משלים (מתמטיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת הקבוצות, משלים של קבוצה G הוא קבוצה אחרת, אשר מכילה את כל האיברים שאינם נמצאים ב-G. זאת ביחס לקבוצה U כלשהי שהיא "הקבוצה האוניברסלית" - קבוצה שבהקשר הנוכחי של הדיון, כל קבוצה שעליה נדבר היא תת קבוצה של U.

על-פי הגדרה זו, האיחוד של קבוצת G והמשלים של G הוא הקבוצה U, ואילו החיתוך ביניהן הוא קבוצה ריקה.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

דיאגרמת ון של המשלים של G בקבוצת U הוא השטח המסומן בצבע אפור.

תהא \!\, U קבוצה, ותהא \!\, G\subseteq U קבוצה חלקית שלה. אז המשלים של \!\, G ב\!\, U יוגדר כך: \!\, G^\complement=U-G. סימונים מקובלים נוסף למשלים הם \!\, G',\ \complement_UG,\ \overline G,\ -G. עם זאת, הסימון \overline G מתנגש לעתים עם שימושים אחרים של הסימון בקו עליון, ולכן מקובל להימנע ממנו.

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהא קבוצה N המכילה את כל המספרים הטבעיים 1,2,3,....

תהא קבוצה A המכילה רק את המספרים הטבעיים הזוגיים 2,4,6.... הקבוצה B היא המשלים של A ביחס ל-N אם היא מכילה את המספרים המוכלים ב-N אך לא ב-A, כלומר את המספרים הטבעיים האי זוגיים 1,3,5....

ניתן לראות כי החיתוך של A עם B נותן קבוצה ריקה, בעוד שאיחודן יוצר את הקבוצה N.

תכונות בסיסיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

\!\, A^{\complement\complement}=A, כלומר המשלים של המשלים של קבוצה הינו הקבוצה עצמה.

\!\, A \cap A^\complement=\emptyset, כלומר, חיתוך קבוצה והמשלים שלה שווה לקבוצה הריקה.

\!\, A \cup A^\complement=U, כלומר, איחוד קבוצה והמשלים שלה שווה לקבוצה האוניברסלית.

\!\, U^\complement=\emptyset, כלומר המשלים של הקבוצה האוניברסלית הוא הקבוצה הריקה.

\!\, \emptyset^\complement=U, כלומר המשלים של הקבוצה הריקה הינו הקבוצה האוניברסלית.

כללי דה מורגן[עריכת קוד מקור | עריכה]

כללי דה מורגן קושרים את הפעולות "איחוד", "חיתוך", "משלים". בכתיב פורמלי הם מוצגים כך:

(A\cap B)^\complement=A^\complement\cup B^\complement
(A\cup B)^\complement=A^\complement\cap B^\complement


נושאים בתורת הקבוצות

תורת הקבוצות הנאיביתתורת הקבוצות האקסיומטיתקבוצהיחידוןהקבוצה הריקהאיחודחיתוךמשליםהפרש סימטריקבוצת החזקהמכפלה קרטזיתיחסיחס שקילותפונקציהעוצמהקבוצה בת מנייההאלכסון של קנטורמשפט קנטור שרדר ברנשטייןהשערת הרצףהפרדוקס של ראסלסדר חלקימספר סודרהלמה של צורןאקסיומת הבחירה