משפט הבועה הכפולה

בועה כפולה.

בתאוריה המתמטית של משטחים מינימליים, משפט הבועה הכפולה (באנגלית: Double bubble theorem) קובע שהצורה שתוחמת ובה בעת מפרידה בין שני נפחים נתונים ואשר לה שטח הפנים המינימלי האפשרי היא בועה כפולה סטנדרטית: שלוש כיפות כדוריות הנפגשות בזוויות של 120° לאורך מעגל משותף. מכיוון שקרומי סבון מממשים משטחים מינימליים כאלה, המשפט מתאר למעשה את האופן שבו שתי בועות סבון כדוריות יתמזגו למשטח יחיד כאשר פני השטח שלהן באים במגע. משפט הבועה הכפולה נוסח ונחשב לנכון במהלך המאה ה-19, והפך למוקד מחקר מרכזי ב-1989, אך לא הוכח עד 2002.

ההוכחה שנמצאה משלבת מספר מרכיבים. הקומפקטיות של משטחים מראה שהפתרון קיים. טיעון סימטריה מוכיח שהפתרון חייב להיות גוף סיבוב, והוכח גם שהוא חייב להיות מורכב ממספר סופי של חתיכות חלקות. הוכחתה של ג'יין טיילור את חוקי פלטו מתארת איך החתיכות הללו חייבות להיות מעוצבות ומחוברות אחת לשנייה, ובדיקת מספר סופי של מקרים פרטיים הובילה למסקנה, שמבין כל גופי הסיבוב המחוברים בדרך זו, רק לבועה הכפולה הסטנדרטית יש שטח מינימלי.

משפט הבועה הכפולה מרחיב את אי השוויון האיזופרימטרי, לפיו העקומה בעלת ההיקף המינימלי התוחמת שטח נתון היא מעגל, והמשטח בעל שטח הפנים המינימלי העוטף נפח נתון הוא הספירה. תוצאות אנלוגיות על המעטפת האופטימלית של שני נפחים קיימות עבור משטחים בעלי אנרגיות (מתח פנים) שונות, למידות שונות המוגדרות על המשטחים, ולמרחבים אוקלידיים מכל ממד.

צורת קרומי סבון כפתרון לבעיות איזופרימטריות

פתרון מתמטי מדויק של בעיות איזופרימטריות, השואפות לקבוע מתאר גאומטרי בעל שטח פנים (או היקף אם מדובר על שני ממדים) מינימלי תחת אילוצים מסוימים, דורש כלים הלקוחים מתחום חשבון הווריאציות, שבאמצעותם ניתן לקבוע צורת מתאר עבורה וריאציית שטח הפנים של שפת התחום מתאפסת עבור כל וריאציה משמרת נפח של התחום. זהו התנאי המתמטי לנקודת קיצון של פונקציונל. בעיות אלו נפתרות היטב על ידי מערכות של קרומי סבון התוחמות זורם דחוס, מכיוון שלקרומים כאלו יש אנרגיה היחסית לשטח הפנים שלהם, כך שעל פי העיקרון הפיזיקלי שמערכות מתייצבות במצב של מינימום אנרגיה נובע שקרומים אלו מקבלים צורה הפותרת את הבעיה.

ההמשגה הפיזיקלית של התחומים אותם עוטפים קרומי הסבון ככאלו המכילים זורם מועילה במיוחד בפתרון בעיות איזופרימטריות, ומשום שזורמים (נוזלים או גזים) מעבירים לחץ באופן אחיד לכל חלקיהם (חוק פסקל), ובפרט יוצרים לחץ זהה על שפת התחום. כפועל יוצא מכך, כל וריאציה משמרת נפח אינה תורמת לאנרגיית המערכת, ומאפשרת לבודד את אנרגיית שטח הפנים, כך שמערכת של קרומי סבון התוחמים זורם דחוס אכן ממזערת את שטח הפנים. אילולא הלחץ בתוך התחום היה אחיד, אז הזזה אינפיניטסימלית של שפת התחום בנקודה בה הלחץ גבוה לא הייתה מתקזזת אנרגטית עם הזזה אינפיניטסימלית בנקודה בה הלחץ נמוך. כפי שיוסבר בהמשך, לרעיון זה של "לחץ פנימי", על אף שיש לו מקור פיזיקלי ולא מתמטי, יש חשיבות, למשל, בקביעת רדיוסי העקמומיות של בועה כפולה סטנדרטית.

