תהליך ברנולי

תיבת גלטון ממחישה את הקשר בין התפלגות בינומית, תהליך ברנולי, משפט הגבול המרכזי והתפלגות נורמלית.

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

בהסתברות ובסטטיסטיקה, תהליך ברנולי (על שם יאקוב ברנולי) הוא רצף סופי או אינסופי של ניסויי ברנולי זהים, כלומר ניסויים שיש להם שתי תוצאות אפשריות. לעיתים קרובות מתייחסים לתהליך ברנולי כאל תהליך סטוכסטי בדיד המורכב ממשתנים מקריים בלתי תלויים בעלי התפלגות ברנולי זהה. ניתן להמחיש תהליך ברנולי באמצעות הטלת מטבע חוזרת ונשנית, אולי עם מטבע לא הוגן (יש להשתמש בכל ההטלות באותו המטבע).

ניתן להכליל תהליך ברנולי גם ליותר משתי תוצאות (כגון התהליך של קובייה בעלת שישה צדדים); הכללה זו ידועה בשם סכמת ברנולי .

הגדרה

תהליך ברנולי הוא רצף סופי או אינסופי של משתנים מקריים בלתי תלויים, $X_{1},X_{2},...$, כך ש-

• לכל ${\textstyle i}$, המשתנה המקרי $X_{i}$ יכול לקבל שני ערכים: $a$ או $b$. (בדרך כלל ערכים $1$ או $0$);
• לכל ${\textstyle i}$, $X_{i}=a$ בהסתברות $p$.

מאי תלות המשתנים המקריים המרכיבים את התהליך, נובע שהתהליך הוא חסר זיכרון. בהינתן שההסתברות $p$ ידועה, תוצאות העבר אינן מספקות מידע על תוצאות עתידיות. (אם $p$ אינו ידוע, העבר יכול לספק ידע על העתיד בעקיפין, באמצעות אמידה של $p$.)

אם התהליך הוא אינסופי, אז סדרת המשתנים $X_{i},X_{i+1},...$ מהווה תהליך ברנולי הזהה לתהליך המקורי.

פרשנות

שני הערכים האפשריים של כל משתנה מקרי $X_{i}$ נקראים לעיתים קרובות "הצלחה" ו"כישלון". פרשנות נוספת יכולה להיות "אמת" או "שקר". המשתנים המקריים יכולים להיקרא גם ניסויי ברנולי עם פרמטר $p$.

ביישומים רבים האינדקס $i$ מבטא נקודה בזמן וסדרת המשתנים המקריים מקבלת ערכים תוך התקדמות בזמן. עם זאת, הזמן והמושגים הקשורים ל"עבר" ו"עתיד" אינם הכרחיים לתהליך ברנולי. תהליך ברנולי יכול להיות סדרה של משתנים מקריים אשר לאינדקסים שלהם אין קשר לזמן.

התפלגויות קשורות

ישנם כמה משתנים אקראיים והתפלגויות שניתן לקבל מתוך תהליך ברנולי:

• מספר ההצלחות ב-$n$ ניסויי ברנולי הראשונים, הוא משתנה מקרי אשר יש לו התפלגות בינומית $B(n,p)$.
• מספר ניסיונות ברנולי הדרושים כדי להשיג הצלחה אחת, הוא משתנה מקרי שיש לו התפלגות גאומטרית $G(p)$.
• מספר ניסיונות ברנולי הדרושים כדי לקבל $r$ הצלחות, הוא משתנה מקרי שיש לו התפלגות בינומית שלילית $NB(r,p)$, הכללה של התפלגות גאומטרית.

חוק המספרים הגדולים

נתון תהליך ברנולי $X_{1},X_{2},...$ כך שמתקיים לכל $i=1,2,...$, $\mathbb {P} (X_{i}=1)=p$ ו-$\mathbb {P} (X_{i}=0)=1-p$. לכן מתקיים שהתוחלת של המשתנים המקריים היא $\mathbb {E} [X_{i}]=p$.

חוק המספרים הגדולים קובע שהממוצע ${\bar {X}}_{n}:={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$, מתכנס ל- $p$ כמעט בוודאות. או באופן שקול, ${\bar {X}}_{n}{\overset {p}{\rightarrow }}\ p$.

כלומר, למאורע שגבול סדרת הממוצעים המתקבלת הוא $p$, יש הסתברות $1$. לכן, למאורע המשלים שגבול הסדרת הממוצעים המתקבלת שונה מ-$p$ יש הסתברות $0$. חוק המספרים הגדולים קשור גם לחוק האפס-אחד של קולמוגורוב.

כאשר $p$ אינו ידוע ${\bar {X}}_{n}$ הוא אומד נראות מקסימלית עבור $p$.

משפט הגבול המרכזי

מאחר שמתקיים גם לכל $i=1,2,...$, $\mathbb {Var} ({\bar {X}}_{n})={\frac {p(1-p)}{n}}$, ממשפט הגבול המרכזי נובע שההתפלגויות של הממוצעים המנורמלים $Z_{n}={\sqrt {\frac {n}{p(1-p)}}}\left({\bar {X}}_{n}-p\right)$ מתכנסת בהתפלגות להתפלגות נורמלית תקנית. כלומר, $Z_{n}{\overset {d}{\rightarrow }}\ {\mathcal {N}}(0,1)$.

הילוך מקרי על ציר המספרים השלמים

נגדיר תהליך ברנולי $X_{1},X_{2},...$ כאשר הפעם המשתנים יכולים לקבל ערכים $1$ בהסתברות $p$ או $-1$ בהסתברות $1-p$ . נגדיר את סדרת הסכומים החלקיים:

$S_{n}:=\sum _{i=1}^{n}X_{i}$

סדרת משתנים מקריים זו היא תהליך סטוכסטי הנקרא הילוך מקרי על ציר המספרים השלמים $\left(\mathbb {Z} \right)$.