הספירה של רימן

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
הספירה של רימן

באנליזה מרוכבת, הספֵירה של רימן, על שם ברנרד רימן, היא דרך לראות את המישור המרוכב המורחב (המספרים המרוכבים יחד עם נקודת האינסוף), כך שנקודת האינסוף אינה נבדלת מכל נקודה מרוכבת סופית. בצורה הזו ניתן להגדיר פונקציות שמוגדרות בנקודת האינסוף או מקבלות ערכים אינסופיים, ולדבר על רציפות וגזירות שלהן.

מבחינה טופולוגית, מבנה זה הומאומורפי לספֵירה הדו ממדית והוא מהווה קומפקטיפיקציה של המישור בעזרת נקודה יחידה.

מבנה גאומטרי[עריכת קוד מקור | עריכה]

מנקודת מבט גאומטרית, הספֵירה של רימן היא המישור הרגיל עם הישרים, המעגלים והזוויות שמוגדרים בו, בתוספת עוד נקודה מיוחדת, "אינסוף", שבה כל הישרים נפגשים. בהגדרה זו מאבדים את היכולת לשמור על המרחקים הרגילים מהמישור כי אם יוצאים מנקודה והולכים לכיוונים מנוגדים בקווים ישרים - מגיעים לאותה נקודה, אך בכל זאת מושגים כמו ישרים, מעגלים וזוויות נשמרים. ישרים מקבילים הופכים לקוים שמשיקים זה לזה בנקודת האינסוף (כלומר הזווית ביניהם בנקודה זו היא אפס).

ניתן לראות גם את הספֵירה של רימן כספירה (פני כדור) במרחב האוקלידי התלת ממדי, שבה נקודת ה"צפון" היא נקודת האינסוף ונקודת ה"דרום" (הנקודה האנטיפודית לנקודת הצפון) היא הנקודה אפס. ניתן לפרוש מחדש מהספֵירה את המישור המרוכב בעזרת ההטלה הסטריאוגרפית דרך נקודת האינסוף. קל לראות שהבחירה לבצע את ההטלה דרך נקודת האינסוף הייתה שרירותית וניתן היה לבצע אותה דרך כל נקודה אחרת על הספֵירה. כאן מתבטאת תכונה כללית של הספֵירה של רימן - נקודת האינסוף איננה נקודה מיוחדת אלא זהה לכל נקודה אחרת, והיא מקיימת כל תכונה גאומטרית שהנקודות האחרות מקיימות.

נסמן את המישור המרוכב יחד עם נקודת האינסוף בכיתוב \widehat{\mathbb{C}} = \mathbb{C} \cup \left\{ \infty \right\}. את תכונות המישור המרוכב המורחב נגדיר באמצעות הפונקציה \ f(z)=\frac{1}{z}. באופן טבעי פונקציה זו מוגדרת על כל נקודות המישור חוץ מהנקודה 0, אבל אחרי שהוספנו את הנקודה \infty אפשר להגדיר את הפונקציה כך שיתקיימו השוויונים \ f(0)=\infty , f(\infty)=0 . בצורה הזו מתקבל בעצם הומאומורפיזם בין המישור המרוכב ללא נקודת האפס, אך עם נקודת האינסוף לבין המישור המרוכב הרגיל.

מבנה דיפרנציאלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

לספֵירה של רימן יש מבנה טבעי כיריעה מעל המספרים המרוכבים. זו יריעה מממד 1 מעל המספרים המרוכבים (או יריעה מממד 2 מעל המספרים הממשיים) על ידי שתי המפות הבאות:

  • המפה שלוקחת את המישור המרוכב ללא נקודת האינסוף לעצמו על ידי העתקת הזהות.
  • המפה שלוקחת את המישור המרוכב, ללא נקודת האפס ועם נקודת האינסוף, למישור המרוכב הרגיל על ידי ההעתקה \ z \mapsto 1/z (כאשר ההעתקה מעבירה את נקודת האינסוף לאפס).

בצורה הזו הספֵירה של רימן היא יריעה אנליטית. בנוסף הספֵירה של רימן דיפאומורפית, ובפרט הומאומורפית לספֵירה הדו ממדית הרגילה ולכן היא קומפקטית ופשוטת קשר.

העתקות מביוס[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן לתאר את כל הדיפאומוריפזמים של הספירה של רימן עם עצמה באמצעות העתקות מביוס. אלו פונקציות מהצורה:

\ f(z)= \frac{az+b}{cz+d} כאשר \ a,b,c,d \in \mathbb{C} ובנוסף הפונקציה איננה קבועה כלומר \ ad - bc \ne 0.

פונקציות אלו הן פונקציות הולומורפיות בכל המישור המרוכב למעט נקודה אחת- הנקודה -\frac{a}{b}. קל לראות שניתן ליצור את העתקות מוביוס על ידי הרכבות מתוך ארבעה סוגים של פונקציות בסיסיות:

  • \ z \mapsto rz כאשר r \in \mathbb{R}. אלו העתקות של שיקוף ושינוי גודל.
  • \ z \mapsto ze^{i\theta} כאשר \theta \in \mathbb{R}. אלו העתקות של סיבוב.
  • \ z \mapsto z + z_0 כאשר \ z_0 \in \mathbb{C}. אלו העתקות של הזזה.
  • \ z \mapsto \frac{1}{z}.

ניתן לצמצם את שני הסוגים הראשונים לסוג אחד של כפל במספר מרוכב כלשהו.
על ידי שימוש בהעתקה האחרונה ניתן להחיל את העתקות מביוס גם על הנקודות שבהן המכנה מתאפס, וגם בנקודת האינסוף על ידי ההגדרות הרגילות:

\frac{1}{0}=\infty \ \ , \ \ \frac{1}{\infty}=0

ההרחבה הזו הופכת את העתקת מביוס לפונקציה חד-חד-ערכית ועל, הולומורפית בכל נקודה, ובעלת הפיכה שהיא גם פונקציית מביוס, ולכן זהו דיפאומורפיזם.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]