משתמש:Aizenr/אוריינטציה

אוריינטביליות

ערך מורחב – אוריינטביליות

פסקה זו נמצאת בשלבי עבודה: כדי למנוע התנגשויות עריכה ועבודה כפולה, אתם מתבקשים שלא לערוך פסקה זו בטרם תוסר ההודעה הזו. אם הפסקה לא נערכה במשך שבוע ניתן להסיר את התבנית ולערוך את הפסקה, אך לפני כן רצוי להזכיר את התבנית למשתמש שהניח אותה, באמצעות הודעה בדף שיחת המשתמש.

יריעה נקראת אוריינטבילית אם ניתן להגדיר עליה אוריינטציה. באופן מקומי כל יריעה איזומורפית ל $\mathbb {R} ^{n}$ ולכן ניתן לבחור עליה אוריינטציה. אולם מכיוון שבכל נקודה יש שתי אפשרויות לבחירה זו, לעתים לא ניתן לבצע בחירה באופן גלובלי. זאת הסיבה שחלק מהיריעות אינן אוריינטביליות.

דוגמאות

טבעת מביוס וטבעת רגילה

טבעת רגילה, יריעה אוריינטבילית

טבעת מביוס, יריעה לא אוריינטבילית

ערך מורחב – טבעת מביוס

הדוגמה הבסיסית ביותר ליריעה לא אוריינטבילית היא טבעת מביוס.

ניתן לבנות טבעת מביוס באופן הבא: לוקחים סרט ארוך, מסובבים את אחד הקצוות מחצית הסיבוב, ואז מדביקים אותו לקצה השני. בניגוד לטבעת רגילה, שהשפה שלה כוללת שני מעגלים נפרדים, השפה של טבעת מביוס כוללת רק מעגל אחד: אם מעבירים אצבע לאורך השפה, משלימים את התנועה לאחר ביקור בכל נקודות השפה.

מכיוון שטבעת מביוס היא משטח במרחב, העובדה שהיא לא אוריינטבילית שקולה לכך שאין עליה שדה נורמלי באורך יחידה. או במילים אחרות, לא ניתן לבחור לה צד.

כמו שראינו קודם, כיסוי האוריינטציות של טבעת מביוס הוא טבעת רגילה, במילים אחרות גליל. גליל הוא יריעה אוריינטבילית, ובפרט טבעת מביוס לא יכלה להיות הומיומורפית לגליל.

בקבוק קליין וטורוס

טורוס, יריעה אוריינטבילית

בקבוק קליין, מוטבע במרחב התלת-ממדי, יריעה לא אוריינטבילית

טורוס

בקבוק קליין

על מנת לכבל את היריעות, יש להדביק כל צלה לצלה שצבועה באותו צבע, לפי כיוון החץ.

ערך מורחב – בקבוק קליין

בקבוק קליין הוא משטח סגור לא אוריינטבילי. כפי שנראה בהמשך, עובדה זו מוכיחה שאי-אפשר לשכנו במרחב התלת ממדי. אולם ניתן להטביעו במרחב כזה, זאת אומרת קיימת אימרסיה מבקבוק קליין למרחב תלת ממדי. ניתן לתאר את בקבוק קלין בתור ריבוע שהדביקו את זוג צלעותיו המנוגדות אחת לשנייה, ואת זוג צלעותיו האחר הדביקו אחת לשנייה אחרי חצי סיסוב של אחת מהן (זאת אומרת, הדביקו כך שנקודות קרובות לפינה התחתונה הימנית למשל יודבקו לנקודות קרובות לפינה העליונה השמאלית, ונקודות קרובות לפינה התחתונה השמאלית יודבקו לנקודות קרובות לפינה העליונה הימנית).

מתאור זה קל לראות שכיסוי האוריינטציות של בקבוק קליין הוא הטורוס. הטורוס הוא יריעה אוריינטבילית.

