מרחב נורמי – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־13:05, 7 באפריל 2021

מרחב נורמי הוא מרחב וקטורי שעליו מוגדרת נורמה. הנורמה היא פונקציה המקבלת וקטור ומחזירה מספר ממשי, ומצייתת לשלוש אקסיומות: היא חיובית ומתאפסת רק באפס; היא הומוגנית; והיא מקיימת את אי-שוויון המשולש.

מרחב נורמי שהוא מרחב שלם מכונה "מרחב בנך". כל מרחב נורמי ניתן לשיכון צפוף בתוך מרחב בנך.

כל מרחב מכפלה פנימית הוא נורמי, על ידי הנורמה המושרית $\ \|{\vec {V}}\|={\sqrt {\langle {\vec {v}},{\vec {v}}\rangle }}$ .

מרחב נורמי הוא בפרט מרחב מטרי, לפי המטריקה $\ d(x,y)=\|x-y\|$ . מכיוון שכך, מרחב נורמי הוא מרחב טופולוגי (עם הטופולוגיה הנוצרת על ידי הכדורים הפתוחים במטריקה).

שקילות של נורמות

שתי נורמות על אותו מרחב הן שקולות אם קיימים קבועים ממשיים ואי-שליליים $c,C$ , כך שלכל ${\vec {v}}\in V$ מתקיים $c\cdot \|{\vec {v}}\|_{1}\leq \|{\vec {v}}\|_{2}\leq C\cdot \|{\vec {v}}\|_{1}$ . במקרה זה הנורמות משרות את אותה טופולוגיה.

במרחב נורמי בעל ממד סופי כל הנורמות שקולות זו לזו.

קישורים חיצוניים

מרחב נורמי, באתר MathWorld (באנגלית)

Equivalence of Norms in Finite Dimension, Colorado State University

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-'''מרחב נורמי''' הוא [[מרחב וקטורי]] שעליו מוגדרת '''[[נורמה (אנליזה)|נורמה]]'''. הנורמה היא פונקציה המקבלת [[וקטור (אלגברה)|וקטור]] ומחזירה מספר ממשי, והיא מהווה הכללה של מושג ה[[אורך]] או הגודל של וקטור.
+'''מרחב נורמי''' הוא [[מרחב וקטורי]] שעליו מוגדרת '''[[נורמה (אנליזה)|נורמה]]'''. הנורמה היא פונקציה המקבלת [[וקטור (אלגברה)|וקטור]] ומחזירה מספר ממשי, ומצייתת לשלוש אקסיומות: היא חיובית ומתאפסת רק באפס; היא הומוגנית; והיא מקיימת את [[אי-שוויון המשולש]].
-מרחב נורמי שהוא [[מרחב שלם]] מכונה "[[מרחב בנך]]". כל מרחב נורמי ניתן לשיכון בתוך מרחב בנך מתאים לו, המכונה "[[מרחב השלמה]]".
+מרחב נורמי שהוא [[מרחב שלם]] מכונה "[[מרחב בנך]]". כל מרחב נורמי ניתן לשיכון צפוף בתוך מרחב בנך.
-כל [[מרחב מכפלה פנימית]] הוא בפרט גם מרחב נורמי, כאשר המכפלה פנימית משרה נורמה טבעית באופן הבא: <math>\ \| \vec{V} \| = \sqrt{ \lang \vec{v} , \vec{v} \rang}</math> . מרחב נורמי כזה נקרא "[[מרחב אוקלידי]]", שכן נורמה המושרית ממכפלה פנימית זו מגדירה את מושג ה[[אורך]] ב[[גאומטריה אוקלידית]].
+כל [[מרחב מכפלה פנימית]] הוא נורמי, על ידי הנורמה המושרית <math>\ \| \vec{V} \| = \sqrt{ \lang \vec{v} , \vec{v} \rang}</math>.
-מרחב נורמי הוא בפרט [[מרחב מטרי]], כאשר הנורמה משרה מטריקה טבעית באופן הבא: <math>\ d(x,y) = \| x - y \|</math>. בפרט גם זהו [[מרחב טופולוגי]] טבעי (ביחס ל[[בסיס (טופולוגיה)|בסיס]] הכדורים הפתוחים במטריקה).
+מרחב נורמי הוא בפרט [[מרחב מטרי]], לפי המטריקה <math>\ d(x,y) = \| x - y \|</math>. מכיוון שכך, מרחב נורמי הוא [[מרחב טופולוגי]] (עם הטופולוגיה הנוצרת על ידי הכדורים הפתוחים במטריקה).
+==שקילות של נורמות==
-==מרחבים נורמיים בעלי ממד סופי==
-ידוע כי במרחב נורמי <math>V</math> בעל ממד סופי כל הנורמות '''שקולות'''. כלומר לכל זוג נורמות <math>\| \cdot \|_1 ,  \| \cdot \|_2</math> קיימים קבועים ממשיים ואי-שליליים <math>c,C</math>, כך שלכל <math>\vec v \in V</math> מתקיים <math>c \cdot \| \vec v \|_1 \leq \| \vec v \|_2 \leq C \cdot \| \vec v \|_1</math>.
+שתי נורמות על אותו מרחב הן '''שקולות''' אם קיימים קבועים ממשיים ואי-שליליים <math>c,C</math>, כך שלכל <math>\vec v \in V</math> מתקיים <math>c \cdot \| \vec v \|_1 \leq \| \vec v \|_2 \leq C \cdot \| \vec v \|_1</math>. במקרה זה הנורמות משרות את אותה טופולוגיה.
+במרחב נורמי בעל ממד סופי כל הנורמות שקולות זו לזו.
-כדי להראות זאת, מספיק להראות שכל הנורמות שקולות ל[[הנורמה האוקלידית|נורמה האוקלידית]]: <math>\| \vec v \| = \| (v_1,...,v_n) \| = \sqrt{\sum_{i=1}^n{\left| v_i \right|^2}}</math>.
-ניתן להראות כי השקילות של נורמה כלשהי <math>\| \cdot \|^*</math> לנורמה האוקלידית <math>\| \cdot \|</math> מתקבלת על ידי <math>c \cdot \| \vec v \| \leq \| \vec v \|^* \leq C \cdot \| \vec v \|</math> כאשר את הקבועים <math>c,C</math> ניתן לבחור באופן הבא:
-* קביעת <math>C</math>: קובעים למרחב <math>V</math> בסיס כלשהו <math>\left\{ \rho_1,...,\rho_n \right\} </math>, ומגדירים <math>C \equiv \sqrt{\sum_{i=1}^n{\| \rho_i \|^2}} </math>.
-* קביעת <math>c</math>: מגדירים אופרטור <math>f(u) = \left\| \sum_{i=1}^n u_i \cdot \rho_i \right\|</math> על מעגל היחידה (כלומר לכל וקטור <math>u</math> המקיים <math>\| u \| = 1</math>). מקומפקטיות [[מעגל היחידה]] ורציפות האופרטור <math>f</math> נובע שמתקבל מינימום עבור איזשהו <math>u_{\text{min}}</math>, ומגדירים <math>c \equiv f(u_{\text{min}})</math>.
 ==קישורים חיצוניים==