הסדרה ההרמונית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, הסדרה ההרמונית היא הסדרה \ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3} , \dots , \frac{1}{n}, \dots. הסדרה קרויה כך כיוון שאורכי המיתרים שהצלילים העיליים מרעידים פרופורציונליים לסדרה אחת, חצי, שליש וכו׳.

הטור ההרמוני[עריכת קוד מקור | עריכה]

הטור האינסופי \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} מכונה הטור ההרמוני והוא מתבדר (כלומר הוא אינו מתכנס למספר סופי).

הטור ההרמוני הוא אחד הטורים הפשוטים שהאיבר הכללי שלהם מתכנס לאפס (כי הגבול של הסדרה ההרמונית הוא אפס), ובכל זאת סכום הטור מתבדר. יתר על כן, הטור ההרמוני מהווה מעין חסם:

הסכומים החלקיים של הטור ההרמוני נקראים מספרים הרמוניים ומסומנים \ H_n, כלומר \ H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}. המספרים ההרמוניים הם רציונליים אך לא שלמים (למעט \ H_1), ואף ההפרש בין כל שני מספרים הרמוניים שונים הוא לא שלם.

סדרת המספרים ההרמוניים \ \left\{ H_n \right\}_{n=1}^\infty שואפת לאינסוף אך לאט מאוד – בקצב של הלוגריתם הטבעי. למעשה, לאונרד אוילר הוכיח שהסדרה \  H_n - \ln (n) מתכנסת, וגבולה מכונה על שמו קבוע אוילר.

התבדרות הטור ההרמוני[עריכת קוד מקור | עריכה]

העובדה שהטור ההרמוני מתבדר מפתיעה אינטואיטיבית, משום שגבול הטור באינסוף הוא 0 ולכן ניתן היה לצפות שנוכל להזניח את האיברים הרחוקים. כך לדוגמה, סכום הטור עובר את 10 רק באיבר ה־12,367 שלו, ואת 11 באיבר ה־33,617. ניתן להוכיח את התבדרות הטור בעשרות דרכים.

דמיון הטור ללוגריתם הטבעי[עריכת קוד מקור | עריכה]

על פי סכומי דארבו של אינטגרל רימן, הסכום \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} חוסם את האינטגרל המסוים \int_1^n \frac{\mathrm dt}{t} מלמעלה, כלומר לכל \ n טבעי:

\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\ge\int\limits_1^n \frac{\mathrm dt}{t}= \ln (n)

היות שפונקציית הלוגריתם הטבעי שואפת לאינסוף כאשר המשתנה שלה שואף לאינסוף, הסדרה הימנית שגדולה ממנה שואפת לאינסוף גם כן ולכן הטור עצמו מתבדר.

למעשה, קיים גם אי שוויון הפוך – גם פונקציית הלוגריתם חוסמת את הטור מלמעלה. אם נתייחס אל הטור (חוץ מהאיבר הראשון) כסכום דארבו התחתון של האינטגרל המסוים \int\limits_1^n \frac{\mathrm dt}{t}= \ln (n) נקבל את האי-שוויון הבא:

\sum_{k=2}^n \frac{1}{k}\le\int\limits_1^n \frac{\mathrm dt}{t}= \ln (n)

או בניסוח שקול: לכל \ n, מתקיים האי-שוויון \ 0\le H_n-\ln(n)\le 1.

זהו מקרה פרטי של מבחן לבדיקת התכנסות של טורים באמצעות התכנסות אינטגרלים ולהפך. אם \ f פונקציה מונוטונית יורדת אז הטור \sum_{n=1}^\infty f(n) מתכנס אם ורק אם האינטגרל הלא אמיתי \int\limits_1^\infty f(t)\,\mathrm dt מתכנס.

מבחן הדילול[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן לסכם את הטור בצורה שתראה את ההתבדרות שלו בדרך יותר ברורה: נקבץ יחד את כל האיברים בין שתי חזקות של 2 ונסכם אותם יחד. לדוגמה, נסכם את \frac{1}{2} לבד, את \frac{1}{3} ואת \frac{1}{4} ביחד, את \frac{1}{7}, \frac{1}{6}, \frac{1}{5} עד \frac{1}{8} וכן הלאה. בכל אחד מסכומי הביניים האלו כל האיברים גדולים מהאיבר האחרון, שהוא בעצמו חזקה שלילית של 2. בנוסף, בסכום הביניים שבו האיבר האחרון הוא \ 2^{-k} יהיו בדיוק \ 2^{k-1} איברים, ולכן ערך כל סכום ביניים כזה גדול מחצי. ניתן לבטא את סכומי הביניים האלו בנוסחה מפורשת בעזרת הערך השלם של הלוגריתם עם בסיס 2:

\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = \sum_{k=1}^\infty 2^{-\log_2 k} \ge\sum_{k=1}^\infty 2^{-\lceil \log_2 k \rceil} \! \ =
1 + \left(\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right) 
+ \left(\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right) + \frac{1}{16}+\cdots  = 1 + \frac{1}{2} +\  \quad\frac{1}{2} \ \quad+ \ \qquad\quad\frac{1}{2}\qquad\ \quad \ + \ \quad\ \cdots

זהו סכום אינסופי של מספר חיובי (1/2) ולכן הוא מתבדר. בדרך הזו קיבלנו גם הערכה מסוימת לקצב הגידול של הטור (הסכום החלקי H_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k} גדול מ־\ 1+\frac{\lfloor \log_2 n \rfloor}{2} ).

טורים דומים[עריכת קוד מקור | עריכה]

טור חשוב שמתקשר לטור ההרמוני הוא הטור ההרמוני המתחלף (טור לייבניץ), שהוא טור הרמוני עם סימנים מתחלפים:

\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k} = 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\dots

טור זה מתכנס וערכו הוא \ \ln 2 (הדבר נובע מהצבת \ x=1 בטור טיילור של הפונקציה \ \ln(1+x)). זוהי דוגמה למבחן לייבניץ להתכנסות טורים הקובע כי טור מתחלף המורכב מסדרה מונוטונית יורדת שהאיבר הכללי שלו שואף לאפס – מתכנס. הטור הוא דוגמה סטנדרטית למשפט רימן, שכן שינוי סדר איבריו משנה את הסכום.

טור נוסף שמתקשר לטור ההרמוני הוא טור ההפכיים של המספרים הראשוניים, שגם הוא טור מתבדר:‏[1]

\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{p_k} = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\dots כאשר \ p_k הוא הראשוני ה־\ k־י.

אם נשמיט מן הטור ההרמוני את כל האיברים המכילים את הספרה 9 נקבל טור מתכנס וסכומו הוא \, 22.92067\dots. הטור נחקר לראשונה על ידי A.J. Kempner בשנת 1914. קמפנר הוכיח כי בניגוד לאינטואיציה, הטור הזה מתכנס, וסכומו הוא פחות מ־80. מאוחר יותר חושב במדויק סכום הטור.‏[2]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ עובדה זו מהווה הוכחה נוספת לכך שיש אינסוף מספרים ראשוניים. ראו: קיומם של אינסוף מספרים ראשוניים#הוכחתם של אוילר וקרונקר.
  2. ^ Kempner, A. J., ‏A Curious Convergent Series, American Mathematical Monthly, 21 (2), February 1914, in JSTOR