מרחב כיסוי

במתמטיקה ובמיוחד בטופולוגיה, מרחב כיסוי הוא מרחב טופולוגי C אשר "מכסה" מרחב טופולוגי אחר X באמצעות הומיאומורפיזם מקומי ועל $\,p:C\rightarrow X$ הנקרא העתקת כיסוי. מרחבי כיסוי נלמדים בטופולוגיה אלגברית, אך יש להם חשיבות גם בענפים נוספים במתמטיקה, כגון גאומטריה דיפרנציאלית, חבורות טופולוגיות ומשטחי רימן.

התורה של מרחבי כיסוי קשורה קשר הדוק לחבורה היסודית של מרחב.

הגדרה פורמלית

כיסוי סביבה על ידי יריעות

מרחב כיסוי של מרחב טופולוגי X הוא מרחב טופולוגי C ביחד עם פונקציה רציפה $p:C\rightarrow X$ על $X$, כך שלכל נקודה $x\in X$ קיימת סביבה פתוחה U כך ש- $p^{-1}(U)$ היא איחוד זר של קבוצות פתוחות ב-C, שכל אחת מהן הומיאומורפית ל-U באמצעות p. במילים אחרות, ניתן לרשום $p^{-1}(U)=\bigcup _{\alpha \in I}U_{\alpha }$ כאשר לכל $\alpha \in I$, הקבוצה $U_{\alpha }$ היא קבוצה פתוחה ב-C, והפונקציה $\ p|_{U_{\alpha }}:U_{\alpha }\rightarrow U$ היא הומיאומורפיזם.

ההעתקה p נקראת העתקת כיסוי, והמרחב X נקרא לעיתים קרובות הבסיס של הכיסוי. הקבוצות $U$ נקראות סביבות המכוסות באופן אחיד. סביבות המכוסות באופן אחיד יוצרות כיסוי פתוח של X. העותקים ההומיאומורפים ב-C של סביבה המכוסה באופן אחיד U נקראים יריעות (Sheets) מעל U.

אפשר לדמיין את C כמרחב ה"מרחף" מעל X: היריעות נמצאות מעל U, והמקורות השונים של x נמצאים בקו אנכי מעל x, אחד מעל השני.

מבנה

למרחבי כיסוי מבנה חשוב ובסיסי בטופולוגיה אלגברית, הדומה במובן מסוים למבנה של התאמת גלואה. מושג חשוב נוסף הוא מושג ההרמה, שיתואר מיד.

הרמות

המשפט הבסיסי ביותר הוא משפט ההרמה:

משפט: נניח $P:C\to X$ כיסוי.

• נניח $\gamma$ מסילה ב-$X$, ו-$x\in p^{-1}(\{\gamma (0)\})$. אזי קיימת ויחידה מסילה ${\hat {\gamma }}^{x}$ המקיימת ${\hat {\gamma }}^{x}(0)=x$ ו-$p\circ {\hat {\gamma }}^{x}=\gamma$. זוהי הרמה של העקומה $\gamma$ מ-$X$ ל-$C$ המתחילה ב-$x$.
• נניח ש-$\gamma ,\delta$ שתי עקומות הומוטופיות ביחס לקצוות (כלומר, ההומוטופיה קובעת את $\gamma (0),\gamma (1)$). אזי ניתן להרים את ההומוטופיה ל-$C$ כלומר העקומות $\ {\hat {\gamma }}^{x},{\hat {\delta }}^{x}$ הומוטופיות ביחס לקצוות, ובפרט מסתיימות באותה נקודה - ${\hat {\gamma }}^{x}(1)={\hat {\delta }}^{x}(1)$.

המסקנה המידית של המשפט היא עבור $X$ פשוט קשר:

משפט: נניח ש-$X$ פשוט קשר, ויהיו $x\in X,c\in C$. נניח $p:X\to C$ כיסוי. אזי המיפוי $F:\pi _{1}(C,c)\to p^{-1}(\{c\})$ המוגדרת על ידי $F(\phi )={\hat {\phi }}^{x}(1)$ מוגדרת היטב, ומהווה העתקה חח"ע ועל.

