ולכן . מצאנו את הבסיס ולכן הפתרון הוא

.

נוודא שזה אכן פתרון, ואכן: ו- .

מסקנה: האיזומורפיזם בין החוגים[עריכת קוד מקור | עריכה]

מסקנה של המשפט היא ש-.

יהי , אפשר לשכן אותו ב- על ידי

ובכיוון ההפוך, יהי . לפי משפט השאריות הסיני קיים כך שמתקיים , ולכן נתאים

כאשר x הוא זה שמתקבל ממשפט השאריות הסיני והוא יחיד עד כדי מודולו .

שתי ההתאמות הללו הן הומומורפיזמים הופכיים אחד של השני ולכן מגדירות איזומורפיזם בין שני החוגים.

גרסה כללית של משפט השאריות הסיני[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי חוג עם יחידה (לאו דווקא קומוטטיבי). נניח שהאידאלים הם זרים בזוגות (או "מקסימליים הדדית"), כלומר לכל . אז חוג המנה איזומורפי, לפי ההטלה הטבעית, לסכום הישר של החוגים . בפרט, אם R קומוטטיבי והאידאלים כולם אידאלים מקסימליים ושונים זה מזה, אז הוא מכפלה ישרה של שדות.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]