התפלגות ברנולי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת ההסתברות והסטטיסטיקה המושג התפלגות ברנולי הקרויה על שם יוהאן ברנולי היא התפלגות של משתנה מקרי המקבל שני ערכים, 0 ו-1. התפלגות זו מתאימה לתיאור מערכות בהן יש שני מצבים - הצלחה או כישלון. מקובל לסמן את ההסתברות להצלחה באות p, ואת ההסתברות המשלימה ב- \ q = 1-p. למשל, בהטלת קובייה תקינה תסומן התוצאה 6 כהצלחה וכל שאר התוצאות האחרות ככישלון. ההסתברות לנפילה על 6 בקובייה תקינה היא 1/6, ולפיכך ההסתברות המשלימה המתייחסת לכל שאר התוצאות (1,2,3,4,5) היא 5/6. בדוגמה זו המשתנה המציין את המאורע המתאים הוא בעל התפלגות ברנולי עם פרמטר p=1/6.

את העובדה שלמשתנה X יש התפלגות ברנולי מסמנים \ X \sim\ \text{b}(p) (לעתים \ X \sim\ \text{Bernoulli}(p)). התוחלת של X היא \mathbb{E}[X]= p, והשונות שלו היא \operatorname{var}= p(1-p). משתנה בעל התפלגות ברנולי מקיים את התכונה \ X^n=X לכל \ n (שהרי הערכים 0 ו־1 מקיימים שוויון זה), ולכן כל המומנטים של משתנה כזה שווים ל־\ p.

משתני ברנולי הם אבני הבניין של ההתפלגות הבינומית. סכום של \ n משתני ברנולי בלתי תלויים בעלי הסתברות הצלחה p הוא בעל התפלגות בינומית כללית, \ B(n,p) (ובפרט ההתפלגות \ B(1,p) היא התפלגות ברנולי).

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]