חבורה ציקלית

בתורת החבורות, חבורה ציקלית היא חבורה הנוצרת על ידי איבר אחד. כלומר כל אחד מאברי החבורה הוא חזקה של האיבר היוצר. כל חבורה כזו היא אבלית לפי כללי חזקות וחילופיות פעולת החיבור.

חבורות ציקליות הן הדוגמה הפשוטה ביותר לחבורה, ולפי משפט המיון לחבורות אבליות נוצרות סופית, אפשר להרכיב מהן (באמצעות מכפלה ישרה) את החבורות האבליות הנוצרות סופית. אם מרשים הרכבה מסובכת יותר, אפשר לבנות מן החבורות הציקליות את כל החבורות הפתירות.

חבורות ציקליות הן דוגמה למושג הכללי יותר, מודול ציקלי.

הגדרה, יחידות וסימון

באופן פורמלי, חבורה ציקלית היא חבורה $\ G$ שבה קיים איבר $\ g\in G$ שהחזקות שלו מרכיבות את החבורה כולה. לאיבר כזה קוראים יוצר של החבורה. כאשר משתמשים בכתיב כפלי, מקובל לסמן את החבורה הציקלית הנוצרת על ידי איבר $\ g$ בסימון $\ \langle g\rangle$.

כל שתי חבורות ציקליות בעלות אותו סדר הן איזומורפיות זו לזו, ולכן מוצדק לדבר על החבורה הציקלית מסדר n, בה' הידיעה. כאשר רוצים להדגיש את סדר החבורה, מקובל לסמן את החבורה הציקלית הנוצרת על ידי איבר $\ g$ מסדר n, כ- $\ \langle g|g^{n}=1\rangle$ ואפילו $\ \langle g|g^{n}\rangle$ (ראו חבורה מוצגת סופית).

החבורה האינסופית $\ \mathbb {Z}$ הכוללת את כל המספרים השלמים, ביחס לפעולת החיבור, היא ציקלית. כל איבר שלה מתקבל מסיכום היוצר $\ 1$ לעצמו, מספר סופי של פעמים. חבורת המנה $\ \mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$, המורכבת מן המספרים $\ \{0,1,2,\dots ,n-1\}$ עם פעולת החיבור מודולו המספר הטבעי $\ n$, הוא חבורה ציקלית מסדר $\ n$, כאשר גם כאן, $\ 1$ הוא יוצר של החבורה. בהתאם לאיזומורפיזם של חבורות ציקליות מאותו סדר, נהוג להשתמש בחבורות אלו לייצוג כל החבורות הציקליות, כך שחבורה ציקלית מסדר $\ n$ מיוצגת על ידי הסימון $\ \mathbb {Z} _{n}$ (כלומר $\ \mathbb {Z} _{n}=\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$), וכל חבורה ציקלית אינסופית מיוצגת על ידי הסימון $\ \mathbb {Z}$.

בכל חבורה, תת-החבורה הנוצרת על ידי איבר אחד $\ g$ (ומורכבת, על-פי ההגדרה, מכל החזקות $\ \{g^{k}:k\in \mathbb {Z} \}$), היא חבורה ציקלית.

איברים

היוצר של חבורה ציקלית כמעט לעולם אינו יחיד. החבורה הציקלית האינסופית $\ \mathbb {Z}$ נוצרת על ידי $\ 1$ או על ידי $\ -1$. לחבורה ציקלית $\ \langle g\rangle$ מסדר $\ n$ יש $\ \varphi (n)$ יוצרים (כאשר $\ \varphi$ היא פונקציית אוילר), שהם בדיוק החזקות $\ g^{k}$ עבורן $\ k$ זר ל-$\ n$.

באופן כללי יותר, הסדר של איבר $\ g^{k}$ הוא $\ {\frac {n}{(n,k)}}$, כאשר $\ (n,k)$ הוא המחלק המשותף המקסימלי של $\ n,k$.

חבורת האוטומורפיזמים

מכיוון שאוטומורפיזם מוכרח להעביר יוצר של החבורה ליוצר אחר, יש לחבורה הציקלית מסדר $\ n$ בדיוק $\ \varphi (n)$ אוטומורפיזמים, וניתן להבחין שחבורת האוטומורפיזמים שלה איזומורפית לחבורת אוילר $\ U_{n}$.

גאוס מצא שחבורת אוילר $\ U_{n}$ היא ציקלית בדיוק כאשר $\ n$ שווה ל- 2, 4, חזקה של ראשוני אי-זוגי, או פעמיים חזקה של ראשוני איזוגי.

פירוק לגורמים

המכפלה הישרה של שתי חבורות ציקליות $\ \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ היא חבורה ציקלית, אם ורק אם n ו- m זרים. במקרה זה, כמובן, היא איזומורפית ל- $\ \mathbb {Z} /mn\mathbb {Z}$. מן המשפט היסודי של האריתמטיקה נובע שאפשר לפרק כל חבורה ציקלית למכפלה ישרה של חבורות ציקליות שכל אחת מהן מסדר חזקה של ראשוני. לדוגמה, $\ \mathbb {Z} /720\mathbb {Z} \cong \mathbb {Z} /16\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /9\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /5\mathbb {Z}$.