משפט העקום של ז'ורדן

המחשה של משפט עקומת ז'ורדן. עקומת ז'ורדן מחלקת את המישור לאזור "פנימי" (בכחול) ואזור חיצוני (בורוד).

עקום ז'ורדן הוא לולאה פשוטה במישור, כלומר מסילה המתחילה ומסתיימת באותה הנקודה ושאינה חותכת את עצמה. משפט העקום של ז'ורדן קובע שכל עקום ז'ורדן מחלק את המישור לשני תחומים קשירים: התחום ה"פנימי" החסום, והמשלים שלו – התחום ה"חיצוני" שאינו חסום. תמונתו של העקום במישור היא שפתם המשותפת של שני רכיבי הקשירות. בפרט נובע שכל מסילה העוברת בשני התחומים חייבת לחתוך את העקום.

ברנרד בולצאנו היה הראשון לנסח את המשפט באופן פורמלי והציג אותו כהשערה. המשפט נראה מובן מאליו, ואכן הוכחת המשפט עבור עקומי ז'ורדן מצולעים היא אלמנטרית, אך עם זאת ההוכחה עבור עקום ז'ורדן כללי אינה פשוטה כלל ועיקר. למרות ההגדרה האלמנטרית למושג של עקום ז'ורדן, עקומים כאלה יכולים להיות מסובכים למדי כדוגמת פרקטל, ולהיראות מקומית למשל כמו פונקציית ויירשטראס. במקרים כאלה קשה להסיק מרציפות העקומה, שהיא תכונה מקומית, מסקנות לגבי קשירוּת של קבוצות המישור, שהיא תכונה גלובלית, וכן קשה לעיתים להבין מהו התחום הפנימי, שכן אין דרך להגדיר "פנים" ו"חוץ" לעקומה.^[1] המשפט נקרא על שם המתמטיקאי קאמי ז'ורדן שניסח אותו לראשונה בשנת 1887.^[2] תקפותה של ההוכחה שז'ורדן הציג למשפט הייתה נתונה לוויכוח,^[3] ובכל מקרה המשפט הוכח באופן מלא בשנת 1905 על ידי אוסוולד וובלן (אנ').

נוסח פורמלי והכללות

הכללה של המשפט למרחבים אוקלידיים מממד גבוה יותר הוכחה בשנת 1911 על ידי אנרי לבג ולויצן אגברטוס יאן בראואר באופן בלתי תלוי, והיא מכונה "משפט ההפרדה של ז'ורדן-בראואר". הוכחות מודרניות למשפט נשענות על כלים מטופולוגיה אלגברית של חישוב הומולוגיה, ובכלים אלה הכללה זו אינה קשה יותר מהמשפט המקורי. הכללה נוספת עבור יריעות קשירות וקומפקטיות במרחב האוקלידי הושגה על ידי ג'יימס וואדל אלכסנדר (אנ'). למשפט העקום של ז'ורדן קיימת גרסה חזקה יותר המכונה "משפט ז'ורדן–שונפילד", לפיה תמונתו של כל עקום ז'ורדן היא תמונת מעגל היחידה על ידי הומאומורפיזם מהמישור לעצמו.

להלן בכל המקרים נסמן $I:=\left[0,1\right]$ ונסמן את התמונה של העתקה $\gamma$ על ידי ${\mathcal {G}}$ .

משפט העקום של ז'ורדן: תהי $\gamma :I\to \mathbb {R} ^{2}$ לולאה פשוטה במישור (ניתן להתייחס למישור גם כאל $\mathbb {C}$ , היות שכמרחב טופולוגי הם שקולים). אזי המרחב $X:=\mathbb {R} ^{2}\backslash {\mathcal {G}}$ הוא איחוד של שני רכיבי קשירות, האחד חסום והאחר לא חסום, ששפתם המשותפת היא ${\mathcal {G}}$ .

משפט ההפרדה של ז'ורדן-בראואר (הכללה לממד גבוה): נסמן את קוביית היחידה ה- $n$ -ממדית על ידי $I^{n}=\left[0,1\right]^{n}\subset \mathbb {R} ^{n}$ . נגדיר "עקום ז'ורדן $n$ -ממדי" להיות העתקה רציפה מהצורה $\gamma :I^{n}\to \mathbb {R} ^{n+1}$ , שהיא "לולאה" במובן זה שהיא מקבלת את אותו הערך על שפת התיבה $I^{n}$ , והיא "פשוטה" במובן זה שהיא לא חותכת את עצמה, כלומר חח"ע, על פנים התיבה $I^{n}$ . אזי המרחב $X:=\mathbb {R} ^{n+1}\backslash {\mathcal {G}}$ הוא איחוד של שני רכיבי קשירות, האחד חסום והאחר לא חסום, ששפתם המשותפת היא ${\mathcal {G}}$ .

