משתמש:Avneref/מתמטיקה/טנזור

אלגברה של טנזורים, סדרה מאת כריס-עצמי (eigenchris)
הבא: משתמש:Avneref/מתמטיקה/חשבון טנזורים

מקורות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אקדמיית קהאן: מבוא לטנזורים, סרטון באתר יוטיוב
טנזורים באופן אינטואיטיבי, סרטון באתר יוטיוב
דן פלייש. מהו טנזור, סרטון באתר יוטיוב
בריליינט
מכפלה טנזורית ללא המיתוס
(Penrose graphical notation)

מושגים[עריכת קוד מקור | עריכה]

דרגה (rank) של טנזור, n: המספר של וקטורי-בסיס לכל רכיב, הדרושים לתיאור הטנזור; מספר האינדקסים לכל רכיב.
- סקלר הוא טנזור מדרגה 0; וקטור - דרגה 1; טנזור מאמצים - דרגה 2 (1: כיוון המשטח, 2: הכוח).
ממד (או order סדר?), m : מספר הצירים במערכת הקואורדינטות; הממד של המרחב שמעליו מוגדר הטנזור
- בהתייחס לאינדקסים עליונים ותחתונים: סדר = מספר האינדקסים למעלה ולמטה; למשל: טנזור מסדר 2,0.
מספר הרכיבים הכולל הנדרש לתאור הטנזור הוא: $m^{n}$
כלל ביטול האינדקסים של הדלתא של קרונקר: $L({\vec {v}})=L_{j}^{i}{\vec {e_{i}}}\epsilon ^{j}(v^{k}{\vec {e_{k}}})=L_{j}^{i}v^{k}{\vec {e_{i}}}\epsilon ^{j}({\vec {e_{k}}})=L_{j}^{i}v^{k}{\vec {e_{i}}}\delta _{k}^{j}=L_{j}^{i}v^{j}{\vec {e_{i}}}$

מוטיבציה[עריכת קוד מקור | עריכה]

באשר לטנזור נתון: כל הצופים, בכל מערכת ייחוס, מסכימים - לא על וקטורי הבסיס (אלה מגדירים את מערכת הייחוס), לא על הרכיבים (אלה נגזרים מהמערכת) - אלא על השילוב של וקטורי הבסיס עם הרכיבים של הטנזור; וקטורי הבסיס משתנים באופן מסויים, והרכיבים משתנים כך שהשילוב אינווריאנטי. ליליאן ליבר (אנ') כינתה את הטנזור: עובדת היקום.

מס. 1-[עריכת קוד מקור | עריכה]

גאומטריה
תורת היחסות הכללית; מכניקת הקוונטים (בעיקר מחשב קוונטי)

מס. 0[עריכת קוד מקור | עריכה]

הגדרות של טנזור

מערך רב-מימדי של מספרים: סקלר, וקטור, מטריצה; לא - אלה רק ייצוגים של טנזורים, לא הם עצמם.
אינוריאנטי תחת שינוי קואורדינטות, ויש לו רכיבים שמשתנים באופן ייחודי, וצפוי.
אוסף של וקטורים וקו-וקטורים, הקשורים ביניהם ע"י מכפלה טנזורית
נגזרת חלקית וגרדיאנט, שמשתנים ע"י מטריצת היעקוביאן

אלגברה של טנזורים[עריכת קוד מקור | עריכה]

(לא אלגברת הטנזורים!)

מס. 1[עריכת קוד מקור | עריכה]

מעברים
קדימה F, ואחורה B; ו- $F\cdot B=I$

מס. 2[עריכת קוד מקור | עריכה]

מהו וקטור

רשימה של מספרים; לא - אלה רכיבי הוקטור.
חץ; אבל אי אפשר לייצג כל וקטור כחץ - רק אוקלידיים.
איבר במרחב וקטורי. וקטור = פונקציה משדה המספרים הממשיים - למרחב וקטורי (מעל הממשיים)

מס. 3[עריכת קוד מקור | עריכה]

