משפט היחידות (אנליזה מרוכבת)

באנליזה מרוכבת, משפט היחידוּת (או משפט הזהות) קובע שפונקציה הולומורפית נקבעת בכל תחומה על פי ערכיה בקבוצה קטנה יחסית של נקודות.

ניסוח פורמלי

יהיו $f$ ו-$g$ פונקציות הולומורפיות המוגדרות בקבוצה קשירה ופתוחה $D$, ותהי $A\subseteq D$ קבוצה בעלת נקודת הצטברות ב-$D$ כך ש-$f(z)=g(z)$ לכל $z\in A$, אזי $f(z)=g(z)$ לכל $z\in D$.

הערות

• התנאי של-$A$ תהיה נקודת הצטברות ב-$D$ הכרחי. הפונקציות $f(z)=\sin(1/z)$ ו-$g(z)=0$ הן שתי פונקציות שונות שהולומורפיות במישור הנקוב $D=\mathbb {C} \setminus \{0\}$, ומתאפסות בקבוצה $A=\{1/n\pi :n\in \mathbb {Z} \}$ שנקודת ההצטברות היחידה שלה היא 0.
• האנלוג הממשי של המשפט אינו נכון. $f(x)=x^{3}$ ו-$g(x)=|x^{3}|$ הן פונקציות שונות הגזירות בכל הישר הממשי ומזדהות בקטע $[0,\infty )$. על כן משפט היחידות מחזק את ההבנה שגזירות במובן המרוכב היא תנאי חזק בהרבה מגזירות במובן הממשי.

הוכחה

נקדים להוכחת המשפט שלוש למות שימושיות.

למות

תהי $f$ פונקציה הולומורפית המוגדרת בקבוצה פתוחה $D$. תהי $S=\{z\in D:f(z)=0\}$ קבוצת האפסים של $f$. תהי $S'$ הקבוצה הנגזרת של $S$ ב-$D$ (קבוצת כל נקודות ההצטברות שלה ב-$D$). שלוש הלמות הבאות מתקיימות באופן טריוויאלי אם $S'$ ריקה, ולכן נניח שאינה כזו.

• למה 1 - $S'\subseteq S$:

יהי $a\in S'$. $a$ נקודת הצטברות של $S$ ולכן קיימת סדרה $\{a_{n}\}_{n}$ כך שלכל n, $a_{n}\in S$, וכן $a=\lim _{n\to \infty }a_{n}$. $f$ רציפה ולכן $f(a)=\lim _{n\to \infty }f(a_{n})=\lim _{n\to \infty }0=0$. ומכאן ש-$a\in S$.

• למה 2 - $S'$ קבוצה סגורה:

תהי $a$ נקודת הצטברות של $S'$. לפי למה 1 $S'\subseteq S$, ולכן $a$ נקודת הצטברות של $S$, כלומר $a\in S'$. $S'$ מכילה את כל נקודות ההצטברות שלה ולכן היא סגורה.

• למה 3 - $S'$ קבוצה פתוחה:

יהי $a\in S'$. עלינו להוכיח כי קיימת סביבה של $a$ המוכלת ב-$S'$. מההולומורפיות של $f$ ב-$D$ נובע כי ניתן לפתח את $f$ לטור חזקות בעיגול $U$ סביב $a$:

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}$

נניח על דרך השלילה כי לא כל המקדמים בטור הם 0. משמע קיים $m$ טבעי קטן ביותר כך ש-$a_{m}\neq 0$. נסמן:

$h(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{m+n}(z-a)^{n}$

$h$ מתכנס ב-$U$ לפי מבחן ההשוואה עם $f^{(m)}$. $h(a)=a_{m}\neq 0$. מכיוון ש-$h$ רציפה, קיימת סביבה $V\subseteq U$ של $a$ כך שלכל $z\in V$ מתקיים $h(z)\neq 0$. על כן לכל $z\in V\setminus \{a\}$ מתקיים:

$f(z)=(z-a)^{m}h(z)\neq 0$

ולכן $a$ נקודה מבודדת ב-$S$ בסתירה להגדרת $S'$. על כן הנחת השלילה שגויה ו-$a_{n}=0$ לכל $n$ טבעי. מכאן שלכל $z\in U$ מתקיים $f(z)=0$, ולכן $U\subseteq S$. אולם בעיגול כל נקודה היא נקודת הצטברות ולכן $U\subseteq S'$.

הוכחת משפט היחידות

נגדיר $S=\{z\in D:f(z)=g(z)\}=\{z\in D:(f-g)(z)=0\}$. לפי למה 2 ולמה 3 $S'$ היא קבוצה פתוחה וסגורה. מכיוון ש-$D$ קבוצה קשירה, מתקיים $S'=\emptyset$ או $S'=D$. אולם $A'\subseteq S'$ ולפי הנתון $A'$ אינה ריקה. מכאן ש-$S'=D$, ולכן לפי למה 1 $S=D$. משמע $f(z)=g(z)$ לכל $z\in D$.

מסקנות

• יהיו $f$ ו-$g$ פונקציות הולומורפיות המוגדרות בקבוצה קשירה ופתוחה $D$, ותהי נקודה $a$ ב-$D$ כך שלכל $n$ טבעי $f^{(n)}(a)=g^{(n)}(a)$, אזי $f(z)=g(z)$ לכל $z\in D$. זאת מכיוון שלשתי הפונקציות אותו טור טיילור סביב $a$, ולכן הן מזדהות בעיגול סביב $a$.

• כל אפס של פונקציה הולומורפית שאינה פונקציית האפס הוא אפס מבודד (קיימת לו סביבה נקובה שאין בה אפסים). אחרת לפי עקרון היחידות זו פונקציית האפס.
  • לפונקציה הולומורפית שאינה פונקציית האפס יש מספר בן מנייה של אפסים. זאת מכיוון שלכל אפס מבודד ניתן להתאים באופן חד-חד-ערכי נקודה במישור עם קואורדינטות רציונליות.

• אם לפונקציה הולומורפית יש המשכה אנליטית מקבוצה עם נקודת הצטברות לקבוצה פתוחה וקשירה, אז המשכה זו יחידה. מסקנה זו מצדיקה למשל את הרחבת פונקציית האקספוננט והפונקציות הטריגונומטריות מהישר הממשי לכל המישור המרוכב באמצעות נוסחת אוילר.

• המשכה אנליטית שומרת על יחסים פונקציונליים. כל זהות בין פונקציות הולומורפיות המוגדרת על ידי פונקציה הולומורפית בכמה משתנים נשמרת גם אחרי המשכה אנליטית של הפונקציות. למשל הזהות הממשית $\sin ^{2}z+\cos ^{2}z=1$ מתקיימת גם ל-$z$ מרוכב.