מישור (גאומטריה) – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה

→ העריכה הקודמת העריכה הבאה ←

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

חזותיקוד ויקי

בשורה

גרסה מ־19:06, 18 באוגוסט 2015

בגאומטריה, מישור הוא מושג יסודי, המשקף את העצם הדו-ממדי הבסיסי. ניתן לדמיין מישור כפיסת נייר אינסופית לכל הכיוונים.

חלק גדול מן הגאומטריה, הטריגונומטריה ותורת הגרפים הוא דו-ממדי, כלומר, עוסק במישור.

המישור הוא מושג יסודי בגאומטריה האוקלידית וגם בגאומטריות אחרות. בהמשך מדובר במישור במסגרת הגאומטריה האוקלידית.

בהינתן מישור, ניתן להשליך עליו מערכת צירים קרטזית כדי להיות מסוגלים לציין כל נקודה במישור בעזרת שני ערכים - הקוארדינטות של הנקודה. ניתן לעשות דבר דומה עם מערכת צירים קוטבית, שבה כל נקודה מזוהה על ידי שני ערכים - זווית ומרחק מהמרכז.

הצגות

הצגה אלגברית

במערכת צירים תלת ממדית $\ z$ - $\ y$ - $\ x$ , אפשר להגדיר מישור כמקום הגאומטרי של כל פתרונות המשוואה $\ ax+by+cz+d=0$ , כאשר $\ a$ , $\ b$ , $\ c$ ו- $\ d$ הם מספרים ממשיים ולא כל המקדמים שווים לאפס. אפשר לכתוב גם $\ \mathbf {a} \cdot \mathbf {x} +d=0$ , כאשר $\ \mathbf {a}$ הוא הווקטור $\ (a,b,c)$ (שלמעשה מהווה הנורמל של המישור) ו- $\ \mathbf {x}$ הוא הווקטור $\ (x,y,z)$ .

הצגה פרמטרית

אפשר לתאר מישור גם באופן פרמטרי (הגדרה כזאת טובה לכל מרחב n ממדי) כקבוצת כל הנקודות מהמשוואה $\ \mathbf {x} =\mathbf {u} +t\mathbf {v} +s\mathbf {w}$ כש- $\ t$ ו- $\ s$ הם סקלרים היכולים לקבל את כל ערכי הממשיים, $\ \mathbf {u}$ הוא וקטור הקובע נקודה על המישור, ו- $\ \mathbf {v}$ ו- $\ \mathbf {w}$ הם וקטורים הפורשים את המישור (בתנאי שאין סקלר $\ r$ המקיים $\ r\mathbf {w} =\mathbf {v}$ , כי אחרת המשוואה תתאר ישר ולא מישור).

הצגות אלה מאפשרות לחשב בקלות תכונות של המישורים המתוארים, בדומה למצב בישרים. לדוגמה, המרחק של נקודה $\ (x_{0},y_{0},z_{0})$ מן המישור $\ ax+by+cz+d=0$ הוא $\ {\frac {ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$ .

דרך נוספת להצגת מישור במרחב $\ n$ ממדי היא כצירוף של $\ n-2$ משוואות לינאריות.

דרכי הגדרה

ניתן להגדיר מישור מסוים על ידי הצירופים הבאים:

שלוש נקודות שאינן על ישר אחד
ישר ונקודה שאינה עליו
נקודה וישר שהוא הנורמל למישור
שני ישרים הנחתכים בנקודה או המקבילים זה לזה

במרחב תלת ממדי, שני מישורים יכולים להיות מקבילים זה לזה או לחתוך זה את זה בישר. הזווית בין שני המישורים נקראת זווית דו-מישור. ישר שאינו מקביל למישור נתון חותך את המישור הזה בנקודה אחת.