רכיבים של וקטורים "מתנהגים" הפוך מ-וקטורי-בסיס

מטריצה F מעבירה וקטור מבסיס ישן לבסיס חדש, מטריצה B - ההיפך; F מעבירה מהרכיבים החדשים לישנים. לכן רכיבים נקראים Contra-variant (וכדי לציין זאת, מוסכם לכתוב את האינדקסים למעלה): ${\tilde {v^{i}}}=\sum _{j}{B_{ij}v^{j}};;v^{i}=\sum _{j}{F_{ij}{\tilde {v^{j}}}}$ ; בסיסים הם Covariant (ולכן למטה): ${\tilde {\alpha _{j}}}=\sum _{i}{F_{ij}\alpha _{i}};;\alpha _{j}=\sum _{i}{B_{ij}{\tilde {\alpha _{i}}}}$
כשמותחים את הבסיס, הרכיבים קטנים.
כשמסובבים הבסיסים ימינה - הרכיבים "מסתובבים" שמאלה (הוקטור הסתובב מעשית שמאלה, והזוית שהוא יוצר עם הבסיס 1 החדש גדלה = הקוסינוס קטן). לכן, רכיבים של וקטור הם Contra-variant תחת שינוי בסיס; וקטורים הם טנזורים קונטרה-וריאנטים, או טנזור-(1,0). לכן האינדקסים של רכיבים נכתבים למעלה, ושל בסיסים - למטה.

מס. 4[עריכת קוד מקור | עריכה]

קו-וקטורים
קו-וקטורים = פונקציות $\alpha :V\rightarrow \mathbb {R}$ . טנזורי-(0,1)

ביחס לבסיס אורתונורמלי, רכיבי הקו-וקטור מהווים "וקטור"-שורה, שניתן לראותו (בכך שהוא כופל משמאל) כפונקציה הפועלת על "וקטור"-עמודה (שמימינו; והתוצאה היא סקלר); רכיבי הוקטור ביחס לבסיס אורתונורמלי מהווים וקטור-עמודה, שהטרנספוז שלו הוא וקטור-שורה שמהווה את רכיבי הקו-וקטור ביחס לבסיס הדואלי. מכאן: פעולה של קו-וקטור על וקטור, שיש לו אותם רכיבים ביחס לבסיס אורתונורמלי כמו שיש לקו-וקטור ביחס לבסיס הדואלי - פעולה זו היא הנורמה של הוקטור (במקרה של מרחב כזה, שהוא שטוח (?), זוהי המטריקה של המרחב -?).
פונקציה לינארית; הם מהווים מרחב וקטורי, שנקרא: המרחב הדואלי, *V. יש להם בסיס, שנקרא: הבסיס הדואלי, $\epsilon _{i}$ .
המחשה ויזואלית של קו-וקטור: "קווי גובה", והתוצאה של הפעולה של קו-וקטור על וקטור היא: השינוי ב"גובה" שהוקטור עובר.

מס. 5[עריכת קוד מקור | עריכה]

רכיבים של קו-וקטורים
(יש שגיאה ב-6:17 בכיוון ובריווח של קווי הקו-וקטור; תיקון)

