משפט החיתוך של קנטור

בטופולוגיה, משפט החיתוך של קנטור (הקרוי על שמו של גאורג קנטור) הוא תנאי הכרחי ומספיק לשלמות של מרחב מטרי - כל סדרה יורדת של קבוצות סגורות במרחב מטרי, כך שקוטר הקבוצות שואף לאפס, היא בעלת חיתוך לא ריק אם ורק אם המרחב שלם. משפט זה מהווה הכללה של הלמה של קנטור מחשבון אינפיניטסימלי.

ניסוח פורמלי

יהא $\!\,X$ מרחב מטרי, ותהא $\left\{A_{n}\right\}_{n}$ סדרה של קבוצות סגורות, כך שמתקיים $\!\,A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq A_{3}\supseteq \dots$, כלומר, כל קבוצה מוכלת בקודמתה, וקוטר הקבוצות שואף לאפס: $\!\,\lim _{n\rightarrow \infty }diamA_{n}=0$. אז $\!\,\bigcap _{n}A_{n}\neq \emptyset$ אם ורק אם המרחב $\!\,X$ שלם. ניתן להראות שהחיתוך מכיל איבר אחד בדיוק.

הוכחה

כיוון אחד

נניח כי $\!\,X$ מרחב מטרי שלם, ותהא $\left\{A_{n}\right\}_{n}$ סדרת קבוצות המקיימת את התנאים של המשפט. נבנה את הסדרה $\left\{x_{n}\right\}_{n}$ על ידי זה שנבחר מכל $\!\,A_{n}$ איבר $\!\,x_{n}$ כלשהו. נראה כי זוהי סדרת קושי: יהא $\!\,\epsilon >0$ כלשהו. בגלל שמתקיים $\!\,\lim _{n\rightarrow \infty }diamA_{n}=0$ קיים $\!\,N$ כך שהחל ממנו לכל $\!\,n>N$ מתקיים $\!\,diamA_{n}<\epsilon$.

כעת יהיו $\!\,m,n>N$ כלשהם, ונניח ללא הגבלת הכלליות שמתקיים $\!\,m\leq n$. אז $\!\,A_{m}\supseteq A_{n}$ ולכן $\!\,x_{n},x_{m}\in A_{m}$. על כן $\!\,d(x_{n},x_{m})\leq diamA_{m}<\epsilon$ וזאת לכל $\!\,m,n>N$, ולכן הסדרה היא סדרת קושי, ומכיוון שהמרחב $\!\,X$ שלם היא מתכנסת. נסמן $\!\,x_{n}\rightarrow x$.

נראה כי $\!\,x$ שייך לכל הקבוצות. תהא $\!\,A_{k}$ כלשהי, אז לכל $\!\,m\geq k$ מתקיים $\!\,x_{m}\in A_{k}$, כלומר הזנב של הסדרה $\!\,x_{n}$, החל מהאיבר $\!\,k$, שייך לקבוצה $\!\,A_{k}$. על כן, האיבר $\!\,x$ הוא נקודת גבול של $\!\,A_{k}$ (כי הוא הגבול של סדרה המוכלת החל ממקום מסויים בקבוצה $\!\,A_{k}$). מכיוון ש$\!\,A_{k}$ היא קבוצה סגורה, הרי שהיא מכילה את כל נקודות הגבול שלה, ולכן $\!\,x\in A_{k}$, וזאת לכל $\!\,k$, ולכן $\!\,x\in \bigcap _{n}A_{n}$.

נראה כעת כי בחיתוך יש בדיוק איבר יחיד: נניח כי $\!\,x,y\in \bigcap _{n}A_{n}$,אז לכל $\!\,k$ מתקיים $\!\,x,y\in A_{k}$. יהא $\!\,\epsilon >0$ כלשהו, אז קיים $\!\,N$ כלשהו כך ש$\!\,diamA_{N}<\epsilon$, ומכיוון ש$\!\,x,y\in A_{N}$, ולכן $\!\,d(x,y)\leq diamA_{N}<\epsilon$. כלומר $\!\,d(x,y)<\epsilon$ לכל $\!\,\epsilon >0$ ולכן בהכרח $\!\,d(x,y)=0$ ומכאן, על פי תכונות המטריקה, $\!\,x=y$.

כיוון שני

נניח כי $\!\,X$ הוא מרחב המקיים את התכונה שלכל סדרת קבוצות שעונה על הקריטריונים שלעיל יש חיתוך לא ריק, ונוכיח כי המרחב שלם. תהא $\!\,\left\{x_{n}\right\}$ סדרת קושי במרחב, ונוכיח שהיא מתכנסת.

לכל איבר $\!\,x_{n}$ בסדרה נגדיר את הקבוצה הבאה: $\!\,A_{n}=Cl\left(\left\{x_{m}|m\geq n\right\}\right)$ - הסגור של הזנב של סדרת הקושי שמתחיל באיבר $\!\,x_{n}$. זוהי קבוצה סגורה (שכן סגור הוא תמיד קבוצה סגורה), ובבירור מתקיים $\!\,A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq A_{3}\supseteq \dots$ וזאת על פי דרך הגדרת הקבוצות.

אנו רוצים להוכיח כי $\!\,\lim _{n\rightarrow \infty }diamA_{n}=0$. לשם כך נוכיח קודם כל כי לכל קבוצה $\!\,A$ מתקיים $\!\,diamA=diamCl(A)$. ברור כי $\!\,diamA\leq diamCl(A)$ (כי $\!\,Cl(A)$ מכילה את $\!\,A$).

יהיו $\!\,a,b\in Cl(A)$, אז קיימות סדרות $\!\,\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ שכל אבריהן שייכים לקבוצה $\!\,A$ כך ש$\!\,a_{n}\rightarrow a,b_{n}\rightarrow b$ זאת מהגדרת הסגור (נשים לב שהסדרות יכולות להיות קבועות). מכיוון שאברי הסדרות שייכים כולם ל$\!\,A$, מתקיים $\!\,d(a_{n},b_{n})\leq diamA$ לכל $\!\,n$. לכן נקבל $\!\,d(a,b)\leq diamA$, וזאת לכל $\!\,a,b\in Cl(A)$, כלומר $\!\,diamCl(A)\leq diamA$, וקיבלנו משני אי השוויונות את השוויון $\!\,diamA=diamCl(A)$ המבוקש.

כעת, מכיוון ש$\!\,x_{n}$ סדרת קושי, הרי שלכל $\!\,\epsilon >0$ קיים $\!\,N$ כך שלכל $\!\,m\geq N$ מתקיים $\!\,d(x_{N},x_{m})<\epsilon$. לכן $\!\,diam\left\{x_{k}|k\geq N\right\}<\epsilon$, ולכן $\!\,diamA_{n}=diamCl\left(\left\{x_{k}|k\geq N\right\}\right)<\epsilon$, וקיבלנו $\!\,\lim _{n\rightarrow \infty }diamA_{n}=0$.

כעת הראינו כי הסדרה $\!\,A_{n}$ מקיימת את כל התכונות הדרושות, ולכן $\!\,\bigcap _{n}A_{n}\neq \emptyset$. יהא $\!\,x\in \bigcap _{n}A_{n}$, אז לכל $\!\,n$ מתקיים $\!\,x\in A_{n}$, ולכן $\!\,d(x,x_{n})\leq diamA_{n}\rightarrow 0$, כלומר $\!\,x_{n}\rightarrow x$, והראינו שסדרת קושי שלנו מתכנסת.