כלומר, יש התאמה בין נקודות על הסיב $p^{-1}(\{c\})$ לבין החבורה היסודית של $C$ בנקודה $c$. עם זאת, העתקה זו איננה מהווה תמיד הומומורפיזם חבורות. בכל זאת, במקרה שבו מוגדר על $p^{-1}(\{c\})$ מבנה של חבורה טופולוגית, ההעתקה אכן מהווה הומומורפיזם חבורות, ולכן זהו איזומורפיזם חבורות. בפרט, כך ניתן להוכיח שהחבורה היסודית של המעגל היא החבורה הציקלית האינסופית (ראו בדוגמאות).

התאמת מרחבי כיסוי ותתי חבורות

כעת נסקור תכונות של החבורה היסודית של מרחבי כיסוי של מרחב נתון.

משפט: נניח ש-$X,C$ קשירים מסילתית מקומית ופשוטי קשר מקומית, ו-$p:X\to C$ העתקת כיסוי. אזי בהומומורפיזם החבורות המושרה ממנה, $p_{*}:\pi _{1}(X)\to \pi _{1}(C)$, הנתון על ידי $p_{*}(\phi )=p\circ \phi$, מהווה מונומורפיזם חבורות.

כלומר, כל החבורות היסודיות של כל מרחבי כיסוי הן תתי חבורות של החבורה היסודית של מרחב הבסיס. למעשה, ההתאמה מלאה:

משפט: לכל תת-חבורה של $\pi _{1}(C)$ מתאים מרחב כיסוי יחיד עד כדי איזומורפיזם. כלומר, לכל תת-חבורה $H$ כנ"ל קיים מרחב כיסוי $X$ עבורו $p_{*}(\pi _{1}(X))=H$.

משפטים אלו נותנים התאמה מלאה בין מרחבי כיסוי של מרחב לבין תתי חבורות של החבורה היסודית שלו. זוהי התאמת גלואה - התאמה חד-חד-ערכית שהופכת סדר.

מרחב הכיסוי האוניברסלי

המרחב המתאים לחבורה הטריוויאלית נקרא מרחב כיסוי אוניברסלי של $C$. בשקילות, ניתן להגדיר אותו כמרחב פשוט קשר המהווה מרחב כיסוי של $C$. לפי האמור לעיל, הוא יחיד עד כדי איזומורפיזם.

שם זה איננו מקרי - מרחב הכיסוי האוניברסלי מקיים תכונה אוניברסלית, בדיוק לפי הבנייה - לכל מרחב כיסוי אחר $(E,e)$ והעתקת כיסוי $q:(E,e)\to (C,c)$, יש העתקה יחידה $s:(X,x)\to (E,e)$, כך ש- $p=q\circ s$. כלומר, זהו מרחב המכסה גם את כל המרחבים האחרים.

קיומו של מרחב כיסוי אוניברסלי לא מובטח תמיד. כאמור במשפט לעיל, אם המרחבים פשוטי קשר מקומית וקשירים מסילתית מקומית, מרחב כיסוי מתאים לכל חבורה, ובפרט קיים מרחב כיסוי אוניברסלי. כאשר המרחבים לא פשוטי קשר מקומית, לא בהכרח קיים מרחב כיסוי אוניברסלי - למשל, למכפלה אינסופית (בת מנייה) של מעגלים אין מרחב כיסוי אוניברסלי.

עם זאת, כאשר המרחבים לא פשוטי קשר מקומית ניתן לקבל תוצאה חלשה יותר - בהינתן מרחב כיסוי אוניברסלי, אז קיים מרחב כיסוי המתאים לכל תת-חבורה אחרת. לכן, למרחבי כיסוי אוניברסליים תפקיד מיוחד בתאוריה.