קו-וקטורים הם אינוריאנטים (כמו וקטורים).
רכיבים של קו-וקטורים הם לא-אינווריאנטים.
רכיבים של קו-וקטורים משתנים באותו כיוון כמו סקלת הצירים (קו-ואריאנטים, אינדקסים למטה); רכיבי וקטורים משתנים בכיוון הפוך לסקלת הצירים (קונטרה-ואריאנטים, אינדקסים למעלה).
לכל קו-וקטור: $\alpha =\alpha _{1}\epsilon ^{1}+\alpha _{2}\epsilon ^{2}+...$ $\alpha =\alpha _{1}\epsilon ^{1}+\alpha _{2}\epsilon ^{2}+...$ יש רכיבים: α1, α2... בבסיס הדואלי: ε1,ε2... .
כל רכיב מתקבל, מהפעלת הקו-וקטור על וקטור-בסיס של v, כך: $\alpha ({\vec {e_{i}}})=\alpha _{i}$ $\alpha ({\vec {e_{i}}})=\alpha _{i}$ ; בדומה לרכיבים של v, שהם ה"מדידות" או ההיטלים של v על כל אחד מהצירים: $\epsilon ^{j}({\vec {v}})=v^{j}$ $\epsilon ^{j}({\vec {v}})=v^{j}$ .
במילים אחרות: "פעולת" קו-וקטור על וקטור v היא "מדידת" ההיטלים שלו על הצירים (המספר שהקו-וקטור מחזיר, על הוקטור, הוא סכום המכפלות של: רכיבי הוקטור [שהם ההיטלים של הוקטור על הצירים] (בבסיס כלשהו), כפול רכיבי הקו-וקטור בבסיס הדואלי (לבסיס) [שהם פעולות הקו-וקטור על כל אחד מוקטורי-הבסיס המדובר]): $\alpha ({\vec {v}})=\alpha _{1}v^{1}+\alpha _{2}v^{2}+...$ $\alpha ({\vec {v}})=\alpha _{1}v^{1}+\alpha _{2}v^{2}+...$ (זה דומה למכפלה פנימית).
- לכן פעולת קווקטור-בסיס (של *V) בציר j (שהוא εj) על v, "מודדת" ומחזירה את רכיב הוקטור באותו ציר: $\epsilon ^{j}({\vec {v}})=v^{j}$ .
- בהתאם, התוצאות של הפעלת כל הקו-וקטור α על וקטורי-הבסיס (של V) בכל ציר i - הם הרכיבים של הקו-וקטור α (לפי בסיס מסוים של V, בכל ציר i).
  - וכאמור, התוצאה של הפעלת α על וקטור v - היא הסקלר שהוא סכום המכפלות של רכיבי α ברכיבי v.
- אין קשר של דואליות בין v לבין α; יש קשר של דואליות בין הבסיס ei ל-V לבין הבסיס εj ל-*V, כך שקווקטורי-הבסיס הדואלי (ב-*V) הם הקווקטורים εj שמפיקים מוקטור v את רכיביו, בבסיס המקורי (ב-V), שהם ei.

מס. 6[עריכת קוד מקור | עריכה]

כללי מעבר של קו-וקטורים

B מעבירה בסיס ישן לחדש, F מעבירה רכיבים ישנים לחדשים (הפוך מאשר וקטורים).

${\tilde {\vec {e_{j}}}}=\sum _{i}{F_{ij}{\vec {e_{i}}}};\;\;{\vec {e}}_{j}=\sum _{i}{B_{ij}{\tilde {{\vec {e}}_{i}}}}{\tilde {\epsilon ^{i}}}=\sum _{j}{B_{ij}\epsilon ^{j}};\;\;\epsilon ^{i}=\sum _{j}{F_{ij}{\tilde {\epsilon ^{j}}}}$ כלל: רכיבי הקו-וקטורים משתנים (F-קדימה) כמו בסיסי הוקטורים.

מס. 7[עריכת קוד מקור | עריכה]

מפות-לינאריות
מוקטורים לוקטורים. הן טנזורי-(1,1), כי במעבר לבסיס אחר משתמשים ב-F וגם ב-B.

מס. 8[עריכת קוד מקור | עריכה]

כללי מעבר של מפות-לינאריות
מטריצת המפה, בבסיס חדש: ${\tilde {L_{i}^{l}}}=\sum _{j}\sum _{k}{B_{k}^{l}L_{j}^{k}F_{i}^{j}}$

מס. 9[עריכת קוד מקור | עריכה]

הטנזור המטרי
טנזור-(0,2): אינוריאנטי, אבל רכיביו משתנים במעבר בסיסים.

