נקיפה

נקיפה של גירוסקופ. ציר הסיבוב של הגירוסקופ סביב עצמו משנה כיוון ו"מצייר" מעגלים באוויר.

נקיפה (בלעז: פרצסיה; באנגלית: Precession) היא שינוי של כיוון ציר הסיבוב של גוף מסתובב (הכוונה ב"שינוי" היא שינוי בכיוון מרחבי ביחס לזמן). ישנם שני סוגים של נקיפות בפיזיקה: נקיפה ללא מומנט חיצוני ונקיפה בשל מומנט חיצוני.

נקיפה ללא מומנט חיצוני

נקיפה כזאת נוצרת בהיעדר מומנט חיצוני המופעל על הגוף. בנקיפה ללא מומנט חיצוני, התנע הזוויתי קבוע, אבל וקטור המהירות הזוויתית (כיוון ציר הסיבוב הרגעי) משנה את כיוונו במרחב עם הזמן. מה שמאפשר תנועה כזאת הוא מומנט התמד משתנה בזמן, או ליתר דיוק טנזור התמד שרכיביו משתנים בזמן. טנזור ההתמד, שהוא מטריצה מסדר 3X3, מורכב משלושה איברים אלכסוניים המייצגים את מומנטי ההתמד של הגוף ביחס לצירי קואורדינטות נפרדים (x,y,z) ומשישה רכיבים נוספים המכונים מכפלות התמד. אם לגוף יש אסימטריה מסוימת בהתפלגות המסה שלו, אז מומנטי ההתמד שלו ביחס לצירים שונים הצמודים לגוף יהיו שונים. כאשר הגוף מסתובב האוריינטציה שלו במרחב משתנה, כך שצירי הגוף הופכים שונים מצירי מערכת המעבדה, ולכן טנזור ההתמד של הגוף יקבל צורה שונה במערכת המעבדה - זאת בעוד התנע הזוויתי של הגוף חייב להישמר. התוצאה היא שרכיבי וקטור המהירות הזוויתית של הגוף ביחס לכל ציר ישתנו בזמן על מנת לשמר את התנע הזוויתי.

קצב הנקיפה של גוף בעל ציר סימטריה בהיעדר מומנט חיצוני (שמכונה "סביבון סימטרי חופשי"), כמו דיסקה המסתובבת ביחס לציר שאינו מקביל לציר הסימטריה שלה, ניתן לחישוב ממשוואות הדינמיקה של אוילר:

$\omega _{p}=({\frac {I_{s}-I_{p}}{I_{p}}})\omega _{s}\mathbb {cos} \alpha$

כאשר ω_p הוא קצב הנקיפה, ω_s הוא רכיב וקטור המהירות הזוויתית בכיוון ציר הסימטריה, I_s הוא מומנט ההתמד ביחס לציר הסימטריה, I_p הוא מומנט ההתמד ביחס לכל אחד משני הצירים האחרים הניצבים לציר הסימטריה, ו-α היא הזווית בין כיוון התנע הזוויתי לכיוון ההתחלתי של ציר הסיבוב (כיוון וקטור המהירות הזוויתית). כיוון ש-α וכיוון התנע הזוויתי קבועים, ציר הסיבוב של הגוף יתווה חרוט במרחב; דרך אלגנטית נוספת להראות מדוע נוצרת תנועה חרוטית כזאת של ציר הסיבוב, העושה שימוש בבנייה גאומטרית מתאימה, מתוארת בערך אליפסואיד פואנסו.

בעבור גוף מרחבי כללי ללא שום ציר סימטריה, ההתפתחות בזמן של אוריינטציית הגוף, המיוצגת (למשל) על ידי מטריצת סיבוב R המקשרת בין מערכת הקואורדינטות הפנימית של הגוף למערכת הקואורדינטות החיצונית של המעבדה, ניתנת רק לחישוב נומרי. בהינתן טנזור ההתמד הקבוע של הגוף I₀ (כלומר המוגדר ביחס למערכת הצירים "הפנימית"), והתנע הזוויתי החיצוני הקבוע L, המהירות הזוויתית הרגעית היא

$${\boldsymbol {\omega }}\left({\boldsymbol {R}}\right)={\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {I}}_{0}^{-1}{\boldsymbol {R}}^{T}{\boldsymbol {L}}$$

חישוב נומרי של R (ולמעשה של אוריינטציית הגוף) מתבצע באמצעות חלוקה של פרק הזמן בו מתבצעת הסימולציה למרווחי זמן קטנים dt במהלכם אוריינטציית הגוף משתנה בזווית קטנה ω dt:

$${\boldsymbol {R}}_{\text{new}}=\exp \left(\left[{\boldsymbol {\omega }}\left({\boldsymbol {R}}_{\text{old}}\right)\right]_{\times }dt\right){\boldsymbol {R}}_{\text{old}}$$

כאשר _×[ω] היא סוג של מטריצה אנטי-סימטרית, שהיא המטריצה המייצגת של הטרנספורמציה אשר הפעלתה על הווקטור $u$ תיתן את תוצאת המכפלה הווקטורית $\omega \times u$. עם זאת, השגיאות שנוצרות כתוצאה משימוש כזה במרווחי זמן סופיים (לא אינפיניטסימליים) נוטות להגדיל את האנרגיה הקינטית הסיבובית, וקיימות טכניקות שונות להתמודדות עם הבעיה הזאת.

