מספר מרסן

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

מספרי מרסן, הנקראים על שם המתמטיקאי האב מרן מרסן, הם מספרים שהם חזקה של 2 פחות 1, כלומר מן הצורה: \ M_n=2^n-1. ארבעת מספרי מרסן הטבעיים הראשונים הם 3, 7, 15 ו-31.

למספרי מרסן ראשוניים יש קשר הדוק למספרים משוכללים, שהם מספרים השווים לסכום מחלקיהם. מבחינה היסטורית, המחקר על מספרי מרסן בא מקשר זה: אוקלידס הראה במאה ה-4 לפנה"ס שאם \ M_n הוא מספר מרסן ראשוני אז \frac{M_n(M_n+1)}{2}=2^{n-1}(2^n-1) הוא מספר משוכלל. כעבור כאלפיים שנה, במאה ה-18, הראה אוילר שכל המספרים המשוכללים הזוגיים הם בתבנית זו. לא ידוע האם יש אינסוף מספרי מרסן ראשוניים. הפירוק (2^a-1)\cdot (1+2^a+2^{2a}+2^{3a}+\dots+2^{(b-1)a})=2^{ab}-1 מראה ש-\ M_n יכול להיות ראשוני רק אם \ n עצמו ראשוני, מה שמקל במידה ניכרת על חיפוש מספרי מרסן ראשוניים. אך ההפך אינו נכון: \ M_n יכול להיות פריק כאשר \ n ראשוני. לדוגמה, \ 2^{11}-1=23\cdot 89

לא ידוע האם קיים מספר משוכלל אי-זוגי. נימוקים היוריסטיים מראים שהתשובה ככל הנראה שלילית.

החיפוש אחר מספרי מרסן ראשוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

קיימים אלגוריתמים מהירים למציאת מספרי מרסן ראשוניים (כמו מבחן לוקאס-להמר למספרי מרסן), וכתוצאה מכך המספרים הראשוניים הגדולים ביותר הידועים היום הם מספרי מרסן.

החל מתחילת המאה ה-21 התפתח מאוד התחום של חישוב מבוזר קהילתי. מציאת מספר ראשוני כרוכה בפעולות חישוביות רבות, אך ניתן לחלק את כלל המספרים לבדיקה בין משתמשים רבים כך שכל אחד בודק מספר אחר, ובדרך כלל יוקצה מספר זהה לשני בודקים שונים. בדרך זו גדלים הסיכויים למצוא מספרים אלה, אם כי בהחלט ייתכן שמספר גדול יותר יימצא לפני מספרים קטנים ממנו. למעשה, נכון לנובמבר 2009, נבדקו כל מספרי מרסן ברצף רק עד המספר \ 2^{27,506,209}-1.

הגוף שנטל על עצמו את ניהול המספרים, הקצאתם לבדיקה ובדיקת התוצאות החוזרות הוא GIMPS. גוף זה גם מכריז על מספרי מרסן חדשים שנתגלו, מעת לעת.

  • ב-4 בספטמבר 2006 התגלה מספר מרסן הראשוני ה-44, \ 2^{32,582,657}-1. למספר זה 9,808,358 ספרות עשרוניות.
  • ב-23 באוגוסט 2008 התגלה מספר מרסן הראשוני ה-47, \ 2^{43,112,609}-1. מספר זה, שהתגלה במחלקה למתמטיקה של אוניברסיטת קליפורניה בלוס אנג'לס, הוא בן 12,978,189 ספרות עשרוניות. מספר זה הוכרז כמנצח הפרס בן $100,000 מטעם קרן החזית האלקטרונית.
  • ב-6 בספטמבר 2008 התגלה מספר מרסן הראשוני ה-45, \ 2^{37,156,667}-1. למספר זה 11,185,272 ספרות עשרוניות והוא התגלה על ידי משתמש גרמני מעיר ליד קלן בגרמניה. זה היה מספר מרסן הראשוני הראשון שנתגלה באופן בלתי רציף מאז 1988. בשל שיטת החישוב המבוזר, ייתכן שיש מספרי מרסן קטנים ממנו.
  • ב-12 באפריל 2009 התגלה מספר מרסן הראשוני ה-46, \ 2^{42,643,801}-1, זהו מספר בן 12,837,064 ספרות עשרוניות והוא גם מספר שמח.
  • ב-25 בינואר 2013[1] התגלה מספר מרסן הראשוני ה-48, \ 2^{57,885,161}-1, זהו מספר בן 17,425,170 ספרות עשרוניות, והוא המספר הראשוני הגדול ביותר הידוע נכון ליום גילויו.

GIMPS העניקו $50,000 למחלקה למתמטיקה של אוניברסיטת קליפורניה בלוס אנג'לס, $25,000 מיועדים לצדקה ורוב שאר הכסף יועבר למגלים של ששת מספרי מרסן האחרונים.

למגלי המספר הראשוני הראשון שלו מאה מיליון ספרות ממתין פרס בן $150,000 מטעם קרן החזית האלקטרונית[2].

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]