משפט ההרמה המוכלל

משפט ההרמה המוכלל

בהינתן כיסוי $p:(X,x)\to (C,c)$, והעתקה רציפה $f:(A,a)\to (C,c)$. נרצה להבין מתי יש העתקה רציפה ${\hat {f}}:(A,a)\to (X,x)$ כך שמתקיים $p\circ {\hat {f}}=f$, כלומר מתי יש הרמה של ההעתקה $f$ להעתקה שמסתדרת עם הכיסוי. התשובה נתונה במשפט הבא:

משפט: יהיו $X,C,A$ מרחבים קשירים מסילתית, ו-$X$ קשיר מסילתית מקומית. נניח $p:(X,x)\to (C,c)$ כיסוי ו-$f:(A,a)\to (C,c)$ העתקה רציפה. אזי קיימת הרמה ${\hat {f}}:(A,a)\to (X,x)$ כך שמתקיים $p\circ {\hat {f}}=f$ אם ורק אם $f_{*}(\pi _{1}(A,a))\subseteq p_{*}(\pi _{1}(X,x))$, (כאשר $f_{*}$ הוגדר לעיל).

בפרט, כאשר $A$ פשוט קשר, נקבל ש-$\pi _{1}(A,a)=\{1\}$ ולכן הרמה כזו קיימת תמיד.

באנליזה מרוכבת

ניתן להשתמש במשפט ההרמה המוכלל לעיל כדי למצוא תנאי הכרחי ומספיק לקיומם של שורש $n$-י אנליטי ו/או לוגריתם אנליטי של פונקציה הולומורפית באנליזה מרוכבת.

קיומו של לוגריתם אנליטי לפונקציה הולומורפית $f:\Omega \to \mathbb {C} -\{0\}$ שקול לכך שבדיאגרמה הבאה תהיה הרמה:

הרמה ללוגריתם

ולפי המשפט, זה שקול לכך ש-$f_{*}(\pi _{1}(\Omega ))\subseteq {e^{z}}_{*}(\pi _{1}(\mathbb {C} ))=\{1\}$, כלומר קיומו של לוגריתם אנליטי שקול לכך ש-$f_{*}(\pi _{1}(\Omega ))=\{1\}$, וזה נכון אם ורק אם האינדקס של כל מסילה סגורה בתחום הוא אפס.

לסיכום, לפונקציה קיים לוגריתם טבעי אם ורק אם ${\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{{\frac {f'(z)}{f(z)}}dz}=0$ לכל עקומה סגורה ורציפה $\gamma$ בתחום.

באופן דומה, לפונקציה קיים שורש $n$-י אנליטי אם ורק אם ${\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{{\frac {f'(z)}{f(z)}}dz}\in n\mathbb {Z}$ לכל עקומה סגורה ורציפה $\gamma$ בתחום (שכן כעת ${z^{n}}_{*}(\pi _{1}(\mathbb {C} ^{\times }))=n\mathbb {Z}$).

בפועל, אין צורך לבדוק את נכונות התנאים לכל עקומה סגורה - מספיק למצוא מספר עקומות (לרוב סופי) היוצרות את החבורה, ולבדוק זאת עליהן.

אם לפונקציה יש אפסים המהווים קבוצה מבודדת, ניתן להשתמש בטענות הנ"ל כאשר כעת בוחרים את $\Omega$ להיות סביבה שלא מכילה אפסים. ניתן להסיק קיומו של שורש $n$-י אנליטי על כל התחום מקיומו על הקבוצה ללא האפסים, אם ורק אם כל שורש של הפונקציה הוא מסדר המתחלק ב-$n$.

