משפט בל

בפיזיקה, משפט בל, ולחילופין אי שוויונות בל הוא שם כללי לאילוצים על מערכות המקיימות את עקרון המקומיות ועקרון המציאות (בלועזית realism). עקרון המקומיות הוא ההנחה שאין פעולה ממרחק, כלומר, פעולה על מערכת פיזיקאלית הנמצאת במקום אחד לא משפיעה באופן מידי על מערכת מרוחקת; ההשפעה יכולה להגיע רק בעתיד-למשל אחרי פרק הזמן שיקח לאור להגיע מהנקודה הראשונה לשניה. עקרון המציאות אומר שתכונות פיזיקאליות מוגדרות גם אם אינן ידועות. עקרון זה מתקיים למשל במכניקה קלאסית: לחלקיק נקודתי יש מקום ותנע ברגע נתון גם אם הם אינם ידועים. תאור חילופי מקובל של אי-שוויונות בל הוא כאילוצים על תאור של מכניקת הקוונטים בעזרת משתנים חבויים מקומיים.

המשפט ואי-השויונות נקראים על שמו של ג'ון סטיוארט בל שהופיעו לראשונה במאמרו בשנת 1964. בשנת 2022 הוענק פרס נובל לפיזיקה לגו'ן קלאוזר, אלן אספה, ואנטון זיילינגר על נסיונות בלתי תלויים שהוכיחו הפרה של אי-שוייונות בל במערכות קוונטיות עם פוטונים שזורים.

הסטוריה[עריכת קוד מקור | עריכה]

כותרת המאמר של ג'ון סטיוארט בל ב- 1964 היא: "על הפרדוקס של איינשטיין פודולסקי ורוזן". ה"פרדוקס" הוצג במאמר ב 1935 שכותרתו מעלה את השאלה: "האם ניתן לקבל את תאור המציאות במכניקת הקוונטים כתאור שלם?" במאמר מוצג נסיון מחשבתי מהפכני עם שני חלקיקים קוונטים שזורים (שמשמש היום כמשאב בסיסי של טכנולוגיות קוונטיות): כאשר שני חלקיקים נמצאים במצב שזירות ידוע, מדידת המקום של חלקיק A מאפשרת לדעת בדיוק את המקום של חלקיק B והוא לכן אלמנט של מציאות פיזיקאלית (לפי הגדרת המחברים). מעקרון המקומיות נובע שמקום החלקיק B מוגדר באופן בלתי תלוי מהמדידה. באופן דומה, מדידת התנע של חלקיק A מאפשרת לדעת את התנע של חלקיק B, ולכן גם התנע יש מציאות פיזיקאלית. ולכן, טענו המחברים, הן המקום והן התנע של חלקיק B מוגדרים, בניגוד (לכאורה) לעקרון אי הודאות של הייזנברג.

איינשטיין האמין שקיים תיאור שלם של המציאות. תיאור כזה אפשרי במסגרת של תורות של משתנים חבויים. בשנת 1952 הציג דוד בוהם פירוש (אינטרפרטציה) של מכניקה קוונטית בעזרת משתנים חבויים שאינם מקומיים. התורה של משתנים חבויים היא תורה דטרמיניסטית (חורצנית), והאופי ההסתברותי של מכניקה קוונטית נחשף כאשר מתיחסים למשתנים החבויים כמשתנים אקראים קלאסים.

התרומה החשובה של בל הייתה התובנה שהנחות על מקומיות ומציאות ניתנות להכרעה נסיונית. במיוחד, בתיאוריה שמקיימת את שני העקרונות, יש מגבלות על פונקציות המתאם (קורלציות) של מדידות שנעשות במקומות שונים על המערכת. את המגבלות הללו ניתן להפר במערכות קוונטיות עם חלקיקים שזורים. בשנת 1972 הראה ג'ון קלאוזר לראשונה באופן נסיוני הפרה של אי שויון בל הידוע כ- CHSH, במערכת של פוטונים שזורים. בשנת 1982 שיפר אלן אספה את התוצאות הנסיוניות בשימוש בטכנולוגיות לייזר, וסגר את הפרצה של האפשרות לזליגת מידע בין חלקי המערכת. בשנת 2022 קבלו השניים, יחד עם אנטון זיילינגר, את פרס נובל בפיזיקה על "נסיונות בפוטונים שזורים וביסוס ההפרה של אי-שויונות בל...".