המטריצה המייצגת את הטנזור המטרי: $g_{\vec {e_{i}}}=[{\vec {e_{i}}}\cdot {\vec {e_{j}}}]_{\vec {e_{i}}}$ (למשל: ${\begin{bmatrix}{\vec {e_{1}}}\cdot {\vec {e_{1}}}&{\vec {e_{1}}}\cdot {\vec {e_{2}}}\\{\vec {e_{2}}}\cdot {\vec {e_{1}}}&{\vec {e_{2}}}\cdot {\vec {e_{2}}}\end{bmatrix}}_{\vec {e_{i}}}$ )
זוית בין כל 2 וקטורים: $cos(\theta )={\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {w}}}{\|{\vec {v}}\|\|{\vec {w}}\|}}={\frac {v^{i}w^{j}g_{ij}}{\|{\vec {v}}\|\|{\vec {w}}\|}}$
מעבר לרכיבים של הטנזור המטרי לפי בסיס חדש, ~: ${\tilde {g_{ij}}}=F_{i}^{k}F_{j}^{l}g_{kl}$ .

מס. 10[עריכת קוד מקור | עריכה]

תבנית ביליניארית
תבנית ביליניארית: טנזור-(0,2).^[1]

קו-וקטור הוא תבנית לינארית, או: one-Form. טנזור מטרי הוא בעצם תבנית ביליניארית, אבל: (1) אפשר להפוך i,j שלא בהכרח אפשר בכל תבנית; (2) טנזור מטרי של אותו וקטור פעמיים - תמיד חיובי (ריבוע ה"אורך" או הנורמה), אבל זה לא בהכרח נכון לכל תבנית.
תבנית ביליניארית היא זוגות קווקטור-קווקטור: $B=B_{ij}\epsilon ^{i}\epsilon ^{j}=B_{ij}(\epsilon ^{i}\otimes \epsilon ^{j})$ ^[2]

מס. 11[עריכת קוד מקור | עריכה]

מפה לינארית היא זוג של וקטור-קווקטור
כי כשכופלים רכיבי וקטור, ברכיבים של קו-וקטור מימינו - מקבלים מטריצה: ${\vec {v}}\alpha =v^{i}\alpha _{j}={\begin{bmatrix}v^{1}\\v^{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\alpha _{1}&\alpha _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v^{1}\alpha _{1}&v^{1}\alpha _{2}\\v^{2}\alpha _{1}&v^{2}\alpha _{2}\end{bmatrix}}=L_{j}^{i}$ , וזו יכולה להגדיר מפה לינארית: $L({\vec {w}})={\vec {x}};L_{j}^{i}w^{j}=x^{i}?$ (הסכימה היא על j, לכן נשאר רק i).

מס. 12[עריכת קוד מקור | עריכה]

זוגות קווקטור-קווקטור

מס. 13[עריכת קוד מקור | עריכה]

המכפלה הטנזורית, מכפלת קרונקר

מכפלה טנזורית (מסויימת; יש אחרות?) לוקחת 2 טנזורים שהם: וקטור וקו-וקטור, יוצרת טנזור שלישי שהוא מפה לינארית.
מכפלת קרונקר עושה אותו דבר, בהקשר אחר: לוקחת וקטור וקו-וקטור ויוצרת מטריצה (שאיבריה הם המקדמים של המפה הלינארית).

מס. 14[עריכת קוד מקור | עריכה]

המכפלה הטנזורית. קומבינציה של וקטור/קו-וקטור

2 טנזורים חדשים: D (2,0); Q (1,2) f.
שני ייצוגים אפשריים למכפלה:

ייצוג איינשטיין ("מופשט"): $Q_{jk}^{i}D^{jk}orQ_{jk}^{i}D^{kb}or...,Q=Q_{jk}^{i}{\vec {e_{i}}}\epsilon ^{j}\epsilon ^{k}={\tilde {Q_{jk}^{i}}}{\tilde {\vec {e_{i}}}}{\tilde {\epsilon ^{j}}}{\tilde {\epsilon ^{k}}}$ יתרון: בטנזורים מסדרים גבוהים, ברור יותר מי הם הוקטורים והקו-וקטורים (לעומת ייצוג ויזואלי במספר ממדים, שהם הולכים לאיבוד); וברור מי כופל את מי קודם.
מערך: ${\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}Q_{11}^{1}\\Q_{11}^{2}\end{bmatrix}}&{\begin{bmatrix}Q_{21}^{1}\\Q_{21}^{2}\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}Q_{12}^{1}\\Q_{12}^{2}\end{bmatrix}}&{\begin{bmatrix}Q_{22}^{1}\\Q_{22}^{2}\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}D^{11}\\D^{21}\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}D^{12}\\D^{22}\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}$ יתרון: אופן ההכפלה יותר ברור, אבל רק בסדרים נמוכים.