משטחים

ערכים מורחבים – משטח, גנוס

מרחב פרויקטיבי, ספרה ומרחב לינארי

ערך מורחב – מרחב פרויקטיבי

קריטריונים

היפר משטחים

בקבוק קליין - יריעה סגורה לא אוריינטבילית. לכן לא ניתן לשכן אתה במרחב התלת ממדי

סיכום

יריעות אוריינטביליות

יריעות לא אוריינטביליות

עקומים טבעת רגילה מרחבים לינארים מישור ספרה (מכל ממד), טורוס, מרחב פרויקטיבי (ממשי) מממד אי-זוגי סכום קשייר של יריעות אורינטביליות משטחים אורינטביליים – סכום קשיר של ספרות וטורוסים מכפלה של יריעות אורינטביליות, יריעה המועתקת ע"י דיפיומרפיזם מקומי ליריעה אורינטביליות תת קבוצה פתוחה של יריעה אורינטביליות היפר משטחים יריעות שלחבורה היסודית שלהן אין תת-חבורות מאינדקס 2 יריעות פשוטות קשר יריעות מרוכבות מרחב פרויקטיבי מרוכב יריעות סימפלקטיות כיסוי האוריינטציות.

טבעת מביוס בקבוק קליין מרחב פרויקטיבי ממשי ממימד זוגי ביפרט מישור פרויקטיבי, יריעה בעלת תת-קבוצה פתוחה לא אורינטביליות סכום קשייר של יריעה אורינטביליות עם יריעה כלשהי משטחים לא אורינטביליים – סכום קשייר של מישורים פרויקטיבים מכפלה של יריעה אורינטביליות עם יריעה כלשהי

width="250"

החבורה היסודית

ערך מורחב – החבורה היסודית

יריעות מרוכבות

ערך מורחב – יריעה אנליטית מרוכבת

יריעות סימפלקטיות

ערך מורחב – גאומטריה סימפלקטית

יריעות אוריינטביליות

יריעות לא אוריינטביליות

עקומים קטע מעגל טבעת רגילה מרחבים לינאריים מישור ספרה (מכל ממד) טורוס מרחב פרויקטיבי (ממשי) מממד אי-זוגי סכום קשיר של יריעות אוריינטביליות משטחים אוריינטבילים – סכום קשיר של ספירות וטורוסים מכפלה של יריעות אוריינטביליות יריעה המועתקת ע"י דיפאומורפיזם מקומי ליריעה אוריינטבילית תת-קבוצה פתוחה של יריעה אוריינטבילית היפר משטחים יריעות של חבורה היסודית שאין להן תת-חבורות מאינדקס 2 יריעות פשוטות קשר יריעות מרוכבות מרחב פרויקטיבי מרוכב יריעות סימפלקטיות כיסוי האוריינטציות

טבעת מביוס בקבוק קליין מרחב פרויקטיבי ממשי מממד זוגי מישור פרויקטיבי יריעה בעלת תת-קבוצה פתוחה לא אוריינטבילית סכום קשיר של יריעה אוריינטבילית עם יריעה כלשהי משטחים לא אוריינטבילים – סכום קשיר של מישורים פרויקטיבים מכפלה של יריעה אוריינטבילית עם יריעה כלשהי

יריעות אוריינטביליות	יריעות לא אוריינטביליות
עקומים קטע מעגל
טבעת רגילה	טבעת מביוס
מרחבים לינאריים מישור
ספרה (מכל ממד) מרחב פרויקטיבי (ממשי) מממד אי-זוגי	מרחב פרויקטיבי ממשי מממד זוגי מישור פרויקטיבי
טורוס	בקבוק קליין
יריעה המועתקת ע"י דיפאומורפיזם מקומי ליריעה אוריינטבילית תת-קבוצה פתוחה של יריעה אוריינטבילית סכום קשיר של יריעות אוריינטביליות משטחים אוריינטבילים – סכום קשיר של ספירות וטורוסים	יריעה בעלת תת-קבוצה פתוחה לא אוריינטבילית סכום קשיר של יריעה אוריינטבילית עם יריעה כלשהי משטחים לא אוריינטבילים – סכום קשיר של מישורים פרויקטיבים
מכפלה של יריעות אוריינטביליות	מכפלה של יריעות אוריינטביליות
היפר משטחים סגורים יריעות שלחבורה היסודית אין תת-חבורות מאינדקס 2 יריעות פשוטות קשר יריעות מרוכבות מרחב פרויקטיבי מרוכב יריעות סימפלקטיות כיסוי האוריינטציות