משפט אלכסנדר (הכללה ליריעות): כל תת-יריעה טופולוגית $n$ -ממדית קשירה וקומפקטית של המרחב האוקלידי $\mathbb {R} ^{n+1}$ מחלקת את המרחב לשני רכיבי קשירות, האחד חסום והאחר לא חסום, כאשר היריעה היא השפה המשותפת שלהם.

משפט ז'ורדן-שונפילד: תהי $\gamma :I\to \mathbb {R} ^{2}$ לולאה פשוטה במישור. אזי קיים הומאומורפיזם $\Phi :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ המקיים כי $\Phi \left({\mathcal {G}}\right)$ הוא מעגל היחידה $S^{1}$ .

הוכחה באמצעות טופולוגיה אלגברית

בהוכחה זו נראה את החלק הראשון במשפט, לפיו ישנם שני רכיבי קשירות, האחד חסום והשני לא חסום. כדי להשלים את הוכחת המשפט יש להראות כי ${\mathcal {G}}$ היא שפתם של שני רכיבי הקשירות. חלק זה לא נובע ישירות מהאפיון על ידי טופולוגיה אלגברית, אולם הוא ניתן להוכחה באופן אלמנטרי כפי שמופיע בהוכחה לפי משפט נקודת השבת של בראואר.

נסמן ב- $S^{n}$ את הספירה ה- $n$ -ממדית. נבחין כי עקום ז'ורדן מהצורה $\gamma :I\to \mathbb {R} ^{2}$ הוא למעשה שיכון (כלומר העתקה רציפה וחח"ע, שההופכית שלה רציפה) מהצורה $\gamma :S^{1}\to \mathbb {R} ^{2}$ . עוד נבחין כי אם נבצע קומפקטיפיקציה של $\mathbb {R} ^{2}$ על ידי זיהוי כל הנקודות באינסוף, נקבל את $S^{2}$ .

נסמן את תמונת העקום על ידי ${\mathcal {G}}$ . זוהי תמונה רציפה של המעגל, ולכן ${\mathcal {G}}$ קבוצה קומפקטית ולכן חסומה, ומכאן שלמרחב $\mathbb {R} ^{2}\backslash {\mathcal {G}}$ רכיב קשירות לא חסום יחיד, וכל שאר רכיבי הקשירות חסומים. לכן נובע כי השיכון ${\mathcal {G}}\subset S^{2}$ משמר את רכיבי הקשירות, כלומר מספיק להראות כי למרחב $S^{2}\backslash {\mathcal {G}}$ יש שני רכיבי קשירות, ומיד ינבע כי האחד חסום והשני לא חסום.

בטופולוגיה אלגברית רכיבי הקשירות נספרים על ידי ההומולוגיה $H_{0}$ של המרחב. כדי לחשב הומולוגיה זו עבור המרחב $S^{2}\backslash {\mathcal {G}}$ נשתמש במשפט מאייר-ויאטוריס. תהי $D_{+}\subset S^{1}$ המחצית העליונה של המעגל יחד עם תוספת קצרה מתחת לקו האפס, כלומר $D_{+}:=\left\{\left(x,y\right)\in S^{1}\mid x>-\epsilon \right\}$ , ובאופן דומה תהי $D_{-}:=\left\{\left(x,y\right)\in S^{1}\mid x<\epsilon \right\}$ . נסמן $U=S^{2}\backslash \gamma (D_{+})$ ונסמן $V=S^{2}\backslash \gamma (D_{-})$ . מתקיים כי $U\cap V=S^{2}\backslash {\mathcal {G}}$ ומתקיים כי $U\cup V=S^{2}\backslash \left\{{\text{two points}}\right\}\cong S^{1}$ .

ברור כי $U,V$ מרחבים כוויצים ולכן ${\tilde {H}}_{i}\left(U\right)={\tilde {H}}_{i}\left(V\right)=0$ לכל $i$ . לכן ממשפט מאייר-ויאטוריס לכל $i$ מתקבל איזומורפיזם בהומולוגיה המצומצמת: ${\tilde {H}}_{i+1}\left(S^{1}\right)={\tilde {H}}_{i+1}\left(U\cup V\right)\cong {\tilde {H}}_{i}\left(U\cap V\right)={\tilde {H}}_{i}\left(S^{2}\backslash {\mathcal {G}}\right)$ בפרט עבור $i=0$ נקבל את האיזומורפיזם: $\mathbb {Z} \cong {\tilde {H}}_{1}\left(S^{1}\right)\cong {\tilde {H}}_{0}\left(S^{2}\backslash {\mathcal {G}}\right)$ לכן בסך הכל $H_{0}\left(S^{2}\backslash {\mathcal {G}}\right)={\tilde {H}}_{0}\left(S^{2}\backslash {\mathcal {G}}\right)\oplus \mathbb {Z} =\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ , כלומר יש שני רכיבי קשירות.