מס. 15[עריכת קוד מקור | עריכה]

מרחבי מכפלה טנזורית
מכפלה טנזורית. הסימן $\otimes$

מכפלת קרונקר (מצרפת מערכים): ${\begin{bmatrix}v^{1}\\v^{2}\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}\alpha _{1}&\alpha _{2}\end{bmatrix}}$
מכפלה טנזורית של טנזורים (מצרפת טנזורים): ${\vec {v}}\otimes \alpha ;\;\;L_{j}^{i}({\vec {e_{i}}}\otimes \epsilon ^{j})$
מכפלה טנזורית של מרחבים וקטוריים: $V\otimes V^{*}$ ; המכפלה גם היא מרחב וקטורי, שכל איבר בו הוא טנזור (1,1), כלומר מדרגה 2: צירוף לינארי של וקטור וקו-וקטור ^[3]. כפי שהוסבר ב-11, מכפלת וקטור בקו-וקטור מימינו יוצרת מטריצה $L_{j}^{i}$ $L_{j}^{i}$ , וזו יכולה לייצג את הטנזורים הבאים:
- פונקציה מוקטור לוקטור, $L:V\rightarrow V$ (כלומר מפה לינארית): $L_{j}^{i}v^{j}=w^{i}$
- מקו-וקטור לקו-וקטור, $L:V^{*}\rightarrow V^{*}$ (מפה): $L_{j}^{i}\alpha _{i}=\beta _{j}$
- מזוגות וקטור-קווקטור לסקלר: $L:V\times V^{*}\rightarrow \mathbb {R}$ , או: $L_{j}^{i}v^{j}\alpha _{i}=s$
- או בסדר סכימה הפוך: $L:V^{*}\times V\rightarrow \mathbb {R}$ , או: $L_{j}^{i}\alpha _{i}v^{j}=s$
מכפלה טנזורית של מרחבי קו-וקטורים: $V^{*}\otimes V^{*}$ ; המכפלה היא מרחב וקטורי, שכל איבר בו הוא טנזור (0,2) (דרגה 2): צירוף לינארי של קו-וקטור וקו-וקטור (לא מכפלה אלא צירוף, combination, כך שבמקום מטריצה L, הפעולה שלהם B תהיה הכפלה מימין בוקטור, או בשניים ^[2]). בדומה למעלה, טנזור כזה יכול להיות:
- פונקציה $L:V\times V\rightarrow \mathbb {R}$ (כלומר תבנית בילינארית): $B_{ij}v^{i}w^{j}=s$ ^[2]
- סכימה על i, כך: $L:V\rightarrow V^{*}$ , או: $B_{ij}v^{i}=\alpha _{j}$
- סכימה על j, כך: $L:V\rightarrow V^{*}$ , או: $B_{ij}v^{j}=\beta _{i}$

מס. 16[עריכת קוד מקור | עריכה]