אי-שוויון בל

אי-שוויון בל מתייחס למתאמים (קורלציות) בין תכונות השייכות לאובייקטים. אי השוויון נכון לכל 3 תכונות שהן. אין זה משנה אם התכונות תלויות או בלתי תלויות זו בזו.

התרחיש במאמר של בל מבוסס על תרחיש דומה לזה המופיע ב-EPR ובו בודקים את ערכי הספין של זוג אלקטרונים שזורים הנמצאים בשני מקומות מרוחקים ואי-השוויון מתייחס להתאמת הספין בכיוונים שונים. בניסוחו המקורי נכתב האי שוויון כך: $1+\operatorname {C} (b,c)\geq |\operatorname {C} (a,b)-\operatorname {C} (a,c)|,$

כאשר b,a ו-c הם כיוונים שונים שעבורם נמדד הספין של האלקטרונים, ו-$\ C(x,y)$ היא ההתאמה בין ערכי הספין בכיוון x בגלאי אחד ובכיוון y בגלאי השני. לצורך ההסבר כאן נשתמש באי שוויון אחר ששקול לאי השוויון הזה (ראה גרסאות של אי שוויון בל בהמשך).

הסבר

ניקח קבוצה של אובייקטים שלכל אחד מהם יכולות להיות או לא להיות כל אחת משלוש התכונות B, A ו-C. נסמן את קיומה של תכונה A ב-$\ A$, את העדרה ב-${\overline {A}}$, ובאופן דומה את קיומן או העדרן של התכונות האחרות. מספר האובייקטים בקבוצה שיש להם, למשל, התכונות A ו-B אבל לא C יהיה $\ N_{AB{\overline {C}}}$.

כיוון שמספר החברים בקבוצה שלהם צירוף כלשהו של תכונות יכול להיות 0 או יותר, נוכל לרשום את אי השוויון הבא:

$\ N_{A{\overline {B}}C}+N_{{\overline {A}}B{\overline {C}}}\geq 0$

נוסיף שני איברים לשני הצדדים של אי השוויון:

$\ N_{A{\overline {B}}C}+N_{{\overline {A}}B{\overline {C}}}+N_{A{\overline {B}}{\overline {C}}}+N_{AB{\overline {C}}}\geq N_{A{\overline {B}}{\overline {C}}}+N_{AB{\overline {C}}}$

כיוון שמספר האובייקטים שיש להם תכונה מסוימת ועוד מספר האובייקטים שאין להם אותה תכונה הוא מספר כל האובייקטים, נוכל לחבר זוגות איברים ולרשום:

(2) $N_{A{\overline {B}}}+N_{B{\overline {C}}}\geq N_{A{\overline {C}}}$

אי שוויון זה שקול לאי השוויון של בל (ראה תיאור גרפי של אי-שוויון בל למטה).

הספין של אלקטרון יכול לקבל אחד משני ערכים – up או down, או בסימון אחר 1/2 או 1/2- בכל כיוון מרחבי. על פי עקרון אי הוודאות של הייזנברג, לא ניתן למדוד את ערך הספין של אלקטרון מסוים ביותר מכיוון אחד. אבל עבור זוג אלקטרונים במצב שזירות, אם נמדוד את הספין של כל אחד מהם בכיוון מסוים נקבל תמיד ערכים הפוכים. אם לאחד מהם יהיה הספין בכיוון מסוים 1/2, הספין של השני באותו כיוון יהיה תמיד 1/2- . לכן, אם נמדוד את הספין של אחד מזוג אלקטרונים במצב שזירות בכיוון אחד ואת הספין של השני בכיוון אחר, נוכל לכאורה לדעת את הספין של כל אחד מהם בשני כיוונים שונים. יותר נכון, נוכל לדעת מה היה הספין של האלקטרון בכיוון שלא נמדד לו היינו מודדים אותו.

