הסדרה ההרמונית

במתמטיקה, הסדרה ההרמונית היא הסדרה $\ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3} , \dots , \frac{1}{n}, \dots$ . הסדרה קרויה כך כיוון שאורכי המיתרים שהצלילים העיליים מרעידים פרופורציונליים לסדרה אחת, חצי, שליש וכו'.
הטור האינסופי $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}$ מכונה הטור ההרמוני והוא מתבדר (כלומר הוא אינו מתכנס למספר סופי).

הטור ההרמוני הוא אחד הטורים הפשוטים שהאיבר הכללי שלהם מתכנס לאפס (כי הגבול של הסדרה ההרמונית הוא אפס), ובכל זאת סכום הטור מתבדר. יתר על כן - הטור ההרמוני מהווה מעין חסם:

• לכל $\ p>1$ הטור האינסופי $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$ מתכנס, וערכו ניתן על ידי פונקציית זטא של רימן.
• לכל $p \le 1$ הטור האינסופי $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$ מתבדר.

הסכומים החלקיים של הטור ההרמוני נקראים מספרים הרמוניים ומסומנים $\ H_n$, כלומר $\ H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$. המספרים ההרמוניים הם רציונליים אך לא שלמים (למעט $\ H_1$), ואף ההפרש בין כל שני מספרים הרמוניים שונים הוא לא שלם.

סדרת המספרים ההרמוניים $\ \left\{ H_n \right\}$ שואפת לאינסוף אך מאוד לאט - בקצב של הלוגריתם הטבעי. ליתר דיוק, לאונרד אוילר הוכיח שהסדרה $\ H_n - \ln (n)$ מתכנסת, וגבולה מכונה על שמו קבוע אוילר.

התבדרות הטור ההרמוני

העובדה שהטור ההרמוני מתבדר מפתיעה אינטואיטיבית, משום שסכום הטור עובר את 10 רק באיבר ה-12,367 שלו, ואת 11 הטור עובר רק באיבר ה-33,617. ניתן להוכיח את התבדרות הטור במספר דרכים.

דמיון הטור ללוגריתם הטבעי

על פי סכומי דארבו של אינטגרל רימן, הסכום $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$ חוסם את האינטגרל המסוים $\int_1^n \frac{dt}{t}$ מלמעלה, כלומר לכל $\ n$ טבעי:

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\ge\int_1^n \frac{dt}{t}= \ln (n)$

היות שפונקציית הלוגריתם הטבעי שואפת לאינסוף כאשר המשתנה שלה שואף לאינסוף, הסדרה הימנית שגדולה ממנה שואפת לאינסוף גם כן ולכן הטור עצמו מתבדר.

למעשה, קיים גם אי שוויון הפוך - גם פונקציית הלוגריתם חוסמת את הטור מלמעלה. אם נתייחס אל הטור (חוץ מהאיבר הראשון) כסכום דארבו התחתון של האינטגרל המסוים $\int_1^n \frac{dt}{t}= \ln (n)$ נקבל את האי-שוויון הבא:

$\sum_{k=2}^n \frac{1}{k}\le\int_1^n \frac{dt}{t}= \ln (n)$

או בניסוח שקול: לכל $\ n$, מתקיים האי-שוויון $\ 0\le H_n-\ln(n)\le 1$.

זהו מקרה פרטי של מבחן לבדיקת התכנסות של טורים באמצעות התכנסות אינטגרלים ולהפך. אם $\ f$ פונקציה מונוטונית יורדת אז הטור $\sum_{n=1}^\infty f(n)$ מתכנס אם ורק אם האינטגרל הלא אמיתי $\int_1^\infty f(t)\,dt$ מתכנס.

מבחן הדילול

ניתן לסכם את הטור בצורה שתראה את ההתבדרות שלו בדרך יותר ברורה: נקבץ יחד את כל האיברים בין שתי חזקות של 2 ונסכם אותם יחד. לדוגמה, נסכם את $\frac{1}{2}$ לבד, ואת $\frac{1}{3}$ ואת $\frac{1}{4}$ ביחד, ואת $\frac{1}{7}, \frac{1}{6}, \frac{1}{5}$ עד $\frac{1}{8}$ וכן הלאה. בכל אחד מסכומי הביניים האלו כל האיברים גדולים מהאיבר האחרון, שהוא בעצמו חזקה שלילית של 2. בנוסף, בסכום הביניים שבו האיבר האחרון הוא $\ 2^{-k}$, יהיו בדיוק $\ 2^{k-1}$ איברים, ולכן ערך כל סכום ביניים כזה גדול מחצי. בנוסחה מפורשת, ניתן לבטא את סכומי הביניים האלו בעזרת הערך השלם של הלוגריתם עם בסיס 2:

$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = \sum_{k=1}^\infty 2^{-\log_2 k} \ge\sum_{k=1}^\infty 2^{-\lceil \log_2 k \rceil} \! \ = 1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right] + \frac{1}{16}\cdots$ $\qquad \qquad = \quad\ 1 +\ \frac{1}{2}\ +\ \quad\frac{1}{2} \ \quad+ \ \qquad\quad\frac{1}{2}\qquad\ \quad \ + \ \quad\ \cdots$

זהו סכום אינסופי של מספר חיובי (חצי)- ולכן מתבדר. בדרך הזו קיבלנו גם הערכה מסוימת לקצב הגידול של הטור (הוא גדול מהפונקציה $\ 1+\frac{[ \log_2 n ]}{2}$.)

טורים קשורים

טור חשוב שמתקשר לטור ההרמוני הוא הטור ההרמוני המתחלף (טור לייבניץ), שהוא טור הרמוני עם סימנים מתחלפים:

$\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k} = 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\dots$

טור זה מתכנס וערכו הוא $\ \ln 2$ (הדבר נובע מהצבת $\ x=1$ בטור טיילור של הפונקציה $\ \ln(1+x)$). זוהי דוגמה למבחן לייבניץ להתכנסות טורים הקובע כי טור מתחלף שהאיבר הכללי שלו שואף לאפס מתכנס. הטור הוא דוגמה סטנדרטית למשפט רימן, שכן שינוי סדר איבריו משנה את הסכום.

טור נוסף שמתקשר לטור ההרמוני הוא טור ההפכיים של המספרים הראשוניים:

$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{p_k} = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5} +\dots$ כאשר $\ p_k$ הוא הראשוני ה-$\ k$-י.

טור זה מתבדר.

אם נשמיט מן הטור ההרמוני את כל האיברים המכילים את הספרה 9, נקבל טור מתכנס וסכומו הוא $\, 22.92067...$. טור נחקר לראשונה על-ידי A.J. Kempner בשנת 1914. קמפנר הוכיח, כי בניגוד לאינטואיציה, הטור הזה מתכנס, וסכומו הוא פחות מ-80. מאוחר יותר חושב במדויק סכום הטור.

מקורות

• Kempner, A. J. (February 1914). "A Curious Convergent Series". American Mathematical Monthly (Washington, DC: Mathematical Association of America) 21 (2): 48–50