אינדקסים

אפשר למצוא לכל וקטור $v\in V$ $v\in V$ את תאומו ב-*V, ע"י הפעלה של הטנזור המטרי, על v, בלי להציב את הוקטור השני: $f({\vec {v}})=f(v^{j}{\vec {e_{j}}})=g({\vec {v}},\Box )={\vec {v}}\cdot \Box =g_{ij}v^{j}\epsilon ^{i}=v_{i}\epsilon ^{i}={\tilde {v_{i}}}{\tilde {\epsilon ^{i}}}$ $f({\vec {v}})=f(v^{j}{\vec {e_{j}}})=g({\vec {v}},\Box )={\vec {v}}\cdot \Box =g_{ij}v^{j}\epsilon ^{i}=v_{i}\epsilon ^{i}={\tilde {v_{i}}}{\tilde {\epsilon ^{i}}}$ .
- פירוט: פעולת הטנזור המטרי עם וקטור מסויים v על וקטור כלשהו w מהווה קו-וקטור (שהוא "תאומו" של v), כי פעולה זו היא פונקציה שפועלת על w, ומחזירה סקלר. ^[4]
- הפעולה, שמתאימה לוקטור את הקו-וקטור התואם לו - היא ה"ירידה" באינדקסים: $g_{ij}v^{j}=v_{i}$ ; משמעות הירידה (גבוה = רכיב של וקטור, נמוך = רכיב של קו-וקטור): הטנזור המטרי g (הקו-וריאנטי), בפעולתו על וקטור יחיד כלשהו w (וזאת באמצעות הוקטור המסויים v), מהווה קו-וקטור; אפשר לראות את הטנזור-המטרי כזוג קו-וקטורים ( $g\in V^{*}\otimes V^{*}$ ), שהפעלתם בזה אחר זה, על וקטור אחד, מהווה קו-וקטור: $g_{ij}v^{j}=v_{i}$ ; או: הצירוף-של-הטנזור-המטרי-g-עם-הוקטור-המסוים-v - פועל על w ומחזיר סקלר, כלומר: צירוף זה הוא קו-וקטור.
  g, בשימוש הזה (על הוקטור היחיד v), ממיר וקטור (v שלרכיביו יש אינדקס גבוה) לקו-וקטור (v עם אינדקס נמוך). ^[4]
- הטנזור המטרי ההפוך 𝔤 (הקונטרה-וריאנטי) מעלה אינדקסים: ${\mathfrak {g}}^{ki}g_{ij}=\delta _{i}^{k}={\tilde {{\mathfrak {g}}^{ki}}}{\tilde {g_{ij}}};\;\;{\mathfrak {g}}^{ij}v_{j}=v^{i}$ ; משמעותו: מהווה פעולה הופכית לטנזור המטרי (g×𝔤=I, מטריצת היחידה; ${\mathfrak {g}}^{ki}g_{ij}=\delta _{j}^{k}$ ); כלומר, בפעולתה על קו-וקטור יחיד, היא מהווה וקטור (ואחרת, ניתן לראותה כזוג וקטורים, ${\mathfrak {g}}\in V\otimes V$ ).
ככלל, הורדה והעלאה של אינדקסים: $Q_{jk}^{i}\in V\otimes V^{*}\otimes V^{*};\;\;Q_{jk}^{i}{\mathfrak {g}}^{jx}=Q_{k}^{ix};\;\;Q_{k}^{ix}\in V\otimes V\otimes V^{*};\;\;D^{ab}g_{ax}={D_{x}}^{b}\;$ $Q_{jk}^{i}\in V\otimes V^{*}\otimes V^{*};\;\;Q_{jk}^{i}{\mathfrak {g}}^{jx}=Q_{k}^{ix};\;\;Q_{k}^{ix}\in V\otimes V\otimes V^{*};\;\;D^{ab}g_{ax}={D_{x}}^{b}\;$
- (מויקיפדיה:) לכל וקטור ${\vec {v}}$ אפשר להתאים את הקו-וקטור (פונקציונל) ${\tilde {v}}$ באופן הזה:
  $\ {\tilde {v}}({\vec {w}})=g\left(v^{\mu }{\hat {e}}_{\mu },w^{\nu }{\hat {e}}_{\nu }\right)=g_{\mu \nu }v^{\mu }w^{\nu }$ (כלומר: מתאימים לוקטור v את הקו-וקטור v המסויים, שפעולתו על וקטור כלשהו w שווה לפעולת המטריקה g על הוקטורים w ו-v);
  כעת, את הפעולה של קו-וקטור כלשהו β על וקטור w ניתן תמיד לרשום כך: ${\tilde {\beta }}({\vec {w}})=\beta _{\nu }w^{\mu }$ ,
  ולקבל: ${\tilde {v}}({\vec {w}})=v_{\nu }w^{\mu }(=g_{\mu \nu }v^{\mu }w^{\nu })$ ,
  ומכאן יוצא, שהרכיבים של הקו-וקטור v הם: $({\tilde {v}})_{\nu }=v_{\nu }=g_{\mu \nu }v^{\mu }$ ; רואים, שפעולת הטנזור המטרי g הביאה לביטול (Tensor contraction) האינדקס μ, ול"הורדה" של האינדקס $\nu$ ; לכן פעולת ההתאמה של קו-וקטור לוקטור נקראת "הורדת אינדקסים". המשמעות: הפעולה של g המירה רכיבים של וקטור (אינדקסים למעלה) לרכיבים מתאימים (דואליים-?) של קו-וקטור (= אינדקסים למטה); כך g "מורידה" אינדקסים.
  כל הורדה של אינדקס (= תוספת אינדקס קו-ואריאנטי) הופכת טנזור מסדר (m,n) לטנזור מסדר (m-1, n+1).