אם נמדוד באחד מזוג אלקטרונים ספין 1/2 בכיוון a ובשני ספין 1/2 בכיוון b, יהיה זה כאילו לאלקטרון הראשון יש ספין 1/2 בכיוון a וספין 1/2- בכיוון b. אם נמדוד מספר גדול מאוד של אלקטרונים בצורה דומה, נוכל לסמן ב-$\ N_{ab}$ את מספר המדידות שבהן התקבלה תוצאה כזאת. באופן דומה נמדוד מספר זהה של מדידות גם בכיוונים a ו-c ובכיוונים b ו-c. נוכל עכשיו לרשום עבור הניסוי את אי השוויון שלמעלה באופן כזה:

(3) $N_{ab}+N_{bc}\geq N_{ac}$

על פי תורת הקוונטים, אם מודדים את הספין של כל אחד מזוג אלקטרונים שזורים בשני כיוונים שונים שהזווית ביניהם θ, החלק של האלקטרונים שיהיה להם ספין 1/2 בגלאי אחד מתוך סך כל האלקטרונים שיש להם ספין 1/2 בגלאי השני נתון על ידי:

(4) ${\frac {N_{ab}}{N_{a}}}=\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}$

אם שני הגלאים מודדים ספין באותו הכיוון (θ=0) הערך יהיה 0 – לאף אלקטרון שלבן הזוג שלו יהיה ספין 1/2 לא יהיה ספין 1/2.
אם שני הגלאים מודדים בכיוונים ניצבים (θ=90^o) הערך יהיה 0.5 – למחצית מן האלקטרונים שלבן הזוג שלהם ספין 1/2 יהיה ספין 1/2.
אם שני הגלאים מודדים כיוונים הפוכים (θ=180^o) הערך יהיה 1 – לכל האלקטרונים שלבן הזוג שלהם ספין 1/2 יהיה ספין 1/2.

נניח ששלושת הכיוונים שלנו הם:

a=0^o
b=30^o
c=60^o

ואנחנו בודקים עבור כל זוג זוויות N זוגות אלקטרונים שהספין שלהם בגלאי הראשון הוא 1/2.

לפי (4) יהיה:

${\frac {N_{ab}}{N}}=0.07$

${\frac {N_{bc}}{N}}=0.07$

${\frac {N_{ac}}{N}}=0.25$

$\ N_{ab}+N_{bc}=0.14N<N_{ac}=0.25N$

כלומר, התחזית של תורת הקוונטים (4) לא מקיימת תמיד את אי השוויון (3).

ניסויים שונים שנערכו כדי לבדוק את משפט בל, איששו את תחזיות תורת הקוונטים וסתרו את אי השווין של בל.

המשמעות של משפט בל

משפט בל הוא משפט לוגי-מתמטי היוצא מהנחות מסוימות ומגיע למסקנה הניתנת לבדיקה בעזרת ניסוי. אימות הפיתוח על ידי חוקרים רבים, יחד עם הפרכת המסקנה בניסויים רבים, מראה שאחת ההנחות שגויה.

שתי ההנחות המרכזיות בפיתוח, שאינן ניתנות לאימות, הן:

ריאליזם

לכל אובייקט ישנן תכונות מוגדרות, שקיומן, או ערכיהן, אינם תלויים במדידות. לא יכול להתקיים מצב שבו לאובייקט מסוים תכונה כלשהי גם קיימת וגם לא קיימת.

מקומיות

כל פעולה המתבצעת במקום כלשהו יכולה להשפיע רק על אובייקטים הנמצאים באותו מקום. בצירוף תורת היחסות הפרטית ניתן לומר שהמהירות שבה ההשפעה יכולה לנוע חסומה על ידי מהירות האור.

