מספר מרסן

מספרי מרסן, הנקראים על שם המתמטיקאי האב מרן מרסן, הם מספרים שהם חזקה של 2 פחות 1, כלומר מן הצורה, $\ M_n=2^n-1$. ארבעת מספרי־מרסן הטבעיים הראשונים הם 1, 3, 7 ו-15.

למספרי מרסן ראשוניים יש קשר הדוק למספרים משוכללים, שהם מספרים השווים לסכום מחלקיהם. מבחינה היסטורית, המחקר על מספרי מרסן בא מקשר זה; אוקלידס הראה במאה ה-4 לפנה"ס שאם $\ M_n$ הוא מספר מרסן ראשוני אז $\frac{M_n(M_n+1)}{2}=2^{n-1}(2^n-1)$ הוא מספר משוכלל. כעבור כאלפיים שנה, במאה ה-18, הראה אוילר שלכל המספרים המשוכללים הזוגיים יש את התבנית הזו. לא ידוע על מספר אי-זוגי משוכלל, והשאלה אם יש כאלו היא עדיין בעיה פתוחה, אם כי חושדים שאין.

לא ידוע האם יש אינסוף מספרי מרסן ראשוניים.

החישוב:

$(2^a-1)\cdot (1+2^a+2^{2a}+2^{3a}+\dots+2^{(b-1)a})=2^{ab}-1$

מראה ש-$\ M_n$ יכול להיות ראשוני רק אם $\ n$ עצמו ראשוני, מה שמקל על החיפוש אחרי מספרי מרסן ראשוניים במידה ניכרת. אך ההפך אינו נכון; $\ M_n$ יכול להיות פריק כאשר $\ n$ ראשוני. לדוגמה, $\ 2^{11}-1=23\cdot 89$

החיפוש אחר מספרי מרסן ראשוניים

קיימים אלגוריתמים מהירים למציאת מספרי מרסן ראשוניים (כמו מבחן לוקאס-להמר למספרי מרסן), וכתוצאה מכך המספרים הראשוניים הגדולים ביותר הידועים היום הם מספרי מרסן.

החל מתחילת המאה ה-21 התפתח מאוד תחום חישוב מבוזר קהילתי. מציאת מספר ראשוני כרוכה בפעולות חישוביות רבות, אך ניתן לחלק את כלל המספרים לבדיקה בין משתמשים רבים שכל אחד בודק מספר אחר, ובדרך כלל יוקצה מספר זהה לשני בודקים שונים. בדרך זו גדלים הסיכויים למצוא מספרים אלה, אם כי בהחלט ייתכן שמספר גדול יותר ימצא לפני מספרים קטנים ממנו. למעשה, נכון לנובמבר 2009, נבדקו כל מספרי מרסן ברצף רק עד המספר $\ 2^{27,506,209}-1$.

הגוף שנטל על עצמו את ניהול המספרים, הקצאתם לבדיקה ובדיקת התוצאות החוזרות הוא GIMPS. גוף זה גם מכריז על מספרי מרסן חדשים שנתגלו, מעת לעת.

• ב-4 בספטמבר 2006 התגלה מספר מרסן הראשוני ה-44, $\ 2^{32,582,657}-1$. למספר ענק זה 9,808,358 ספרות עשרוניות.
• ב-23 באוגוסט 2008 התגלה מספר מרסן הראשוני ה-47, $\ 2^{43,112,609}-1$. מספר ענק זה, שהתגלה במחלקה למתמטיקה של אוניברסיטת קליפורניה בלוס אנג'לס, הוא בן 12,978,189 ספרות עשרוניות והוא המספר הראשוני הגדול ביותר הידוע נכון לשנת 2009. מספר זה הוכרז כמנצח הפרס בן $100,000 מטעם קרן החזית האלקטרונית.
• ב-6 בספטמבר 2008 התגלה מספר מרסן הראשוני ה-45, $\ 2^{37,156,667}-1$. למספר ענק זה 11,185,272 ספרות עשרוניות והוא התגלה על ידי משתמש גרמני מעיר ליד קולון בגרמניה. זה היה מספר מרסן הראשוני הראשון שנתגלה באופן בלתי רציף מאז 1988. בשל שיטת החישוב המבוזר, ייתכן שיש מספרי מרסן קטנים ממנו.
• ב-12 באפריל 2009 התגלה מספר מרסן הראשוני ה-46, $\ 2^{42,643,801}-1$, זהו מספר בן 12,837,064 ספרות עשרוניות, והוא המספר הראשוני השני בגדלו הידוע כיום (2009).

GIMPS העניקו $50,000 למחלקה למתמטיקה של אוניברסיטת קליפורניה בלוס אנג'לס, $25,000 מיועדים לצדקה ורוב שאר הכסף יועבר למגלים של ששת מספרי מרסן האחרונים.

למגלי המספר הראשוני הראשון שלו מאה מיליון ספרות ממתין פרס בן $150,000 מטעם קרן החזית האלקטרונית.

ראו גם

• קבוע ארדש-בורוויין
• מרסן (אסטרואיד)
• פרנק נלסון קול

קישורים חיצוניים

• שני מספרי מרסן ראשוניים בעלי יותר מעשרה מיליון ספרות התגלו באמצעות חישוב מבוזר קהילתי. ידיעה באתר באתר GIMPS