אינטגרל לא אמיתי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בחשבון אינפיניטסימלי, אינטגרל לא אמיתי (או אינטגרל מוכלל) מהווה הכללה מתמטית של האינטגרל המסוים לקטעים לא סופיים ולפונקציות בלתי-חסומות בקטעים פתוחים או חצי פתוחים. באופן אינטואיטיבי, ברור ששטח של פונקציה לא חסומה או של פונקציה בקטע אינסופי, הוא שטח שמכסה קבוצה לא חסומה ולכן ברור שלא מדובר בשטח המוכר לנו מחיי היומיום, אלא בגבול שמוגדר להיות השטח. אם הגבול הנ"ל קיים, האינטגרל מתכנס. אחרת, האינטגרל מתבדר.

אינטגרל מוכלל בקרן אינסופית
אינטגרל מוכלל של פונקציה לא חסומה

כל ההגדרות שנביא כאן עבור אינטגרלים לא אמיתיים בקטעים חצי פתוחים מימין, אנלוגיים להגדרות עבור קטעים חצי פתוחים משמאל.

אינטגרלים לא אמיתיים של פונקציות לא חסומות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניסוח פורמלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהא f\, פונקציה המוגדרת בקטע [a,b)\, ובלתי חסומה שם. אם f\, אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע [a,b)\, ואם קיים הגבול \lim_{t \to b^{-}} \int_{a}^{t} f(x)dx\,, אז נאמר כי f\, אינטגרבילית במובן המוכלל בקטע [a,b)\, והגבול הנ"ל יקרא האינטגרל המוכלל או האינטגרל הלא אמיתי של f\, בקטע [a,b)\, וסימונו יהיה \textstyle \int_{a}^{b} f(x)dx\,. כמו כן, נאמר גם כי אינטגרל זה מתכנס. אחרת, אם גבול זה לא קיים, נאמר שהוא מתבדר.

דוגמה: יהי a>0\,. באמצעות שיטות אינטגרציה ניתן להוכיח כי \int_{0}^{a} {{dx} \over {x^{t}}} מתכנס אם ורק אם t<1\,. באותו אופן \int_{0}^{a} {{dx} \over {x^{t}}} מתבדר אם ורק אם t \ge 1\,. [דרוש מקור]

אינטגרביליות בהחלט[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהא f\, פונקציה המוגדרת בקטע [a,b)\, ובלתי חסומה שם. אם f\, אינטגרבילית לפי רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע [a,b)\, ואם האינטגרל \textstyle \int_{a}^{b} \left|f(x)\right|dx מתכנס, אז נאמר ש-f\, אינטגרבילית בהחלט בקטע. כמו כן נאמר שהאינטגרל \textstyle \int_{a}^{b} f(x)dx מתכנס בהחלט. קל להוכיח בעזרת מבחן קושי כי אם פונקציה אינטגרבילית בהחלט אז היא גם אנטגרבילית. (במובן המוכלל).

הרחבת ההגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהא f\, פונקציה המוגדרת בקטע (a,b)\,. אם f\, אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע (a,b)\, ואם קיים  b>d>a\, כך שהאינטגרלים \textstyle \int_{a}^{d} f(x)dx,\textstyle \int_{d}^{b} f(x)dx מתכנסים, נאמר ש-f\, אינטגרבילית במובן המוכלל בקטע (a,b)\,.

באופן כללי מגדירים אינטגרביליות במובן המוכלל בקטע אם ורק אם ניתן לחלקו לקטעים חצי פתוחים בהם הפונקציה אינטגרבילית במובן המוכלל לפי ההגדרה הראשונה.

מבחני התכנסות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מבחן קושי[עריכת קוד מקור | עריכה]

תכונת האדיטיביות של האינטגרל המסוים מאפשרת לבחון התכנסות אינטגרל על ידי מבחן קושי לקיום גבול של פונקציה:

תהא f\, פונקציה המוגדרת בקטע [a,b)\, בלתי חסומה שם ואינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע [a,b)\,. אז \textstyle \int_{a}^{b} f(x)dx מתכנס אם ורק אם לכל \varepsilon > 0 קיים \delta >0\, כך שלכל w>v\, ממשיים בקטע (b-\delta,b)\, מתקיים:

\left|\int_{v}^{w} f(x)dx \right| < \varepsilon

מבחן ההשוואה[עריכת קוד מקור | עריכה]

מתכונת המונוטוניות של האינטגרל וממבחן קושי נובע המבחן הבא:

תהיינה f,g\, פונקציות המוגדרת בקטע [a,b)\, ובלתי חסומות שם. אם f\, אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע [a,b)\, ואם קיימת סביבה שמאלית של b\, שבה מתקיים 0 \le f(x) \le g(x) אז:

  • אם \textstyle \int_{a}^{b} g(x)dx מתכנס אז גם \textstyle \int_{a}^{b} f(x)dx מתכנס.
  • אם \textstyle \int_{a}^{b} f(x)dx מתבדר אז גם \textstyle \int_{a}^{b} g(x)dx מתבדר.

מבחן ההשוואה הגבולי[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהיינה f,g\, פונקציות חיוביות המוגדרת בקטע [a,b)\, ובלתי חסומות שם. אם f\, אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע [a,b)\, ואם קיים הגבול  \lim_{x\to b^-} \textstyle {{f(x)}\over {g(x)}} והוא שונה מאפס, אז האינטגרלים \textstyle \int_{a}^{b} f(x)dx ו- \textstyle \int_{a}^{b} g(x)dx מתבדרים ומתכנסים יחדיו.