הפרשנויות המרכזיות של המשפט שוללות אחת משתי הנחות אלו.

הנחות יסוד נוספות עוסקות בתקפות חוק המספרים הגדולים שבאופן כללי משמש להסקת מסקנות מניסויים פיזיקליים, ואף בתקפות הלוגיקה שבאופן כללי משמשת לאימות פיתוחים מתמטיים. אכן, יש המפרשים את המשפט באופן המציע לוגיקה אלטרנטיבית.

ההשלכות הפילוסופיות של משפט בל

על החלק התיאורי של תורת הקוונטים אין כמעט חילוקי דעות. התחזיות והנוסחאות הסטטיסטיות שכלולות בה נבדקו בניסויים רבים ותוצאות הניסויים תואמות את התחזיות. לעומת זאת, על הפרשנות של תורת הקוונטים ניטש ויכוח ארוך שנים. תורת הקוונטים אומרת שלא ניתן לחזות מראש את תכונותיו הקוונטיות של חלקיק מסוים, אלא רק את הסיכוי למציאת כל אחד מהערכים האפשריים אם וכאשר נמדוד אותם. על פי פרשנות קופנהגן – ממשנתו של נילס בוהר – לחלקיק אין כלל ערך מסוים לתכונה עד למדידתה, אלא הוא נמצא במצב של סופרפוזיציה קוונטית שמשלב את כל הערכים האפשריים. רק בזמן המדידה עצמה הוא מקבל את אחד הערכים האפשריים. פרשנות זו סותרת את אחת מהנחות היסוד של הפיזיקה הקלאסית – ההנחה שהמציאות היא דטרמיניסטית ובכל נקודת זמן יש לה תכונות מוגדרות וחד משמעיות שיקבעו את כל המצבים הבאים שלה. איינשטיין התנגד לפרשנות זו וידועה אמירתו "אלוהים אינו משחק בקוביות" שהופיעה במכתב לפיזיקאי מקס בורן.
פרשנות זו נעשית עוד יותר בעייתית כאשר מדובר על זוגות חלקיקים במצב של שזירות קוונטית. במצב כזה, בכל מדידה נקבל תמיד ערכים משלימים לשני החלקיקים. אם למשל יהיה לאחד מהם ספין 1+ לשני יהיה בהכרח ספין 1-. אם החלקיק מקבל את כיוון הספין רק בזמן המדידה, הוא צריך להשפיע באופן מיידי גם על הספין של בן זוגו – גם אם זה נמצא במרחק רב. את האפשרות להשפעה כזאת כינה איינשטיין: "Spooky action at a distance" (פעולה מוזרה ממרחק).
איינשטיין גרס, שלכל חלקיק ישנן תכונות קבועות מראש – משתנים סמויים - שקובעות מה יהיה הערך של כל תכונה קוונטית, גם אם איננו יכולים לדעת מראש מה הן.
הוויכוח בין תומכי פרשנות קופנהגן לבין תומכי תאוריית המשתנים הסמויים נמשך עד היום. עד לפרסום משפט בל, הוויכוח הזה התנהל ברמה הפילוסופית בלבד. מכיוון שאין כל דרך לדעת מה מצבו של חלקיק שאיננו מודדים אותו באופן כלשהו, כל אחת משתי הפרשנויות האלה עשויה להיות נכונה באותה המידה והבחירה ביניהן תלויה בהשקפה הפילוסופית של כל אחד. פרסום משפט בל, שהראה שיש סתירה בין תחזיות תורת הקוונטים לבין כל תאוריית משתנים סמויים לוקאליים אפשרית, נתן אפשרות להעמיד לבחינה בניסויים את היתכנותה של תאוריה כזאת. כאמור, תוצאות הניסויים שנערכו לבדיקת משפט בל, תמכו בתחזיות תורת הקוונטים והיטו את הכף כנגד תאוריית משתנים סמויים לוקאליים.
רבים נוהגים להסיק מכך שהמציאות, לפחות ברמת החלקיקים התת-אטומיים, איננה לוקאלית ושפרשנות קופנהגן היא הפרשנות הנכונה לתורת הקוונטים. אבל האמת היא, כפי שנאמר קודם, שמה שמראים הניסויים הוא שאיננו יכולים לדבוק בכל ארבע ההנחות המופיעות למעלה. ויתור על אחת או יותר מההנחות הללו, יפתור את הסתירה בין תוצאות הניסויים לאי השוויון של בל. השאלה על איזו מן ההנחות הללו לוותר מחזירה אותנו – לפחות בינתיים - למגרש של הפילוסופיה.