אותה הוכחה תהיה תקפה באינדוקציה עבור המשפט בממדים גבוהים יותר. כלומר שימוש זהה במשפט מאייר-ויאטוריס מראה כי לכל שיכון מהצורה $\gamma :S^{n}\to S^{n+1}$ מתקיים עבור ${\mathcal {G}}={\text{Im}}\gamma$ כי $H_{0}\left(S^{n+1}\backslash {\mathcal {G}}\right)=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ .

הוכחה באמצעות משפט נקודת השבת של בראואר

נציג להלן את הוכחתו של ריוג'י מאהרה (Ryuji Maehara) מ-1984, העושה שימוש במשפט נקודת השבת של בראואר.

נבחין תחילה בשתי העובדות הבאות:

אם $U\subset X$ רכיב קשירות כלשהו, אז $U$ קבוצה פתוחה וקשירה-מסילתית (כי $\mathbb {C}$ מרחב קשיר-מסילתית מקומית).
${\mathcal {G}}$ קבוצה קומפקטית ולכן חסומה, ונובע כי $X$ בעל רכיב קשירות לא-חסום יחיד. אם כך, כדי להוכיח את המשפט די להראות כי $X$ בעל רכיב קשירות חסום יחיד, וכי שפתו של כל רכיב קשירות היא ${\mathcal {G}}$ .

לאורך ההוכחה נשתמש בשתי הטענות הבאות, אותן ניתן להוכיח על ידי משפט נקודת השבת של בראואר:

טענה 1: אם $X$ לא קשיר, אז השפה של כל רכיב קשירות היא ${\mathcal {G}}$ .
טענה 2: יהיו $f,g:I\to \left[0,1\right]\times \left[0,1\right]$ זוג מסילות כך שהמסילה f מתחילה "למטה" ומסתיימת "למעלה" (כלומר $\pi _{x}f\left(0\right)=0,\,\pi _{x}f\left(1\right)=1$ ), והמסילה g מתחילה "משמאל" ומסתיימת "מימין" (כלומר $\pi _{y}g\left(0\right)=0,\,\pi _{y}g\left(1\right)=1$ ). אזי קיימים $s,t\in I$ כך שמתקיים $f\left(s\right)=g\left(t\right)$ .

מעובדה 2 לעיל יחד עם טענה 1, די להראות כי $X:=\mathbb {C} \backslash {\mathcal {G}}$ הוא בעל רכיב קשירות חסום יחיד.

נשים לב כי ${\mathcal {G}}$ קומפקטית, לכן יש $a,b\in {\mathcal {G}}$ המקיימות, $\left\Vert a-b\right\Vert =\max \left\{\left\Vert x-y\right\Vert \mid x,y\in {\mathcal {G}}\right\}$ נניח ללא הגבלת הכלליות כי $a=\left(-1,0\right),\,b=\left(1,0\right)$ (ניתן לסובב ולמתוח ללא שינוי רכיבי הקשירות), ונקבל כי המלבן ${\mathcal {R}}:=\left[-1,1\right]\times \left[-2,2\right]$ מכיל את ${\mathcal {G}}$ , וכי שפתו $\Gamma :=\partial {\mathcal {R}}$ מקיימת $\Gamma \cap {\mathcal {G}}=\left\{a,b\right\}$ .

נתבונן בנקודות האמצע של ארבע צלעות ${\mathcal {R}}$ . שתיים מהן הן הנקודות $a,b$ והשתיים האחרות הן $n:=\left(0,2\right),\,s:=\left(0,-2\right)$ . נשים לב כי הנקודות $a,b$ מחלקות את ${\mathcal {G}}$ לתמונות של שתי מסילות, שנסמן ${\mathcal {G}}_{n},{\mathcal {G}}_{s}$ , שנקודת ההתחלה שלהן היא $a$ ונקודת הסיום שלהן היא $b$ .

נשים לב כי הקטע האנכי $\left[n,s\right]$ הוא מסילה המחברת את צלעותיו האופקיות של ${\mathcal {R}}$ . אם כך, מטענה 2 עבור המסילות $\left[n,s\right],\,{\mathcal {G}}_{n}$ נקבל כי החיתוך $\left[n,s\right]\cap {\mathcal {G}}_{n}$ לא ריק. תהי $l$ הנקודה הגבוהה ביותר בחיתוך הנ"ל, ותהי $m$ הנקודה הנמוכה ביותר (אולי $m=l$ ).