נקיפה בשל מומנט חיצוני

נקיפה בשל מומנט חיצוני (לעיתים נקראת גם נקיפה גירוסקופית) היא תופעה במסגרתה ציר הסיבוב של גוף מסתובב מתאר חרוט במרחב כאשר מומנט חיצוני מופעל עליו. הדוגמה המוכרת ביותר לתופעת הנקיפה נצפית בצעצוע הסביבון, אך כל הגופים המסתובבים יכולים להפגין נקיפה. אם מהירות הסיבוב והעוצמה של המומנט המופעל קבועים, ציר הסיבוב ינוע כל העת בזוויות ישרות ביחס לכיוון שנובע "אינטואיטיבית" מהמומנט המופעל. במקרה של סביבון צעצוע, משקלו פועל מטה בנקודת מרכז המסה שלו בעוד שהכוח הנורמלי של הקרקע (כוח התגובה שמפעילה הרצפה) דוחף אותו מעלה בנקודת המגע של הסביבון עם הרצפה. שני כוחות מנוגדים אלו יוצרים מומנט אשר אמור "אינטואיטיבית" לגרום לסביבון ליפול הצידה ומטה; במקום זאת, הסביבון נופל מעט (מרכז המסה שלו יורד) ואז מבצע פרסציה. ההסבר המובא בפרק זה מתאר כיצד נוצרת תנועת הנקיפה של ציר הסיבוב של הסביבון מתוך מומנט חיצוני שאמור לגרום לו ליפול הצידה (ומטה) בלבד.

התגובה של מערכת מסתובבת למומנט מופעל. כאשר ההתקן מסתבסב ומתגלגל בו זמנית, נוצר מומנט עלרוד על הגלגל.

ההתקן המוצג משמאל מוצב על גימבל. מבפנים החוצה ישנם שלושה צירים של סיבוב: חישור הגלגל, ציר הגימבל, וציר המשענת האנכית. כדי להבדיל בין הצירים האופקיים, סיבוב ביחס לחישור הגלגל יכונה גלגול, סיבוב ביחס לציר הגימבל יכונה עלרוד וסיבוב ביחס לציר האנכי יכונה סבסוב.

ראשית, נניח כי ההתקן כולו מסתובב סביב הציר האנכי. לאחר מכן, נוסיף גלגול לגלגל (מסביב לחישור). נדמיין שציר הגימבל נעול, כך שהגלגל לא יכול לעלרד. על ציר הגימבל מונחים חיישנים, המודדים אם מופעל מומנט ביחס לציר זה.

באיור, קטע קשתי קטן מהגלגל כונה dm₁. ברגע בזמן המוצג באיור, הקטע dm₁ מצוי על ההיקף של מסלול תנועה מעגלית ביחס לציר האנכי. לקטע dm₁ יש לפיכך, הרבה מהירות סיבוב זוויתית ביחס לציר האנכי, ומכיוון ש-dm₁ נאלץ להתקרב לציר הסבסוב האנכי (עקב הגלגול של הגלגל), אז אפקט קוריוליס מתחיל לפעול - שכן במערכת הייחוס המסתובבת סביב הציר האנכי באותה מהירות זוויתית כמו הקטע dm₁ מתווספת לקטע זה מהירות רדיאלית פנימה. כתוצאה, dm₁ ייטה לנוע בכיוון המוצג כחץ השמאלי העליון בדיאגרמה. הקטע dm₂ של הגלגל מתרחק מהציר האנכי, כך שמופעל עליו שוב כוח באותו הכיוון כמו שפועל על קטע dm₁ (שימו לב ששני החצים העליונים מצביעים לאותו כיוון).

אותו תהליך מחשבה מוביל למסקנה הפוכה עבור חצי הגלגל התחתון, כך ששם החצים בדיאגרמה פונים לכיוון ההפוך. כאשר משקללים את סך המומנטים הפועלים על כל מקטע ומקטע בהיקף הגלגל, מתקבל מומנט שקול ביחס לציר הגימבל, השואף לגרום לגלגל לעלרד. לפיכך, החיישנים המוצבים על ציר הגימבל (הנעול) יחושו במומנט הנדרש כדי למנוע ממנו לעלרד.

במקרה של הסביבון המסתובב, כאשר הסביבון מתחיל לנטות הצידה, כוח הכבידה מתחיל להפעיל מומנט (ביחס לציר אופקי העובר דרך נקודת המגע של הסביבון עם הקרקע). עם זאת, במקום פשוט ליפול הצידה, התוצאה היא שהמומנט שמפעילה הכבידה - וגורם לתנועת העלרוד (כאן "עלרוד" פירושה שינוי בזווית של ציר הסביבון ביחס לאנך) - מפיק נקיפה גירוסקופית (במקום לגרום לסביבון ליפול הצידה) מיד כאשר מתפתחת מהירות סיבוב גבוהה של עלרוד (שבשילוב עם הסיבוב של הסביבון סביב עצמו גורמת לכוח קוריוליס משמעותי על חלקי הסביבון).