- דוגמה: הורדה והעלאה של אינדקסים#דוגמה - הגרדיאנט: גרדיאנט הוא פעולה על שדה סקלרי, שתוצאתה היא שדה וקטורי. אפשר להתייחס לגרדיאנט עצמו כאל וקטור (תוספות שלי): ש
  $\operatorname {grad} f={\vec {\nabla }}\equiv {\hat {x}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\hat {y}}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\hat {z}}{\frac {\partial }{\partial z}}\equiv (\partial _{x},\partial _{y},\partial _{z})\color {red}\equiv \partial ^{\mu }{\vec {e}}_{\mu }={\frac {\partial f}{\partial x^{\mu }}}{\vec {e}}_{\mu }$ .
  פעולת ההכפלה של הגרדיאנט ב-g (המטריקה של המרחב הוקטורי - שאליו שייך הגרדיאנט-?), ממירה את רכיביו לרכיבים של הפונקציונל df (הנקרא דיפרנציאל), שאותו אפשר לראות כקו-וקטור; כלומר, ההכפלה הורידה את האינדקסים, מאידקסים עליונים ב-ᐁf, לתחתונים ב- df (במערכת ייחוס אורתונורמלית: g=I, ורכיבי הוקטור והפונקציונל - זהים-?^[5]).
  בכיוון ההפוך: ההכפלה של df במטריקה ההפוכה ${\mathfrak {g}}=g^{-1}$ ממירה את רכיבי הדיפרנציאל לרכיבי הוקטור, כלומר מעלה את האינדקסים:
  ${\vec {\nabla }}f={\mathfrak {g}}^{\mu \nu }(df)_{\nu }\color {red}{\vec {e}}_{\mu }={\mathfrak {g}}^{\mu \nu }{\frac {\partial f}{\partial x^{\nu }}}{\vec {e}}_{\mu }=\partial ^{\mu }{\vec {e}}_{\mu }$ .

דימוי מוזיקלי. הקו-וקטור הוא כמו פונקצית "השטחה" (flat, במול): ${\vec {v}}\cdot \Box =v^{i}{\vec {e_{i}}}\cdot \Box =\flat {\vec {v}}=v_{i}\epsilon ^{i}$ (הקו-וקטור מוריד את הצליל בחצי-טון, "משטח" אותו); והוקטור הוא כמו פונקצית "חידוד" (sharp, דיאז, מעלה את הצליל): $\alpha ={\vec {a}}\cdot \Box ={\mathfrak {g}}(\alpha ,\Box )$ ; $\alpha \mapsto {\vec {a}};\;\;\sharp \alpha =\alpha ^{i}{\vec {e_{i}}}=\alpha _{i}\epsilon ^{i}$ ; לכן פעולת הורדה או העלאה נקראת גם (Musical isomorphism).

