טור לורן

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, ובפרט באנליזה מרוכבת, טור לורן (Laurent) הוא טור מהצורה \ \sum_{n=-\infty}^\infty a_n x^n. כלומר - טור חזקות שבו מופיעות גם חזקות שליליות. הטור נקרא על שם מי שגילה אותו לראשונה, המתמטיקאי פייר אלפונס לורן.

טור לורן מהווה הכללה של טור טיילור, וניתן להשתמש בו כדי לתאר מספר רב יותר של פונקציות מאשר באמצעות טור טיילור - בעיקר עוסקים בו לתיאור פונקציות מרוכבות. כל פונקציה אנליטית בטבעת ניתנת בה לפיתוח כטור לורן (להבדיל מפונקציות שאנליטיות בעיגול, ואותן ניתן להציג באמצעות טור טיילור).

באופן כללי, כל טור מפותח סביב נקודה כלשהי. אם הטור מפותח סביב הנקודה \ c אז צורתו תהיה \ \sum_{n=-\infty}^\infty a_n (x-c)^n.

כאשר פונקציה מפותחת לטור לורן סביב נקודת סינגולריות מבודדת שלה (הדבר אפשרי כי בסביבה מנוקבת של נקודת סינגולריות מבודדת הפונקציה אנליטית) נקבע סוג נקודת הסינגולריות לפי מספר החזקות השליליות בפיתוח לורן:

  • אם אין כלל חזקות שליליות בפיתוח לורן (כלומר, זהו בעצם פיתוח טיילור) - הנקודה היא סליקה.
  • אם יש מספר סופי של חזקות שליליות, הנקודה היא קוטב.
  • אם יש אינסוף חזקות שליליות, הנקודה היא נקודת סינגולריות עיקרית.

החלק של הטור שמכיל את החזקות השליליות נקרא החלק העיקרי של הטור.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • נביט בפונקציה \ \frac{1}{1-z}. בעיגול \ |z|<1 קיים לה פיתוח טיילור: \ \frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^\infty z^n (זהו טור הנדסי מתכנס).

אנו רוצים לראות כיצד ניתן לתאר את הפונקציה גם "מעבר" לעיגול הזה. נשים לב כי \ \frac{1}{1-z}=-\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{z}}=-\frac{1}{z}\cdot\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{z}\right)^n=-\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{z^{n+1}}=-\sum_{n=-\infty}^{-1} z^n.

גם פיתוח זה התבסס על ההכרה שלנו את נוסחת הטור ההנדסי המתכנס. במקרה זה הפעלנו אותה על הפונקציה \ \frac{1}{1-\frac{1}{z}} ולכן הפיתוח מתכנס בתחום \ \left|\frac{1}{z}\right|<1, כלומר עבור \ |z|>1. הטבעת של המישור כולו, פרט לעיגול היחידה.

  • נתבונן בפונקציה f(z) = \frac{\sin z}{z^2}. ניעזר בטור טיילור של פונקציית הסינוס, ונקבל פיתוח לורן ל f סביב 0:
f(z) = \frac{\sin z}{z^2} = \frac{z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots }{z^2} = \frac{1}{z} -\frac{z}{3!}+\frac{z^3}{5!}-\frac{z^5}{7!} +\cdots
אנליזה מרוכבת

מספר מרוכבשדה המספרים המרוכביםפונקציה מרוכבתפונקציה הולומורפיתפונקציה שלמהנוסחת אוילרמשוואות קושי-רימןמשפט אינטגרל קושינוסחת אינטגרל קושימשפט ליובילהמשפט היסודי של האלגברהטור לורןסינגולריותקוטבמשפט השאריותעקרון הארגומנטמשפט רושה

אנליזה מתמטיתחשבון אינפיניטסימליאנליזה וקטוריתטופולוגיהאנליזה מרוכבתאנליזה פונקציונליתתורת המידה