משפטי פיקארד

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באנליזה מרוכבת, משפטי פיקארד הם שני משפטים שנותנים מידע בדבר תמונת פונקציה אנליטית של המישור המרוכב כולו או סביב נקודת סינגולריות עיקרית יחידה. הם נקראים על שם המתמטיקאי אמיל פיקארד, ונהוג לכנותם בשמות "משפט פיקארד הקטן" ו"משפט פיקארד הגדול". פיקארד הוכיח אותם בשנים 1879 ו-1880 בהתאמה. הם מהווים הכללה מרחקית לכת של משפטי קסורטי וירשטרס, הקובעים כי תמונה כנ"ל היא קבוצה צפופה.

ניסוח[עריכת קוד מקור | עריכה]

המשפט הקטן[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי f:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C} פונקציה מרוכבת שלמה ולא קבועה, אזי תמונת הפונקציה היא המישור המרוכב כולו, או המישור המרוכב פרט לנקודה אחת.

המשפט הגדול[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי f פונקציה מרוכבת, אנליטית בסביבה U, פרט לנקודת סינגולריות עיקרית z_{0} \in U. אז לכל סביבה z_0 \in S\subseteq U, הקבוצה f(S) שווה למישור המרוכב כולו, או למישור המרוכב כולו פרט לנקודה אחת. יותר מכך, כל ערך שמתקבל מתקבל מספר אינסופי (בן מנייה) של פעמים.

במילים אחרות, תמונת פונקציה אנליטית סביב סינגולריות עיקרית היא כל המישור, או כל המישור פרט לנקודה אחת, שמתקבל אינסוף פעמים.

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

המשפט הקטן[עריכת קוד מקור | עריכה]

ההוכחה היא בשלילה. נניח בשלילה כי הפונקציה לא מקבלת את הערכים a \neq b, a,b \in \mathbb{C}. ניתן להניח כי a=1,b=0 (אחרת נביט בפונקציה \frac {f(z)-a}{b-a}).

נגדיר כעת סדרה של פונקציות עזר.

הנחנו \forall z \in \mathbb{C} : f(z) \neq 0, לכן מוגדרת ואנליטית פונקציית הלוגוריתם המרוכב h(z)= \frac{1}{2 \pi i} log(f(z)). כעת, \forall z \in \mathbb{C} : f(z) \neq 1, ולכן h לא מקבלת ערכים שלמים. לכן, קיים לפונקציות h,h-1 שורש ריבועי אנליטי מרוכב, כלומר יש פונקציות u,v אנליטיות כל ש-u^2=h,v^2=h-1. אז u-v=1 \neq 0 ולכן מוגדר ואנליטי \phi (z)=log(u-v). כלומר u-v= {e}^{\phi},u+v= {e}^{-\phi}, ולכןu=\frac{{e}^{\phi}+{e}^{-\phi}}{2}. לכן \phi לא קבועה (אחרת u קבועה ואז f קבועה).

בשלב הבא, נגדיר סדרת נקודות במישור המרוכב: \gamma (m,n)= \pm ln(\sqrt{m}+\sqrt{m-1}) + \frac{\pi n i}{2}, m \in \mathbb{N}, n \in \mathbb{Z}.

חישובים ישירים מראים כי על עיגול פתוח ברדיוס אחד מכיל לפחות נקודה אחת כזו, וכל נקודה כזו לא נמצאת בתמונה \phi (\mathbb{C}), וזו סתירה למסקנה ממשפט בלוך-לנדאו (ראו גם כאן), הקובעת כי כל תמונת כל פונקציה אנליטית לא קבועה מכילה עיגול ברדיוס 1.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • הפונקציה e^{z} היא דוגמה לפונקציה שמקיימת את תנאי המשפט הקטן. היות שהפונקציה לא מקבלת את הערך 0, נובע מהמשפט הקטן כי היא מקבלת בהכרח כל ערך אחר, כלומר תמונתה היא C-\{ 0\} .
  • הפונקציה {e}^{\frac{1}{z}} שמוגדרת בכל נקודה פרט לנקודת הסינגולריות העיקרית z=0, מקיימת את תנאי המשפט הגדול. לכן לפי המשפט תמונתה היא גם כן C-\{ 0\} .
  • פונקציה שלמה שאיננה פולינום מקבלת כל ערך אינסוף פעמים. כדי להוכיח זאת יש להביט בפונקציה f(\frac{1}{z}), לה יש נקודה סינגולרית עיקרית סביב האפס, ולכן היא מקיימת את התנאים של משפט פיקראד הגדול.
  • כמסקנה מהתוצאה הקודמת, כל פונקציה שלמה וחד חד ערכית היא בהכרח פולינום ממעלה 1 בדיוק, כלומר פולינום לינארי. אכן, היא בהכרח פולינום אחרת לפי הסעיף הקודם היא לא חד חד ערכית; יותר מכך, ידוע שכל פולינום מרוכב ממעלה 2 לפחות איננו חד חד ערכי (ניתן להוכיח זאת למשל באינדוקציה).

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.