טורוס

טורוס (מלטינית: torus, וברבים - tori) הוא משטח המתקבל מסיבוב מעגל במרחב התלת-ממדי סביב ישר הנמצא במישור המעגל, ועובר מחוץ למעגל. עצמים מוכרים אשר להם צורת טורוס הם כעך ופנימית של גלגל.

זוהי צורה גאומטרית בסיסית הנחקרת במספר תחומים שונים במתמטיקה, כמו גאומטריה, טופולוגיה, טופולוגיה גאומטרית, חבורות לי. זהו אובייקט מרכזי במספר משפטי מיון, כמו מיון היריעות הקומפקטית (וללא שפה) האוריינטביליות מגנוס 1, מיון משטח רימן ועוד.

הגדרה

טופולוגית

בטופולוגיה, מתארים את הטורוס הדו-ממדי כמרחב מנה של ריבוע, על ידי הדבקת זוגות הצלעות המקבילות באותו כיוון. במשחקי מחשב רבים (למשל פק-מן) מתואר המרחב שבו משחקים על ידי מפה מלבנית, שבה אפשר לעבור מן הקצה העליון לתחתון ולהפך, וכן מן הקצה הימני לשמאלי, ולהפך. מבחינה טופולוגית, עולם כזה הוא טורוס. מכיוון שהריבוע הוא מכפלה של קטע אחד בקטע אחר, מרחב המנה המתקבל מזיהוי הצלעות המקבילות, גם הוא מרחב מכפלה - $\ S^{1}\times S^{1}$ כאשר $\ S^{1}$ הוא המעגל.

הצגה פרמטרית

טורוס ניתן לתיאור פרמטרי בצורה הבאה:

x(u,v)=(R+r\cos {v})\cos {u}\,

y(u,v)=(R+r\cos {v})\sin {u}\,

z(u,v)=r\sin {v}\,

כאשר u ו-v הם בקטע [0, 2π), ‏R הוא המרחק בין מרכז המעגל המסתובב למרכז הטורוס, ו-r הוא הרדיוס של המעגל המסתובב.

במערכת צירים קרטזית ניתן להגדיר את הטורוס באמצעות כל הנקודות שמקיימות את המשוואה הבאה:

\left(R-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+z^{2}=r^{2}

טורוס n-ממדי

הטורוס ה- $n$ ממדי מוגדר כמרחב הטופולוגי $T^{n}=S^{1}\times \dots \times S^{1}$ ( $n$ פעמים). הוא מהווה הכללה של הטורוס הרגיל $T^{2}=S^{1}\times S^{1}$ .

דרך הסתכלות נוספת על הטורוס היא כמנה של $\mathbb {R} ^{n}$ , בה מזהים את הרשת של השלמים $\mathbb {Z} ^{n}$ (שהיא תת-חבורה סגורה דיסקרטית) - כלומר מחלקים בפעולת הזזות שלמות של חבורות, ומתקבל $T^{n}\cong \mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}$ . לדרך זו יש מספר שימושים, כמו בחבורות לי; היא גם משרה פעולת חבורה (למעשה, חבורת לי אבלית) על הטורוס, שגם שווה למכפלה הישרה של פעולת הכפל הטבעית על $S^{1}$ .

מבנה טופולוגי

החבורה היסודית

החבורה היסודית של הספירה היא החבורה הציקלית האינסופית. לכן, החבורה היסודית של מכפלת ספירות היא מכפלה של החבורה הזו, כלומר $\pi _{1}(T^{n})=\mathbb {Z} ^{n}$ .

מרחבי כיסוי

מרחב הכיסוי האוניברסלי של $S^{1}$ הוא הישר הממשי, על ידי ההעתקה $p(r)=e^{2\pi ir}$ . בנוסף, מרחב כיסוי של מכפלת מרחבים המתקבל באופן טבעי הוא מכפלת כיסויים נתונים שלהם - ולכן מרחב כיסוי של הטורוס ה- $n$ ממדי הוא $\mathbb {R} ^{n}$ . בפרט, לטורוס יש מרחב כיסוי אוניברסלי כוויץ, ולכן זהו מרחב אספרי - מרחב לו רק חבורת הומוטופיה לא טריוויאלית מסדר ראשון.

חבורות ההומולוגיה

חבורת ההומולוגיה ה- $k$ של הטורוס ה- $n$ ממדי היא חבורה אבלית חופשית ב- ${n \choose k}$ יוצרים, כלומר $\mathbb {Z} ^{n \choose k}$ . בפרט, מאפיין אוילר הוא אפס.

כמשטח

הטורוס ה- $n$ ממדי הוא משטח קומפקטי סגור.

בכל חבורת לי קומפקטית וקשירה ניתן למצוא טורוס מממד מקסימלי.

חבורת מחלקות ההעתקות

לכל אוטומורפיזם $f:T^{n}\to T^{n}$ , מתאים אוטומורפיזם $f_{*}:\mathbb {Z} ^{n}\to \mathbb {Z} ^{n}$ - זוהי הפעלת הפונקטור של העתקות ממרחבים טופולוגיים להעתקות על החבורה היסודית.

המיפוי $f\mapsto f_{*}$ מגדיר הומומורפיזם חבורות $\operatorname {Aut} (T^{n})\to GL_{n}(\mathbb {Z} )$ . העתקה זו היא על (למשל במקרה ה-2 ממדי, המטריצות היוצרות ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0\\\pm 1&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&\pm 1\\0&1\end{pmatrix}}$ מתקבלות), והגרעין שלה הוא אוסף ההעתקות שאיזוטופיות להעתקת הזהות.

ולכן, חבורת מחלקות ההעתקות של הטורוס (ה-2 ממדי) היא $GL_{n}(\mathbb {Z} )$ , ושני הומיאומורפיזמים $h_{1},h_{2}\in \operatorname {Aut} (T^{n})$ איזוטופיים אם ורק אם הם הומוטופיים.

n-טורוס nT

דרך יותר אינטואיטיבית להכליל את הטורוס היא בעזרת ה- $n$ -טורוס: אינטואיטיבית, אם הטורוס הוא גלגל הצלה ליחיד, הכללה זו היא מספר גלגלי הצלה מחוברים לגלגל הצלה משפחתי אחד ארוך.

המרחב $nT$ הוא סכום קשיר של $n$ טורוסים $T=T^{2}$ . כלומר, מוסיפים טורוס לטורוס על ידי הדבקת שתי סביבות מעגליות בתוך הטורוסים, וחוזרים על התהליך מספר סופי של פעמים.

באופן זה מתקבל משטח דו־ממדי סגור (כלומר קומפקטי ובלי שפה); זהו משטח אוריינטבילי מגנוס $n$ , וכל משטח קומפקטי קשיר ואוריינטבילי מגנוס $n$ הומיאומורפי ל- $n$ -טורוס.