משפטי פיקארד

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באנליזה מרוכבת, משפטי פיקארד הם שני משפטים שנותנים מידע בדבר תמונת פונקציה אנליטית סביב נקודת סינגולריות עיקרית יחידה. הם נקראים על שם המתמטיקאי אמיל פיקארד. נהוג לכנותם בשמות "משפט פיקארד הקטן" ו-"משפט פיקארד הגדול". פיקארד הוכיח אותם בשנים 1879 ו-1880 בהתאמה.

ניסוח[עריכת קוד מקור | עריכה]

המשפט הקטן:

תהי f:C\rightarrow C פונקציה מרוכבת שלימה ולא קבועה, אזי תמונת הפונקציה היא המישור המרוכב כולו, או המישור המרוכב פרט לנקודה אחת.

המשפט גדול:

תהי f פונקציה מרוכבת, אנליטית בסביבה U, פרט לנקודת סינגולריות עיקרית z_{0} \in U. אז לכל סביבה S\subseteq U, הקבוצה f(S) שווה למישור המרוכב כולו, או למישור המרוכב כולו פרט לנקודה אחת. יותר מכך, כל ערך מתקבל מספר אינסופי של פעמים.

במילים אחרות, תמונת פונקציה אנליטית סביב סינגולריות עיקרית היא כל המישור, או כל המישור פרט לנקודה אחת, שמתקבל אינסוף פעמים.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • הפונקציה e^{z} היא דוגמה לפונקציה שמקיימת את תנאי המשפט הקטן. היות שהפונקציה לא מקבלת את הערך 0, נובע מהמשפט הקטן כי היא מקבלת בהכרח כל ערך אחר, כלומר תמונתה היא C-\{ 0\} .
  • הפונקציה { e }^{ \frac { 1 }{ z }  } שמוגדרת בכל נקודה פרט לנקודת הסינגולריות העיקרית z=0, מקיימת את תנאי המשפט הגדול. לכן לפי המשפט תמונתה היא גם כן C-\{ 0\} .

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.