סוגים של טנזורים
טנזור	מאפיין	סוג	דרגה
סקלר	מספר	(0,0)?	0
וקטור	איבר במרחב וקטורי	(1,0)	1
מטריצה	-"-	(2,0)?	2
קו-וקטור	איבר במרחב וקטורי (הדואלי)	(1,0)	1
מפה לינארית	פונקציה מוקטור לוקטור	(1,1)	2
טנזור מטרי^[6]^[7]	פונקציה מזוגות של וקטורים - לסקלר	(0,2)	2?
תבנית בילינארית^[7]	זוגות של קווקטור-קווקטור	(0,2)	2?

לקריאה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות[עריכת קוד מקור | עריכה]

^ כללית: טנזור עם m-contravariant, n-covariant הוא (Tensor-(m,n.
^ ¹ ² ³ למען הסדר, B לא נכתבת כמטריצה (אחרת הפעלתה על שני וקטורים - תצריך לכתוב אחד מהם כשורה ולא כעמודה), אלא כשורה של שורות: $B({\vec {v}},{\vec {w}})={\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}B_{11}&B_{12}\end{bmatrix}}&{\begin{bmatrix}B_{21}&B_{22}\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v^{1}\\v^{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w^{1}\\w^{2}\end{bmatrix}}=({\begin{bmatrix}B_{11}&B_{12}\end{bmatrix}}v^{1}+{\begin{bmatrix}B_{21}&B_{22}\end{bmatrix}}v^{2}){\begin{bmatrix}w^{1}\\w^{2}\end{bmatrix}}=B_{11}v^{1}w^{1}+B_{12}v^{1}w^{2}+B_{21}v^{2}w^{1}+B_{22}v^{2}w^{2}=B_{ij}v^{i}w^{j}$
^ (Tensor product#Notation)
^ ¹ ² הסימן $\Box$ משמש כאן בגלל ההשמטה של הוקטור השני, שאחרי המכפלה סקלרית. ראו: הורדה והעלאה של אינדקסים#הורדה והעלאה של אינדקסים
^ (Gradient#General coordinates)
^ מקרה פרטי של תבנית בילינארית
^ ¹ ² התבנית היא זוג קו-וקטורים, שיוצרים את המטריצה המייצגת; הפעלתה על שני וקטורים בזה-אחר-זה - יוצרת סקלר.

[1] כללית: טנזור עם m-contravariant, n-covariant הוא (Tensor-(m,n.

[תבנית_זוגות-2] ¹ ² ³ למען הסדר, B לא נכתבת כמטריצה (אחרת הפעלתה על שני וקטורים - תצריך לכתוב אחד מהם כשורה ולא כעמודה), אלא כשורה של שורות: $B({\vec {v}},{\vec {w}})={\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}B_{11}&B_{12}\end{bmatrix}}&{\begin{bmatrix}B_{21}&B_{22}\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v^{1}\\v^{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w^{1}\\w^{2}\end{bmatrix}}=({\begin{bmatrix}B_{11}&B_{12}\end{bmatrix}}v^{1}+{\begin{bmatrix}B_{21}&B_{22}\end{bmatrix}}v^{2}){\begin{bmatrix}w^{1}\\w^{2}\end{bmatrix}}=B_{11}v^{1}w^{1}+B_{12}v^{1}w^{2}+B_{21}v^{2}w^{1}+B_{22}v^{2}w^{2}=B_{ij}v^{i}w^{j}$

[3] (Tensor product#Notation)

[משהו-4] ¹ ² הסימן $\Box$ משמש כאן בגלל ההשמטה של הוקטור השני, שאחרי המכפלה סקלרית. ראו: הורדה והעלאה של אינדקסים#הורדה והעלאה של אינדקסים

[5] (Gradient#General coordinates)

[6] מקרה פרטי של תבנית בילינארית

[תבנית-7] ¹ ² התבנית היא זוג קו-וקטורים, שיוצרים את המטריצה המייצגת; הפעלתה על שני וקטורים בזה-אחר-זה - יוצרת סקלר.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

	דף זה אינו ערך אנציקלופדי
	דף זה הוא טיוטה של Avneref.

דף זה אינו ערך אנציקלופדי
דף זה הוא טיוטה של Avneref.