במידה והגבול שווה ל-0 אז:

  • אם \textstyle \int_{a}^{b} g(x)dx מתכנס אז גם \textstyle \int_{a}^{b} f(x)dx מתכנס.

ואם הגבול הוא אינסוף אז:

  • אם \textstyle \int_{a}^{b} g(x)dx מתבדר אז גם \textstyle \int_{a}^{b} f(x)dx מתבדר.

אינטגרלים לא אמיתיים בקטעים אינסופיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניסוח פורמלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהא f\, פונקציה המוגדרת בקטע [a,+\infty)\,, ואינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע הנ"ל. אז אם קיים הגבול \lim_{t \to \infty} \int_{a}^{t} f(x)dx\,, אז נאמר כי f\, אינטגרבילית בקטע [a,+\infty)\, והגבול הנ"ל יקרא האינטגרל המוכלל או האינטגרל הלא אמיתי של f\, בקטע [a,+\infty)\, וסימונו יהיה \textstyle \int_{a}^{\infty} f(x)dx\,. כמו כן, נאמר גם כי אינטגרל זה מתכנס. אחרת, אם גבול זה לא קיים, נאמר שהוא מתבדר.

דוגמה:

האינטגרל \int_0^\infty\frac{dx}{1+x^2} מתכנס שכן,

\lim_{t\to\infty}\int_0^t\frac{dx}{1+x^2}=\lim_{t\to\infty}\arctan{t}=\frac{\pi}{2},

אינטגרביליות בהחלט[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהא f\, פונקציה המוגדרת בקטע [a,+\infty)\,. אם f\, אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע לעיל, ואם האינטגרל \textstyle \int_{a}^{\infty} \left|f(x)\right|dx מתכנס, אז נאמר ש-f\, אינטגרבילית בהחלט בקטע. כמו כן נאמר שהאינטגרל \textstyle \int_{a}^{\infty} f(x)dx מתכנס בהחלט. גם פה קל להוכיח בעזרת מבחן קושי כי אם פונקציה אינטגרבילית בהחלט אז היא גם אינטגרבילית (במובן המוכלל).

הרחבת ההגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי f\, פונקציה המוגדרת ב-\mathbb{R} ואינטגרבילית רימן בכל קטע סגור. אם קיים d\, ממשי כך שהאינטגרלים \textstyle \int_{d}^{\infty} f(x)dx\,, \textstyle \int_{-\infty}^{d} f(x)dx מתכנסים, נאמר ש-f\, אינטגרבילית ב-\mathbb{R}.

מבחני התכנסות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מבחן קושי[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהא f\, פונקציה המוגדרת בקטע [a,\infty)\, בלתי חסומה שם ואינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע [a,\infty)\,. אז \textstyle \int_{a}^{\infty} f(x)dx מתכנס אם ורק אם לכל \varepsilon > 0 קיים \ M>0\, כך שלכל w>v>M\, ממשיים מתקיים:

\left|\int_{v}^{w} f(x)dx \right| < \varepsilon

מבחן ההשוואה[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהיינה f,g\, פונקציות המוגדרת בקטע [a,\infty)\, ובלתי חסומות שם. אם f\, אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע [a,\infty)\, ואם קיים b \in [a,\infty) כל שלכל x>b מתקיים 0 \le f(x) \le g(x) אז:

  • אם \textstyle \int_{a}^{\infty} g(x)dx מתכנס אז גם \textstyle \int_{a}^{\infty} f(x)dx מתכנס.
  • אם \textstyle \int_{a}^{\infty} f(x)dx מתבדר אז גם \textstyle \int_{a}^{\infty} g(x)dx מתבדר.

מבחן ההשוואה הגבולי[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהיינה f,g\, פונקציות רציפות ואי-שליליות בקטע [a,\infty)\,. אם קיים הגבול  \lim_{x\to \infty} \textstyle {{f(x)}\over {g(x)}} והוא שונה מאפס, אז האינטגרלים \textstyle \int_{a}^{\infty} f(x)dx ו- \textstyle \int_{a}^{\infty} g(x)dx מתבדרים ומתכנסים יחדיו.

במידה והגבול שווה ל-0 אז:

  • אם \textstyle \int_{a}^{\infty} g(x)dx מתכנס אז גם \textstyle \int_{a}^{\infty} f(x)dx מתכנס.

ואם הגבול הוא אינסוף אז:

  • אם \textstyle \int_{a}^{\infty} g(x)dx מתבדר אז גם \textstyle \int_{a}^{\infty} f(x)dx מתבדר.

מבחן דיריכלה[עריכת קוד מקור | עריכה]

מבחן דיריכלה מאפשר לבדוק התכנסות של פונקציות גם כאשר הן משנות סימן, ובזה כוחו.

תהיינה f,g\, פונקציות רציפות בקטע [a,+\infty)\,. אם מתקיים:

  • f\, מונוטונית יורדת בקטע [a,+\infty)\,.
  • \lim_{x \to \infty}f(x)=0.
  • הפונקציה \textstyle G(x) = \int_{a}^{x} g(t)dt חסומה בקטע [a,+\infty)\,.

בתנאים אלו האינטגרל \int_{a}^{\infty} f(x)g(x)dx מתכנס.