גרסאות של אי השוויון של בל

היום ידועות מספר גרסאות של אי השוויון של בל. במאמר המקורי של ג'ון בל מופיע אי השוויון בצורה הבאה:

(4) $\ 4(\varepsilon +\delta )\geq |{\vec {a}}\cdot {\vec {c}}-{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}|+{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}-1$

ניתן לפשט ביטוי זה לצורה של (1) למעלה:

                $\ 1+C(b,c)\geq |C(a,b)-C(a,c)|$

נראה תחילה שאי השוויון (3) שבו השתמשנו להסבר שלמעלה שקול לאי השוויון (1):
ניתן לכתוב את אי השוויון שהשתמשנו בו (3) גם כך:

(6) $\ N_{bc}\geq N_{ac}-N_{ab}$

מכיוון שאפשר לבחור במקום כל תכונה את התכונה ההפוכה לה, נוכל לרשום גם:

(7) $\ N_{{\bar {b}}{\bar {c}}}\geq N_{{\bar {a}}{\bar {c}}}-N_{{\bar {a}}{\bar {b}}}$

אם נחבר את (6) ו-(7) נקבל:

$\ N_{bc}+N_{{\bar {b}}{\bar {c}}}\geq N_{ac}+N_{{\bar {a}}{\bar {c}}}-N_{ab}-N_{{\bar {a}}{\bar {b}}}$

נכפיל את שני צידי אי השוויון ב-2/N ונוסיף ונחסר 1 בכל צד שלו ונקבל:

(8) $\ 1+{\frac {2(N_{bc}+N_{{\bar {b}}{\bar {c}}})}{N}}-1\geq {\frac {2(N_{ac}+N_{{\bar {a}}{\bar {c}}})}{N}}-1-{\frac {2(N_{ab}+N_{{\bar {a}}{\bar {b}}})}{N}}+1$

אפשר להראות שעבור שתי תכונות שכל אחת מהן יכולה לקבל שני ערכים בהסתברות שווה, הקורלציה ביניהן שווה לביטוי:

(9) $\ C(a,b)={\frac {2(N_{ab}+N_{{\bar {a}}{\bar {b}}})}{N}}-1$

אם נציב את (9) ב-(8) נקבל:

                 $\ 1+C(b,c)\geq C(a,c)-C(a,b)$

אבל בשל הסימטריה בין זוגות הזויות נוכל להחליף ביניהן ולכתוב גם:

                 $\ 1+C(a,c)\geq C(a,b)-C(b,c)$

אם נאחד את שתי המשוואות נקבל:

                 $\ 1+C(b,c)\geq C(a,c)-C(a,b)\geq -1-C(b,c)$

או:

                $\ 1+C(b,c)\geq |C(a,b)-C(a,c)|$

אי השוויון CHSH

גרסה נוספת ידועה של אי השוויון היא זו של ג'ון קלאוזר, מיכאל הורן, אבנר שמעוני וריצ'רד הולט (CHSH) שפורסמה במאמר בשנת 1969. אי השוויון מתייחס לקורלציה הקוונטית של זוגות זוויות בניסוי דומה לזה המתואר ב-EPR: כל גלאי בכל אחד מהצדדים מכוון לשתי זוויות שונות, ובארבע בדיקות נפרדות בודקים את ארבעת הצירופים האפשריים של זוויות הגלאים. אי השוויון נרשם כך:

