התפלגות ברנולי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
התפלגות ברנולי
פרמטרים – ההסתברות ל"הצלחה"
תומך
פונקציית הסתברות
(pmf)
פונקציית ההסתברות המצטברת
(cdf)
תוחלת
סטיית תקן
חציון
ערך שכיח
שונות
אנטרופיה
פונקציה יוצרת מומנטים
(mgf)
פונקציה אופיינית
צידוד
גבנוניות

בסטטיסטיקה ובתורת ההסתברות, התפלגות ברנולי, על שם המתמטיקאי השווייצרי יאקוב ברנולי, היא התפלגות בדידה של משתנה מקרי המקבל ערך או ערך בהסתברות ו-. מקרה פרטי של התפלגות זו מתאים לתיאור מערכות בהן יש שני מצבים – הצלחה או כישלון. במקרה זה מקובל לסמן את ההסתברות להצלחה באות p, ואת ההסתברות המשלימה ב- (כלומר: ).

למשל, בקובייה הוגנת ההסתברות לנפילה על היא, ולפיכך ההסתברות המשלימה המתייחסת לכל שאר התוצאות (1,2,3,4,5) היא . אם תסומן התוצאה כהצלחה וכל שאר התוצאות האחרות ככישלון, אז המשתנה המציין את המאורע המתאים הוא בעל התפלגות ברנולי עם פרמטר .

את העובדה שלמשתנה מקרי יש התפלגות ברנולי מסמנים (לעיתים ). והשונות שלו היא . משתנה בעל התפלגות ברנולי מקיים את התכונה לכל (שהרי הערכים 0 ו־1 מקיימים שוויון זה), ומכאן שכל המומנטים של משתנה כזה שווים ל־.

משתני ברנולי הם אבני הבניין של ההתפלגות הבינומית. סכום של משתני ברנולי בלתי תלויים בעלי הסתברות הצלחה p הוא בעל התפלגות בינומית כללית, (ובפרט, ההתפלגות היא התפלגות ברנולי).

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם הוא משתנה מקרי המתפלג ברנולי, אזי:

פונקציית הסתברות של התפלגות זו, עבור ערך אפשרי k היא:

צורה שקולה לביטוי זה היא:

או:

בצורה זו ניתן להבחין בדמיון הרב להתפלגות בינומית, אשר התפלגות ברנולי היא מקרה פרטי עבור .

גבנוניות ההתפלגות שואפת לאינסוף עבור ערכים גבוהים או נמוכים של . עבור ערכי ההתפלגות יוצרת משפחה מעריכית ואומד הנראות המרבית של עבור מדגם מקרי הוא ממוצע הדגימה.

תוחלת[עריכת קוד מקור | עריכה]

התוחלת של משתנה מקרי המתפלג ברנולי היא:

זאת משום שעבור בו יחד עם מתקבל:

שונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

השונות של משתנה מקרי המתפלג ברנולי היא:

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ראשית,

ומכאן:

כמובטח.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]