table

אאאאאאאאאאאאאאאא:	תת-קבוצה כאשר $\mathbb {R} ^{k}$.
אאאאאאאאאאאאאאאא:

pics

― הועבר מהדף משתמש:Aizenr/טיוטה

• 
  טבעת מביוס, יריעה לא אוריינטבילית
• 
  טבעת רגילה (ז"א גליל) היא כיסוי האוריינטציות של טבעת מביוס, ובפרט יריעה אוריינטבילית
• 
  בקבוק קליין, מוטבע במרחב התלת-ממדי, יריעה לא אוריינטבילית
• 
  טורוס הוא כיסוי האוריינטציות של בקבוק קליין, יריעה אוריינטבילית.
• 
  משטח שטיינר (Roman surface) – הטבעה של המישור הפרויקטיבי במרחב, יריעה לא אוריינטבילית.
• 
  ספירה, היא כיסוי האוריינטציות של המישור הפרויקטיבי , יריעה אוריינטבילית
• 
  משטח אוריינטבילי מגנוס 3. ניתן למיין את כל המשטחים (הקשירים) הסגורים (Closed manifold) ע"י האוריינטביליות והגנוס שלהם.

― סוף העברה

טבעת רגילה, יריעה אוריינטבילית

טבעת מביוס, יריעה לא אוריינטבילית

טורוס, יריעה אוריינטבילית

בקבוק קליין, מוטבע במרחב התלת-ממדי, יריעה לא אוריינטבילית

הדבקה של בקבוק קליין וטורוס

טורוס

בקבוק קליין

על מנת לקבל את היריעות (בקבוק קליין וטורוס), יש להדביק כל צלע לצלע הנגדית (זאת שצבועה באותו צבע), לפי כיוון החץ.

ספירה, יריעה אוריינטבילית

משטח שטיינר (Roman surface) – הטבעה של המישור פרויקטיבי במרחב, יריעה לא אוריינטבילית

משטח אוריינטבילי מגנוס 3

Table

יריעה לא אוריינטבילית	כיסוי האוריינטציות שלה
טבעת מביוס	טבעת רגילה (ז"א גליל)
מישור פרויקטיבי מטבעה במרחב.	ספירה
מרחב פרויקטיבי ממשי מממד זוגי	ספירה מאותו ממד
בקבוק קליין	טורוס
הדבקה של בקבוק קליין. על מנת לכבל את היריעה, יש להדביק כל צלה לצלה שצבועה באותו צבע, לפי כיוון החץ.	הדבקה של הטורוס. מתאור ההדבקה כל ליראות שהטורוס הוא כיסוי האוריינטציות של בקבוק קליין.
משטחים לא אוריינטבילים – סכום קשיר של מישורים פרויקטיבים משטח (קשיר) לא אוריינטבילי $\Sigma '_{n+1}$ מגנוס ${n+1}$. ניתן לתאר אותו בתור הסכום הקשיר (Connected sum) $\Sigma '_{n+1}={\underset {{n+1}{\text{ copies }}}{\underbrace {\mathbb {RP} ^{2}\#\dots \#\mathbb {RP} ^{2}} }},$ כאשר $\mathbb {RP} ^{2}$ הוא המישור הפרויקטיבי.	משטח (קשיר) אוריינטבילי $\Sigma _{n}$ מגנוס $n$. המשטח נראה כספירה שחיברו אליה $n$ ידיות. לחילופין ניתן לתאר אותו בתור $\Sigma _{n}=S^{2}\#{\underset {n{\text{ copies }}}{\underbrace {T^{2}\#\dots \#T^{2}} }},$ כאשר $S^{2}$ היא הסיפרה ו$T^{2}$ הוא הטורוס.