נתבונן במסילה $\beta \equiv \left[n,l\right]\star {\mathcal {G}}\mid _{\left[l,m\right]}\star \left[m,s\right]$ . נשתמש בטענה 2 עבור המסילות $\beta ,{\mathcal {G}}_{s}$ , ונקבל כי הן נחתכות. יהיו $p,q\in \beta \cap {\mathcal {G}}_{s}$ כך ש- $p$ הגבוהה ביותר ו- $q$ הנמוכה ביותר (אולי $p=q$ ).

נשים לב כי מאופן בחירת $l$ נובע כי $\left[m,s\right]\cap {\mathcal {G}}_{s}\neq \emptyset$ , שכן אם ${\mathcal {G}}\mid _{\left[l,m\right]}\cap {\mathcal {G}}_{s}\neq \emptyset$ זו לא לולאה פשוטה, ואם $\left[n,l\right]\cap {\mathcal {G}}_{s}\neq \emptyset$ אז $l$ לא מקסימלי.

תהי $x_{0}\in \left[m,p\right]$ נקודת אמצע הקטע. מאופן בחירת $m,p$ נקבל כי $x_{0}\notin {\mathcal {G}}$ ולכן $x_{0}\in X$ . יהי $U\subset X$ רכיב קשירות המכיל את $x_{0}$ . נראה כי רכיב הקשירות $U$ חסום ויחיד, ובזאת נסיים.

נראה כי $U$ חסום: נניח בשלילה כי $U$ אינו חסום. תהי $w_{0}\in U\cap \mathbb {C} \backslash {\mathcal {R}}$ . נזכור כי $U$ קשיר מסילתית, אז תהי $\alpha :I\to U$ מסילה עם $\alpha \left(0\right)=x_{0},\,\alpha \left(1\right)=w_{0}$ . תהי $w\in {\mbox{Im}}\alpha \cap \Gamma$ הנקודה הראשונה בחיתוך הנ"ל. לא ייתכן כי $w$ היא בגובה $0$ , כי אז $w\in \left\{a,b\right\}$ , אבל גם $w\in U$ ומתקיים $U\cap {\mathcal {G}}=\emptyset$ . נניח כי $w$ אינו גבוה מ- $0$ , אז יש מסילה ${\widehat {ws}}$ ב- $\Gamma$ המחברת את $w,s$ , שאינה חותכת את $a,b$ . נתבונן במסילה, $\left[n,l\right]\star {\mathcal {G}}\mid _{\left[l.m\right]}\star \left[m,x_{0}\right]\star \alpha \mid _{\left[x_{0},w\right]}\star {\widehat {ws}}$ מסילה זו אינה חותכת את ${\mathcal {G}}_{s}$ , בסתירה לטענה 2. באופן סימטרי, אם $w$ גבוה מ- $0$ , יש מסילה ${\widehat {wn}}$ ב- $\Gamma$ שלא חותכת את $a,b$ , בסתירה לטענה 2, כי המסילות ${\mathcal {G}}_{s},\,\left[s,x_{0}\right]\star \alpha \mid _{\left[x_{0},m\right]}\star {\widehat {ws}}$ לא נחתכות.
נראה כי $U$ יחיד: יהי $W\subset X$ רכיב קשירות חסום. כדי להראות $W=U$ די להראות כי $U\cap W\neq \emptyset$ . נשים לב כי $W\subset {\mathcal {R}}$ . נניח בשלילה $U\cap W=\emptyset$ . נתבונן במסילה $\beta \equiv \left[n,l\right]\star {\mathcal {G}}_{\left[l,m\right]}\star \left[m,p\right]\star {\mathcal {G}}_{\left[p,q\right]}\star \left[q,s\right]$ ניתן לראות כי $\beta$ לא חותכת את $W$ . נשים לב כי ${\mbox{Im}}\beta$ לא חותכת את $a,b$ , ולכן יש כדורים פתוחים $\mathbf {B} _{a},\mathbf {B} _{b}$ סביבות של $a,b$ בהתאמה, שלא נחתכים עם ${\mbox{Im}}\beta$ . מטענה 1 נובע כי ${\mathcal {G}}=\partial W$ , ולכן יש $a_{1}\in W\cap \mathbf {B} _{a},\,b_{1}\in W\cap \mathbf {B} _{b}$ . תהי ${\widehat {a_{1}b_{1}}}$ מסילה ב- $W$ המחברת את $a_{1},b_{1}$ . נתבונן במסילה $\left[a,a_{1}\right]\star {\widehat {a_{1}b_{1}}}\star \left[b_{1},b\right]$ שבתוך $W$ . מסילה זו לא נחתכת עם $\beta$ , בסתירה לטענה 2.