מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
התפלגות ברנולי
מאפיינים
פרמטרים
0
≤
p
≤
1
{\displaystyle 0\leq p\leq 1}
q
=
1
−
p
{\displaystyle q=1-p}
תומך
k
∈
{
0
,
1
}
{\displaystyle k\in \{0,1\}}
פונקציית הסתברות
{
q
=
1
−
p
,
k
=
0
p
,
k
=
1
{\displaystyle {\begin{cases}q=1-p,&k=0\\p,&k=1\end{cases}}}
p
k
q
1
−
k
{\displaystyle p^{k}q^{1-k}\!}
פונקציית ההסתברות המצטברת
{
0
,
k
<
0
1
−
p
,
0
≤
k
<
1
1
,
k
≥
1
{\displaystyle {\begin{cases}0,&k<0\\1-p,&0\leq k<1\\1,&k\geq 1\end{cases}}}
תוחלת
p
{\displaystyle p}
סטיית תקן
p
(
1
−
p
)
=
p
q
{\displaystyle {\sqrt {p(1-p)}}={\sqrt {pq}}}
חציון
{
0
if
p
<
1
/
2
[
0
,
1
]
if
p
=
1
/
2
1
if
p
>
1
/
2
{\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{if }}p<1/2\\\left[0,1\right]&{\text{if }}p=1/2\\1&{\text{if }}p>1/2\end{cases}}}
ערך שכיח
{
0
if
p
<
1
/
2
0
,
1
if
p
=
1
/
2
1
if
p
>
1
/
2
{\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{if }}p<1/2\\0,1&{\text{if }}p=1/2\\1&{\text{if }}p>1/2\end{cases}}}
שונות
p
(
1
−
p
)
=
p
q
{\displaystyle p(1-p)=pq}
אנטרופיה
−
q
ln
q
−
p
ln
p
{\displaystyle -q\ln q-p\ln p}
פונקציה יוצרת מומנטים
q
+
p
e
t
{\displaystyle q+pe^{t}}
פונקציה אופיינית
q
+
p
e
i
t
{\displaystyle q+pe^{it}}
צידוד
q
−
p
p
q
{\displaystyle {\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}}
גבנוניות
1
−
6
p
q
p
q
{\displaystyle {\frac {1-6pq}{pq}}}
בסטטיסטיקה ובתורת ההסתברות , התפלגות ברנולי , על שם המתמטיקאי השווייצרי יאקוב ברנולי , היא התפלגות בדידה של משתנה מקרי המקבל ערך
X
=
1
{\displaystyle X=1}
X
=
0
{\displaystyle X=0}
Pr
(
X
=
1
)
=
p
{\displaystyle \Pr(X=1)=p}
Pr
(
X
=
0
)
=
1
−
p
{\displaystyle \Pr(X=0)=1-p}
q
{\displaystyle q}
q
=
1
−
p
{\displaystyle q=1-p}
למשל, בקובייה הוגנת ההסתברות לנפילה על
6
{\displaystyle 6}
1
6
{\displaystyle {\frac {1}{6}}}
5
6
{\displaystyle {\frac {5}{6}}}
6
{\displaystyle 6}
משתנה המציין את המאורע המתאים הוא בעל התפלגות ברנולי עם פרמטר
p
=
1
6
{\displaystyle p={\frac {1}{6}}}
את העובדה שלמשתנה מקרי
X
{\displaystyle X}
X
∼
b
(
p
)
{\displaystyle X\sim \ {\text{b}}(p)}
X
∼
Bernoulli
(
p
)
{\displaystyle X\sim \ {\text{Bernoulli}}(p)}
שונות שלו היא
Var
(
X
)
=
p
(
1
−
p
)
{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=p(1-p)}
X
n
=
X
{\displaystyle X^{n}=X}
n
{\displaystyle n}
מומנטים של משתנה כזה שווים ל־
p
{\displaystyle p}
משתני ברנולי הם אבני הבניין של ההתפלגות הבינומית . סכום של
n
{\displaystyle n}
בלתי תלויים בעלי הסתברות הצלחה p הוא בעל התפלגות בינומית כללית,
B
(
n
,
p
)
{\displaystyle B(n,p)}
B
(
1
,
p
)
{\displaystyle B(1,p)}
אם
X
{\displaystyle X}
Pr
(
X
=
1
)
=
p
=
1
−
Pr
(
X
=
0
)
=
1
−
q
.
