כפל

כפל הוא פעולה בינארית המוגדרת על קבוצות של מספרים, או על מבנים כלליים יותר. כפל הוא אחד מארבע פעולות החשבון (יחד עם חיבור, חיסור, וחילוק). כמה מהתכונות הבסיסיות של כפל של מספרים משמשות מודל אקסיומטי למבנים אלגבריים מרכזיים, כמו חבורות או חוגים.

3 × 4 = 12, כך ש-12 נקודות מסודרות בשלוש שורות ובארבעה טורים.

כפל של מספרים טבעיים הוא למעשה פעולת חיבור חוזרת: "a כפול b" הוא a פעמים b, כלומר b ועוד b ועוד b וכן הלאה, a פעמים. לדוגמה, 4 כפול 3 הוא הסכום $3+3+3+3=12\!\,$. במערכת פאנו המייצגת את המספרים הטבעיים, הכפל מוגדר באינדוקציה בעזרת פעולת החיבור: $\ a\cdot 1=a$, ו- $\ a\cdot (b+1)=a\cdot b+a$.

את פעולת הכפל של המספרים הטבעיים אפשר להכליל למערכות מספרים גדולות יותר: במספרים הרציונליים הכפל של השברים $\ {\frac {a}{b}}$ ו- $\ {\frac {c}{d}}$ הוא השבר $\ {\frac {a\cdot c}{b\cdot d}}$. במספרים המרוכבים הכפל נובע מן הדיסטריבוטיביות ביחס לחיבור ומההנחה ש-$\ i\cdot i=-1$: $\ (a+bi)\cdot (c+di)=(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)i$.

במבנים אלגבריים שיש בהם פעולה אחת, כמו חבורה למחצה, מונויד או חבורה, מקובל לקרוא לפעולה הבינארית "כפל" גם אם אין לה דבר עם פעולת הכפל של מספרים. בדומה לזה, במבנים שיש בהם שתי פעולות, כמו חוג או שדה, מקובל לקרוא לפעולות "חיבור" ו"כפל". אכן, כמעט כל המבנים האלה נוצרו כמודלים לטיפול בקבוצות מסוימות של מספרים, ולכן נשמר שמן המקורי של הפעולות.

השטח של מלבן מוגדר כמכפלת האורך שלו ברוחב. באותו אופן אפשר להגדיר גם נפח של תיבה (מכפלת האורך, הרוחב והגובה), ואף נפחים בממימד גבוה יותר.

המספרים שמוכפלים נקראים "גורמים" או "מספרים נכפלים". כשכופלים, המספר המוכפל נקרא "מספר נכפל" והמספר של הכפולה נקרא "כופל" (למשל 4 כפול 3, ה-4 נקרא מוכפל וה-3 נקרא כופל). באלגברה, המספר המכפיל משתנה (למשל 3 ב-3xy²) נקרא מקדם. הפעולה ההפוכה לכפל היא החילוק: אומרים ש-"a לחלק ל-b הם c" אם b כפול c שווה ל-a.

סימון ומונחים

סימנו של הכפל

את הכפל מסמנים בסימן "×" או בסימן נקודה בין הגורמים המוכפלים. לדוגמה, $2\times 3=6$ (במילים, "שלוש פעמים 2 שווה ל-6"). הכפל קודם לחיבור ולחיסור בסדר הפעולות: $\ a\times b+c=(a\times b)+c$. הוא אסוציאטיבי, ולכן אין צורך להנחות באמצעות סוגריים בביטוי שיש בו כמה פעולות כפל: $\,1\times 2\times 3\times 4\times 5=120$. באלגברה משמיטים לפעמים את סימן הכפל כליל, ורישום משתנים בסמיכות מייצג כפל שלהם (למשל XY שווה ל-X פעמים Y, ו-5X שווה לחמש פעמים X).

בשפות תכנות רבות מסומנת פעולת הכפל בכוכבית (כמו ב 2*5) מכיוון שהיא מופיעה בכל סוגי לוחות המקשים. החלה בכך שפת התכנות FORTRAN.