                $\ 2\geq E(a,b)-E(a,b')+E(a',b)+E(a',b')\geq -2$

כאשר (x,y)‏E מוגדר כממוצע המשוקלל של המכפלה (x)‏B•‏(x)‏A. אם מגדירים את ערכי הספין 1 ו-1-, (x,y)‏E נתון על ידי מספר המקרים בהם הערכים ב A ו-B היו שווים, פחות מספר המקרים שהערכים היו שונים חלקי סך-הכל המקרים שנבדקו:

                 $\ E(x,y)={\frac {(N_{++}+N_{--})-(N_{+-}+N_{-+})}{N_{++}+N_{--}+N_{+-}+N_{-+}}}$

ניסויים לבדיקת משפט בל

שרטוט סכמטי של ניסוי בל דו-ערוצי
המקור S מייצר זוגות פוטונים הנשלחים בכיוונים מנוגדים. כל פוטון פוגש מקטב דו-ערוצי שאת כיוונו ניתן לקבוע. הפוטונים מכל ערוץ מזוהים עי הגלאים והאותות מהגלאים מועברים למנטר הצירופים CM

מאז פרסום משפט בל נערכו מספר גדול של ניסויים לבדיקת קיומו או אי קיומו של אי השוויון של בל. רוב הניסויים נערכו על אור מקוטב ולא על הספין של אלקטרונים כפי שמוצע במסמכים המקוריים, מכיוון שניסויים באור מקוטב קלים יותר ליישום. תכונת הקיטוב של האור דומה במובנים רבים לתכונת הספין של אלקטרונים, כאשר הזויות של המקטבים הן מחצית הזויות המקבילות של גלאי הספין.
ישנם ניסויים בעלי ערוץ אחד שבו יש גלאי אחד בכל צד. בניסוי כזה מניחים שלכל פוטון או אלקטרון שלא נקלט בגלאי ישנו הערך הקוונטי ההפוך מזה של אלה שנקלטים בגלאי. הנחה כזאת יכולה להכניס אי דיוקים לניסוי.
אפשרות אחרת, קצת מורכבת יותר, היא ניסוי עם שני ערוצים שבו ישנם שני גלאים בכל צד שמודדים את שני הערכים הקוונטיים האפשריים.
הבעיה העיקרית בניסויים האלה היא היעילות הנמוכה של הגלאים, שכאשר מכניסים אותה לחישובים הסטטיסטיים מורידה באופן משמעותי את אמינות התוצאות.

תיאור גרפי של אי-שוויון בל

אם ניקח שלוש קבוצות: קבוצת האובייקטים בעלי תכונה A, קבוצת האובייקטים בעלי תכונה B וקבוצת האובייקטים בעלי תכונה C ונצייר אותן בדיאגרמה עם כל החפיפות (חיתוכים) האפשריות ביניהן, נקבל שבעה אזורים שנסמן אותם באותיות

a-g:

כל החיתוכים האפשריים של 3 קבוצות

כל אחד מהאזורים יכול להכיל 0 או יותר אובייקטים.

נרשום את האיברים של משפט בל באמצעות האזורים בדיאגרמה:

$N_{A{\overline {B}}}=a+d$

$N_{B{\overline {C}}}=b+e$

$N_{A{\overline {C}}}=a+e$

$N_{A{\overline {B}}}+N_{B{\overline {C}}}=a+d+b+e=(a+e)+b+d=N_{A{\overline {C}}}+b+d$

מכיוון ש-b + d ≥ 0 הרי שאי-שוויון בל מתקיים.

ראו גם

• מכניקת הקוונטים
• הפרדוקס של איינשטיין-פודולסקי-רוזן
• מצב בל
• שזירה קוונטית

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא משפט בל בוויקישיתוף

• המאמר המקורי של ג'ון בל: On the Einstein Podolsky Rosen Paradox
• מאמר של אבנר שמעוני באנציקלופדיה לפילוסופיה של סטנפורד: Bell's Theorem
• הסבר על משפט בל: Spooky Action at a Distance
• עוד הסבר פשוט: Bell's Theorem