התפלגות בינומית שלילית

התפלגות בינומית שלילית

פונקציית ההסתברות
מאפיינים
פרמטרים	$p$ – ההסתברות "להצלחה" $r$ – מספר הכישלונות הרצוי
תומך	$k\in \{0,1,2,3,...\}$
פונקציית הסתברות (pmf)	$P_{X}(k)={r+k-1 \choose k}(p)^{k}(1-p)^{r}$
תוחלת	${\frac {r}{p}}$
שונות	${\frac {r(1-p)}{p^{2}}}$

בתורת ההסתברות, התפלגות בינומית שלילית היא התפלגות בדידה המתארת את מספר ההצלחות בסדרת ניסויי ברנולי בלתי תלויים לפני שמתרחשים מספר כישלונות קבוע נתון מראש, $r$. לדוגמה, אם מטילים מטבע שוב ושוב, כישלון יוגדר כעץ, וסדרת ההטלות תיעצר כאשר יתקבל עץ בפעם השלישית (אם $r=3$), אז מספר ההצלחות (קבלת "פלי") יתפלג באופן בינומי שלילי.

אם ההסתברות להצלחה בכל ניסוי היא $p$ וההסתברות לכישלון היא $1-p$, אז מספר ההצלחות האקראי, $X$, יתפלג התפלגות בינומית שלילית עם הפרמטרים $r$ ו־$p$ ומסמנים זאת כך:

$X\ \sim \ {\text{NB}}(r,\,p)$

משתנה מקרי $X$ מתפלג נקודתית:

$P_{X}(k)={r+k-1 \choose k}(p)^{k}(1-p)^{r}\quad {\text{for }}k=0,1,2,\dots$

כאשר הביטוי בסוגריים הוא המקדם הבינומי ושווה:

${r+k-1 \choose k}={\frac {(r+k-1)!}{k!\,(r-1)!}}$

תוחלת של משתנה מקרי בינומי שלילי היא ${\frac {r}{p}}$ והשונות ${\frac {r(1-p)}{p^{2}}}$

התפלגויות קשורות

	עם החזרה	בלי החזרה
מספר הצלחות מתוך מספר הוצאות	התפלגות בינומית	התפלגות היפרגאומטרית
מספר הוצאות עד מספר הצלחות	התפלגות בינומית שלילית	התפלגות היפרגאומטרית שלילית

קישורים חיצוניים

• התפלגות בינומית שלילית, באתר MathWorld (באנגלית)