הסימון לכפל גורמים רבים

כפל סדרתי של איברים מסומן בסימן המכפלה, שהוא האות Π (פאי) גדולה באלפבית היווני: $\prod _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \,\,\cdots \,\,\cdot x_{n-1}\cdot x_{n}.$. הציון התחתי (במקרה זה, האות i) מציין פרמטר, המופיע עם הגבול התחתי (m), ואילו הכתב העילי מציין את הגבול העליון (n). ערך הביטוי הוא המכפלה של הגורמים $\ x_{i}$ עבור ערכי הפרמטר מן הגבול התחתון לעליון. לדוגמה, $\prod _{i=2}^{6}\left(1+{1 \over i}\right)=\left(1+{1 \over 2}\right)\cdot \left(1+{1 \over 3}\right)\cdot \left(1+{1 \over 4}\right)\cdot \left(1+{1 \over 5}\right)\cdot \left(1+{1 \over 6}\right)={7 \over 2}.$. במקרה ש-m = n, התוצאה של המכפלה היא x_m. אם m > n, זוהי מכפלה ריקה, ומוסכם שערכה 1.

בעוד שמכפלות סופיות אפשר להגדיר באינדוקציה, המכפלה האינסופית (שבה הגבול העליון, למשל, הוא אינסוף), אינה מוגדרת בכל מקרה. כאשר מכפילים מספרים ממשיים, המכפלה האינסופית מוגדרת כגבול של סדרת המכפלות הסופיות, כאשר n שואף לאינסוף. כלומר, $\prod _{i=m}^{\infty }x_{i}=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=m}^{n}x_{i}.$.

תכונות של פעולת הכפל

בכל המבנים שבהם מוגדרת פעולת כפל, מניחים שהיא סגורה, כלומר, הכפל של שני איברים גם הוא איבר מוגדר היטב בקבוצה. מלבד זה, הכפל מקיים תכונות נוספות, בהתאם למבנה שעליו מדובר.

• בכל חבורה למחצה מתקיימת תכונת האסוציאטיביות: $(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)$.
• במונויד יש איבר יחידה: איבר e, המקיים $\,x\cdot e=e\cdot x=x$.
• בחבורה, לכל x יש איבר הופכי y, המקיים $\ x\cdot y=y\cdot x=e$.
• בחבורה אבלית, סדר הגורמים אינו חשוב: $x\cdot y=y\cdot x$.
• במונויד שיש בו איבר אפס 0, האיבר הזה מקיים $\ x\cdot 0=0\cdot x=0$ לכל x; אפס הוא איבר אפס של המספרים הממשיים.
• בכל חוג מתקיים חוק הפילוג: $x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$ (וכן משמאל). כמו כן, $\,(-1)\cdot x=-x$, וכן $(-1)\cdot (-1)=1$.
• בשדה סדור, מכפלה של איברים חיוביים היא איבר חיובי; הכפל באיבר חיובי שומר על יחס הסדר, בעוד שכפל באיבר שלילי הופכת את הסדר.

לוח הכפל

הגדרה נאיבית של פעולת הכפל נעשית באמצעות לוח הכפל, שהוא טבלה המציגה את תוצאותיה של פעולת הכפל, הקרויה מכפלה, על כל שני מספרים אפשריים שכל אחד מהם בן ספרה אחת.

לוח הכפל
9	8	7	6	5	4	3	2	1	0	$\!\,\times$
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
9	8	7	6	5	4	3	2	1	0	1
18	16	14	12	10	8	6	4	2	0	2
27	24	21	18	15	12	9	6	3	0	3
36	32	28	24	20	16	12	8	4	0	4
45	40	35	30	25	20	15	10	5	0	5
54	48	42	36	30	24	18	12	6	0	6
63	56	49	42	35	28	21	14	7	0	7
72	64	56	48	40	32	24	16	8	0	8
81	72	63	54	45	36	27	18	9	0	9

הערה: לוח הכפל המוכר יותר (שחיבורו מיוחס לפיתגורס) עוסק במכפלות בתחום 1-10, ולא בתחום 0-9 כפי שמוצג כאן. אין טעם טכני בהצגת מכפלות של 10, משום שאלה הן כבר מכפלות של מספר בן שתי ספרות, שאותן ניתן לבצע לפי לוח הכפל המופיע כאן, והכללים לכפל של מספרים בני יותר מספרה אחת.

ראו גם

• מכפלה וקטורית
• מכפלה סקלרית
• כפל מטריצות
• מכפלה טנזורית
• מכפלה קרטזית
• מבחן בדיקה של מכפלות בעזרת סכום ספרות סופי
• עצמות נפייר