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 ב[[גאומטריה]], '''מישור''' הוא [[מושג יסודי]], המשקף את העצם הדו-ממדי הבסיסי. ניתן לדמיין מישור כפיסת נייר אינסופית לכל הכיוונים.
-[[קובץ:PlaneIntersection.png|שמאל|ממוזער|250px|שני מישורים החותכים זה את זה]]
+[[קובץ:PlaneIntersection.png|שמאל|ממוזער|250px|שני מישורים ה[[חיתוך (גאומטריה)|חותכים]] זה את זה]]
 חלק גדול מן ה[[גאומטריה]], ה[[טריגונומטריה]] ו[[תורת הגרפים]] הוא דו-ממדי, כלומר, עוסק במישור.
@@ שורה 13: / שורה 13: @@
 ===הצגה פרמטרית===
 [[קובץ:PlaneR.jpg|שמאל|ממוזער|250px|ב[[צירוף לינארי|הצגה פרמטרית]] מגדירים מישור באמצעות [[נקודה (גאומטריה)|נקודה]] על המישור ו[[צירוף לינארי]] של שני [[וקטור (אלגברה)|וקטור]]ים [[קבוצה פורשת|הפורשים את המישור]]]]
-אפשר לתאר מישור גם באופן פרמטרי (הגדרה כזאת טובה לכל מרחב n ממדי) כקבוצת כל הנקודות מהמשוואה <math>\ \mathbf{x}=\mathbf{u}+t\mathbf{v}+s\mathbf{w} </math> כש-<math>\ t</math> ו-<math>\ s</math> הם [[סקלר (מתמטיקה)|סקלרים]] היכולים לקבל את כל ערכי הממשיים, <math>\ \mathbf{u} </math> הוא [[וקטור (אלגברה)|וקטור]] הקובע נקודה על המישור, ו-<math>\ \mathbf{v} </math> ו-<math>\ \mathbf{w} </math> הם וקטורים הפורשים את המישור (בתנאי שאין סקלר <math>\ r</math> המקיים <math>\ r\mathbf{w}=\mathbf{v} </math>, כי אחרת המשוואה תתאר ישר ולא מישור).
+אפשר לתאר מישור גם באופן פרמטרי (הגדרה כזאת טובה לכל מרחב n ממדי) כקבוצת כל הנקודות מהמשוואה <math>\ \mathbf{x}=\mathbf{u}+t\mathbf{v}+s\mathbf{w} </math> כש-<math>\ t</math> ו-<math>\ s</math> הם [[סקלר (מתמטיקה)|סקלרים]] היכולים לקבל את כל ערכי הממשיים, <math>\ \mathbf{u} </math> הוא [[וקטור (אלגברה)|וקטור]] הקובע נקודה על המישור, ו-<math>\ \mathbf{v} </math> ו-<math>\ \mathbf{w} </math> הם וקטורים הפורשים את המישור (בתנאי שאין סקלר <math>\ r</math> המקיים <math>\ r\mathbf{w}=\mathbf{v} </math>, כי אחרת המשוואה תתאר [[ישר]] ולא מישור).
 הצגות אלה מאפשרות לחשב בקלות תכונות של המישורים המתוארים, בדומה למצב ב[[ישר]]ים. לדוגמה, המרחק של נקודה <math>\ (x_0,y_0,z_0)</math> מן המישור <math>\ ax+by+cz+d=0</math> הוא <math>\ \frac{ax_0+by_0+cz_0+d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math>.
@@ שורה 26: / שורה 26: @@
 * שני ישרים הנחתכים בנקודה או ה[[ישרים מקבילים|מקבילים]] זה לזה
-במרחב תלת ממדי, שני מישורים יכולים להיות מקבילים זה לזה או לחתוך זה את זה בישר. הזווית בין שני המישורים נקראת [[זווית דו-מישור]]. ישר שאינו מקביל למישור נתון חותך את המישור הזה בנקודה אחת.
+במרחב תלת ממדי, שני מישורים יכולים להיות מקבילים זה לזה או [[חיתוך (גאומטריה)|לחתוך]] זה את זה בישר. הזווית בין שני המישורים נקראת [[זווית דו-מישור]]. ישר שאינו מקביל למישור נתון חותך את המישור הזה בנקודה אחת.