נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

נוסחת אוילר היא נוסחה יסודית באנליזה מרוכבת, הקושרת את הפונקציה המעריכית הטבעית לפונקציות הטריגונומטריות סינוס וקוסינוס. הנוסחה נקראת על-שמו של לאונרד אוילר.

הנוסחה קובעת כי: לכל ממשי, כאשר e הוא בסיס הלוגריתם הטבעי ו-i הוא היחידה המדומה.

זהות אוילר[עריכת קוד מקור | עריכה]

כאשר מציבים בנוסחה את כערכה של הזווית , מתקבל: או , תוצאה הקרויה זהות אוילר ומקשרת בצורה פשוטה בין 5 קבועים מתמטיים בסיסיים.

הקשר להצגה קוטבית[עריכת קוד מקור | עריכה]

הצגה גאומטרית של נוסחת אוילר

בהינתן מספר מרוכב השונה מאפס, ניתן למתוח קטע במישור המרוכב בין ראשית הצירים לנקודה . האורך של , , מכונה הערך המוחלט של , ואילו הזוויתרדיאנים) בין הציר הממשי ל- (נגד כיוון השעון), , מכונה הארגומנט של . הזוג מכונה ההצגה הקוטבית של .

אם נציג את בצורה , אז ו- הם אורכי הניצבים במשולש ישר-זווית שיתרו הוא . לפי הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות מתקיים ו-. לכן לפי נוסחת אוילר:

הצגה זו של מספר מרוכב נוחה לשימוש במקרים רבים. למשל כאשר כופלים אותם: .

מסקנה מיידית מהצגה זו היא משפט דה-מואבר הקובע כי ל-n טבעי ו-x ממשי. לפי נוסחת אוילר זהו פשוט השוויון .

משמעות אלגברית[עריכת קוד מקור | עריכה]

מנוסחת אוילר נובע שההעתקה היא הומומורפיזם של חבורות מן הישר הממשי כחבורה ביחס לפעולת החיבור, אל מעגל היחידה במישור המרוכב כחבורה ביחס לפעולת הכפל. זהו אפימורפיזם שאיננו איזומורפיזם שכן .

הגרעין של הוא הקבוצה ולכן לפי משפט האיזומורפיזם הראשון מעגל היחידה איזומורפי ל-, או אחרי נרמול .

הוכחות[עריכת קוד מקור | עריכה]

קיימות מספר הוכחות לנוסחה, שמתבססות על ההגדרה של פונקציית האקספוננט המרוכבת לפי טור טיילור של הפונקציה הממשית או כפונקציה המקיימת את התכונות הידועות של הפונקציה הממשית.

באמצעות טור טיילור[עריכת קוד מקור | עריכה]

זוהי הוכחה של נוסחת אוילר באמצעות פיתוח טור טיילור וכן העובדות הבסיסיות אודות החזקות של :

לכל n שלם. אפשר לבטא את הפונקציות הממשיות ,‏ ו- באמצעות פיתוח טור טיילור שלהן סביב 0:

עבור מספרים מרוכבים נגדיר את הפונקציות האלה באמצעות הטורים הללו, על ידי החלפת המספר הממשי במספר המדומה כאשר ממשי. לפי הגדרה זאת אפשר לראות ש:

(החלפת סדר האברים מוצדקת משום שכל הטורים מתכנסים בהחלט). אם נחליף את ב- נקבל את הניסוח שכתבנו בתחילת הערך.

באמצעות חשבון דיפרנציאלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

נגדיר את הפונקציה , במשתנה ממשי , בתור:

הנגזרת של (f(x, לפי חוק המכפלה, היא:

לכן, חייבת להיות פונקציה קבועה ביחס ל-. משום ש- ידוע, הקבוע ש- שווה אליו עבור כל ממשי גם ידוע. כלומר:

.

על ידי הכפלת שני הצדדים ב- ושימוש בשוויון

נקבל כי:

.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]