מרחב כיסוי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה ובמיוחד בטופולוגיה, מרחב כיסוי הוא מרחב טופולוגי C אשר "מכסה" מרחב טופולוגי אחר X באמצעות הומיאומורפיזם מקומי ועל \,p:C \rightarrow X הנקרא העתקת כיסוי. מרחבי כיסוי נלמדים בטופולוגיה אלגברית, אך יש להם חשיבות גם בענפים נוספים במתמטיקה, כגון גאומטריה דיפרנציאלית, חבורות טופולוגיות ומשטחי רימן.

התורה של מרחבי כיסוי קשורה קשר הדוק לחבורה היסודית של מרחב.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

מרחב כיסוי של מרחב טופולוגי X הוא מרחב טופולוגי C ביחד עם פונקציה רציפה \,p:C \rightarrow X על X, כך שלכל נקודה \,x \in X קיימת סביבה פתוחה U כך ש- \ p^{-1}(U) היא איחוד זר של קבוצות פתוחות בC, שכל אחת מהן הומיאומורפית ל-U באמצעות p. במילים אחרות, ניתן לרשום \,p^{-1}(U) = \bigcup_{\alpha \in I} U_{\alpha} כאשר לכל \,\alpha \in I, הקבוצה \,U_{\alpha} היא קבוצה פתוחה בC, והפונקציה \,p|_{U_{\alpha}}:U_{\alpha}\rightarrow U היא הומיאומורפיזם.

ההעתקה p נקראת העתקת כיסוי, והמרחב X נקרא לעתים קרובות הבסיס של הכיסוי. הקבוצות U נקראות סביבות המכוסות באופן אחיד. סביבות המכוסות באופן אחיד יוצרות כיסוי פתוח של X. העותקים ההומיאומורפים בC של סביבה המכוסה באופן אחיד U נקראים יריעות (Sheets) מעל U.

אפשר לדמיין את C כמרחב ה"מרחף" מעל X: היריעות נמצאות מעל U, והמקורות השונים של x נמצאים בקו אנכי מעל x, אחד מעל השני.

מרחב כיסוי אוניברסלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

מרחב כיסוי Y של X נקרא אוניברסלי אם הוא מרחב פשוט קשר. במקרה זה, הוא מקיים את התכונה האוניברסלית הבאה: Y מכסה כל מרחב כיסוי קשיר C של X, כלומר: אם \,\psi :Y \rightarrow X ו-\,p:C \rightarrow X אז קיימת פונקציה רציפה יחידה \,f :Y \rightarrow C כך ש-\psi = p \circ f.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

((p(t) = (cos(t),sin(t
העתקה זו מהווה כיסוי של S1, כך שכל נקודה מכוסה על ידי אינסוף נקודות.
p(z) = zn
זהו כיסוי של מרחב זה, כך שכל נקודה מכוסה על ידי n נקודות שונות (מכיוון שלכל מספר מרוכב השונה מ-0 יש בדיוק n שורשים שונים).