{\displaystyle \Pr(X=1)=p=1-\Pr(X=0)=1-q.}
פונקציית הסתברות
f
{\displaystyle f}
f
(
k
;
p
)
=
{
p
if
k
=
1
,
q
=
1
−
p
if
k
=
0.
{\displaystyle f(k;p)={\begin{cases}p&{\text{if }}k=1,\\q=1-p&{\text{if }}k=0.\end{cases}}}
צורה שקולה לביטוי זה היא:
f
(
k
;
p
)
=
p
k
(
1
−
p
)
1
−
k
for
k
∈
{
0
,
1
}
{\displaystyle f(k;p)=p^{k}(1-p)^{1-k}\quad {\text{for }}k\in \{0,1\}}
או:
f
(
k
;
p
)
=
p
k
+
(
1
−
p
)
(
1
−
k
)
for
k
∈
{
0
,
1
}
.
{\displaystyle f(k;p)=pk+(1-p)(1-k)\quad {\text{for }}k\in \{0,1\}.}
בצורה זו ניתן להבחין בדמיון הרב להתפלגות בינומית, אשר התפלגות ברנולי היא מקרה פרטי עבור
n
=
1
{\displaystyle n=1}
גבנוניות ההתפלגות שואפת לאינסוף עבור ערכים גבוהים או נמוכים של
p
{\displaystyle p}
0
≤
p
≤
1
{\displaystyle 0\leq p\leq 1}
משפחה מעריכית ואומד הנראות המרבית של
p
{\displaystyle p}
מדגם מקרי הוא ממוצע הדגימה.
התוחלת של משתנה מקרי
X
{\displaystyle X}
E
[
X
]
=
p
{\displaystyle \mathbb {E} [X]=p}
זאת משום שעבור
X
{\displaystyle X}
Pr
(
X
=
1
)
=
p
{\displaystyle \Pr(X=1)=p}
Pr
(
X
=
0
)
=
1
−
p
{\displaystyle \Pr(X=0)=1-p}
E
[
X
]
=
Pr
(
X
=
1
)
⋅
1
+
Pr
(
X
=
0
)
⋅
0
:=
p
⋅
1
+
(
1
−
p
)
⋅
0
=
p
.
{\displaystyle \mathbb {E} [X]=\Pr(X=1)\cdot 1+\Pr(X=0)\cdot 0:=p\cdot 1+(1-p)\cdot 0=p.}
השונות של משתנה מקרי
X
{\displaystyle X}
Var
[
X
]
=
p
q
=
p
(
1
−
p
)
{\displaystyle \operatorname {Var} [X]=pq=p(1-p)}
ראשית,
E
[
X
2
]
=
Pr
(
X
=
1
)
⋅
1
2
+
Pr
(
X
=
0
)
⋅
0
2
=
p
⋅
1
2
+
q
⋅
0
2
=
p
{\displaystyle \mathbb {E} [X^{2}]=\Pr(X=1)\cdot 1^{2}+\Pr(X=0)\cdot 0^{2}=p\cdot 1^{2}+q\cdot 0^{2}=p}
ומכאן:
Var
[
X
]
=
E
[
X
2
]
−
E
[
X
]
2
=
p
−
p
2
=
p
(
1
−
p
)
=
p
q
{\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\mathbb {E} [X^{2}]-\mathbb {E} [X]^{2}=p-p^{2}=p(1-p)=pq}
כמובטח.
![{\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{if }}p<1/2\\\left[0,1\right]&{\text{if }}p=1/2\\1&{\text{if }}p>1/2\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/482cc0f5f8c739e3fe2462d72ee5b9f1f7b5d5a4)
![{\mathbb {E}}[X]=p](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41bff53623cf28729d4da4500f0618fd24380b0b)
![{\displaystyle \mathbb {E} [X]=\Pr(X=1)\cdot 1+\Pr(X=0)\cdot 0:=p\cdot 1+(1-p)\cdot 0=p.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f038543085426f9ffbcccc437181cd7ad954468)
![{\displaystyle \operatorname {Var} [X]=pq=p(1-p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d4e26d8a1fdfb90e91a2fafd5fb3841de88f1fb)
![{\displaystyle \mathbb {E} [X^{2}]=\Pr(X=1)\cdot 1^{2}+\Pr(X=0)\cdot 0^{2}=p\cdot 1^{2}+q\cdot 0^{2}=p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45205bdc459839eed0329d5d29d02238fbaac13c)
![{\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\mathbb {E} [X^{2}]-\mathbb {E} [X]^{2}=p-p^{2}=p(1-p)=pq}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132628bb357b43b583dd82ca1f93b537526ba1b5)