דוגמאות

דוגמאות בסיסיות

• יהי $S^{1}$ מעגל היחידה. נגדיר העתקה $p:\mathbb {R} \rightarrow S^{1}$ על ידי $p(t)=(sin(t),cos(t))$. העתקה זו מהווה כיסוי של $S^{1}$, כך שכל נקודה מכוסה על ידי אינסוף נקודות. זהו מרחב כיסוי אוניברסלי של המעגל, ובעזרתו ניתן לחשב את החבורה היסודית - לפי האמור לעיל, יש התאמה בין הסיב $p^{-1}(\{c\})$ של כל נקודה $c\in S^{1}$ לחבורה היסודית $\pi _{1}(S^{1},c)$. במקרה שלנו הסיב הוא $\mathbb {Z}$ ויש עליו מבנה של חבורה טופולוגית, ולכן זהו איזומורפיזם חבורות. לכן $\pi _{1}(S^{1},c)\cong \mathbb {Z}$
• עבור המישור המרוכב אשר הסירו ממנו את הראשית $\mathbb {C} ^{\times }$ ועבור מספר טבעי $n$ נגדיר העתקה $p:\mathbb {C} ^{\times }\to \mathbb {C} ^{\times }$ על ידי $p(z)=z^{n}$. זהו כיסוי של מרחב זה, כך שכל נקודה מכוסה על ידי $n$ נקודות שונות (מכיוון שלכל מספר מרוכב השונה מ-0 יש בדיוק $n$ שורשים שונים).
• אם G חבורה טופולוגית דיסקרטית הפועלת על מרחב טופולוגי X, אז ההעתקה מ-X על X/G היא העתקת כיסוי אם המייצב של כל נקודה הוא טריוויאלי, ולכל נקודה x יש סביבה שאין בה נקודות של המסלול פרט ל-x עצמה.

משפט נילסן-שרייר

ערך מורחב – משפט נילסן-שרייר

מהתאוריה של מרחבי כיסוי ניתן גם להסיק על חבורות - ניתן להוכיח למשל שתת-חבורה של חבורה חופשית ב- $n$ יוצרים $F_{n}$ היא חופשית (אולי מאינדקס אינסופי). כדי לעשות זאת, ניקח את המרחב $C$ להיות זר עם $n$ עלים (כלומר, המרחב שמתקבל על ידי הלחם של $n$ מעגלים בנקודה משותפת). החבורה היסודית שלו היא $F_{n}$. אם $H\subseteq F_{n}$ אז לפי האמור לעיל, מתאים לה מרחב כיסוי של $C$. אך מרחב כיסוי של גרף הוא גרף, ולכל גרף חבורה יסודית חופשית - לכן החבורה היא חופשית. במקרה והאינדקס $k$ סופי, מתקיים $H\cong F_{kn-k+1}$ (ראו גם על מרחבי CW בערך על משפט ואן קמפן).

באנליזה מרוכבת

לפי האמור לעיל על מציאת שורש/לוגריתם אנליטיים, נביט במספר דוגמאות.

• לפונקציה $f:D_{4}^{c}=\{z:|z|>4\}\to \mathbb {C} ^{\times }$ הנתונה על ידי $f(z)=z^{2}-4z$ יש שורש אנליטי בתחום, שכן מתקיים לפי משפט השאריות:

${\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z|=5}{{\frac {f'(z)}{f(z)}}dz}={\frac {2}{2\pi i}}\int _{|z|=5}{{\frac {z-2}{z^{2}-4z}}dz}=2({\frac {z-2}{z}}\mid _{z=4}+{\frac {z-2}{z-4}}\mid _{z=0})=2\in 2\mathbb {Z}$

וזה מספיק, כי בדקנו את התנאי הנ"ל על יוצר של החבורה היסודית, ולכן הוא נכון לכל איבר בחבורה היסודית. ניתן גם להסיק שאין לה אף שורש אי זוגי, ולכן בפרט אין לה לוגריתם אנליטי בתחום.

• הפונקציה $f:\mathbb {C} ^{\times }\to \mathbb {C} ^{\times }$ הנתונה על ידי $f(z)=z^{2}$ היא דוגמה לפונקציה לה קיים שורש אנליטי (והוא ${\hat {f}}(z)=z$), אך לא קיים לה לוגריתם דיסקרטי, שכן ${\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z|=1}{{\frac {f'(z)}{f(z)}}dz}=\int _{|z|=1}{{\frac {2}{z}}dz}=2\neq 0$.

קישורים חיצוניים

• מרחב כיסוי, באתר MathWorld (באנגלית)