בהיעדר גורם ריסון משמעותי (למשל חיכוך עם הרצפה), תנועת הנקיפה תהיה בדרך כלל מלווה בהתנודדות של הזווית הפולרית של ציר הסיבוב, תנועה המכונה "נוטציה". הסיבה לתנודות אלו היא שלמרות שהמערכת שואפת למצב של נקיפה יציבה, תנאי ההתחלה של הסביבון בדרך כלל הוא כזה שאין למרכז המסה שלו תנועה מעגלית, ולכן מרכז המסה של הסביבון חייב לרדת מעט על מנת "להרוויח" את האנרגיה הקינטית של מרכז המסה (על ידי המרה של אנרגיה פוטנציאלית כובדית לאנרגיה קינטית). כתוצאה, הסביבון יבצע נוטציה תמידית, בנוסף לפרסציה, תוך שמתרחשות כל העת תמורות בין האנרגיה הפוטנציאלית והאנרגיות הקינטיות הקשורות לרכיבי התנועה של מרכז המסה שלו.

התופעה ושימושיה

המושג נקיפה מתאר תופעה שמתרחשת בגופים תלת־ממדיים שמסתובבים.

ניתן לתאר סיבוב של כל גוף בעזרת שלושה צירים (או שלוש זוויות - זוויות אוילר).

תופעת הנקיפה יכולה להתרחש ממספר סיבות, אך בכולן הכיוון של ציר הסיבוב של הגוף משתנה במרחב (כדוגמת הגירוסקופ המוצג באיור משמאל).

לכל גוף יש "צירים ראשיים", אם מסובבים גוף (ללא כוחות חיצוניים) סביב צירים אלו הוא ממשיך להסתובב רק סביבם, באותו אופן ולא נוצרת נקיפה.

דוגמה אחת לנקיפה היא כאשר מסובבים גוף סביב ציר לא ראשי שלו, ואז ציר הסיבוב שלו משתנה במרחב.

בחיי היום יום אנו פוגשים תופעה זו לעיתים קרובות, לדוגמה גלגלי רכב מכוונים להסתובב סביב ציר ראשי (ציר הגלגל) אך לעיתים הגלגלים יוצאים מכיוון ובמהירויות גבוהות ההגה רועד, זאת כיוון שהגלגל מסתובב סביב ציר לא ראשי וכדי לשמר סיבוב זה ציר הגלגל צריך להפעיל מומנטים על הגלגל, מומנטים אלו מורגשים במכונית כרעידות (תופעה זו גדלה ככל שמהירות הסיבוב של הגלגל גדלה).

דוגמאות נוספות:

• הרטט במכשירי תקשורת למיניהם מתבסס על עיקרון זה: מנגנון הרטט מסובב משקולת סביב ציר שאיננו ראשי.
• כאשר מביטים בסביבון, ניתן להבחין כי קצה ידית הסיבוב שלו מתווה מסלולים מעגליים באוויר - זוהי נקיפה.
• בתנועת סביבון רגל קיימת נקיפה, הגורמת לשינוי המגמה של ציר הסימטריה במרחב.
• כדור הארץ מבצע נקיפה סביב ציר הסיבוב שלו (סביב עצמו) וסביב מסלול הסיבוב שלו (סביב השמש), בשל הירח והשמש המפעילים עליו כוחות כבידה.
• בשל תופעות יחסותיות האלקטרון מבצע נקיפה בזמן שהוא מואץ סביב גרעין האטום - תופעה זו נקראת נקיפת תומאס והיא עוזרת להסביר את האינטראקציה בין המומנט המגנטי האינטרינזי של האלקטרון (ספין) לבין המומנט המגנטי של האטום עצמו (אינטראקצית ספין מסילה).

פורמליזם

מומנט ההתמד ${\boldsymbol {I}}$ הוא טנזור מדרגה שנייה, המקשר בין התנע הזוויתי ${\vec {L}}$ למהירות הזוויתית ${\vec {\omega }}$ באופן הבא:

${\vec {L}}={\boldsymbol {I}}{\vec {\omega }}$

הטנזור ${\boldsymbol {I}}$ אלכסוני במערכת הצירים הראשיים. נקיפה מתרחשת כאשר הווקטור ${\vec {\omega }}$ משנה את כיוונו המרחבי בזמן, המתמטיקה של התופעה לרוב מורכבת ודורשת קירובים על מנת לתת ביטויים אנליטיים לפתרונותיה, אחת הדוגמאות הקלאסיות היא הסביבון.

ראו גם

• נקיפת ציר כדור הארץ
• נקיפת לרמור

קישורים חיצוניים

• נקיפה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)