ההקבלה הפיזיקלית הזאת מסייעת גם בפתרון שעשועי מתמטיקה העוסקים בבעיות איזופרימטריות; למשל, כיצד לחלק מצולע נתון לשני תחומים זהים בשטחם בעזרת עקומה בעלת היקף מינימלי. במקרה זה, הרעיון של "לחץ פנימי" אחיד של הנוזל לאורך העקומה מאפשר להסיק כי עקומה זו היא בהכרח בעלת עקמומיות קבועה, כלומר קשת של מעגל. תנאי נוסף, האנלוגי לנוסחה לזווית הרטבה מתורת הנימיות, מאפשר להסיק כי קשת מעגלית זאת בהכרח חותכת את צלעות המצולע בזוויות ישרות.

ניסוח המשפט

חוקי פלטו קובעים שהמעטפת החלקה למקוטעין בעלת שטח הפנים המינימלי שתוחמת נפח נתון או קבוצה של נפחים נתונים חייבת לקבל את הצורה הנצפית בבועות סבון, שבהן משטחים בעלי עקמומיות ממוצעת קבועה נפגשים בשלשות, ויוצרים זוויות דיהדרליות של 120° ($2\pi /3$ רדיאנים). בבועה כפולה סטנדרטית, שלוש כיפות כדוריות נפגשות בזוויות הזאת לאורך מעגל משותף. שתיים מהכיפות הכדוריות הללו יוצרות את השפה החיצונית של הבועה הכפולה בעוד שהשלישית שבחלק הפנימי מפרידה את שני הנפחים אחד מהשני. בבועות פיזיקליות, הרדיוסים של הכיפות הכדוריות יחסיים הפוך להבדל הלחצים בין הנפחים אותן הן תוחמות, בהתאם למשוואת יאנג-לפלס. במסגרת האנלוגיה בין בעיות מזעור שטח פנים לצורת קרומי סבון, הקשר הזה בין הלחץ לרדיוס משתקף מתמטית בעובדה שבעבור כל בועה כפולה סטנדרטית, שלושת הרדיוסים $r_{1}$, $r_{2}$, ו-$r_{3}$ של שלוש הכיפות הכדוריות מקיימים את המשוואה:

$${\frac {1}{r_{1}}}={\frac {1}{r_{2}}}+{\frac {1}{r_{3}}},$$

בועות כפולות במישור האוקלידי בעבור שלושה צירופים שונים של שטחים. סיבוב כל אחת מהן בתלת-ממד, עם ציר הסימטריה האנכי כציר הסיבוב, מפיק בועה כפולה תלת-ממדית כגוף סיבוב.

כאשר $r_{1}$ הוא הרדיוס הקטן יותר בין שתי הכיפות החיצוניות. הצידוק למשוואה זו הוא שמכיוון שלכל המשטחים הכדוריים מתח פנים זהה $\gamma$, הלחץ בתוך כל אחד מהנפחים התחומים הוא $2\gamma /r_{1}$ ו-$2\gamma /r_{2}$ בהתאמה, כך שמכך שרדיוס העקמומיות של הכיפה הפנימית המפרידה בין הנפחים צריך לתאום להפרש הלחצים בין התחומים נובע למעשה הקשר לעיל. בפרט, במקרה שבו שני הנפחים והרדיוסים שווים, חישוב הרדיוס האמצעי נותן ערך אינסופי, ובמקרה זה יש לפרש את המשטח האמצעי כעיגול שטוח, שהוא למעשה הגבול של כיפה כדורית בעלת רדיוס אינסופי. כהסבר אינטואיטיבי לנכונות הכלל לפיו הכיפות נפגשות בזווית של 120°, ניתן להתייחס לחתך רוחב של בועה כפולה סטנדרטית, ולהסתייע בהמשגת מתח הפנים ככוח הפועל על יחידת אורך של המעגל המשותף לשלוש הכיפות; כל אחד מקרומי בועות הסבון מפעיל כוח זהה על אלמנט אורך של מעגל זה, ומכך שהקונפיגורציה היציבה היחידה של שלושה ווקטורי כוח שווים בגודלם הנפגשים בנקודה (כלומר, קונפיגורציה בה סכומם הוא אפס) מתקבלת כאשר הם נפגשים בזוויות זהות של 120°, נובע למעשה כלל זה. משפט הבועה הכפולה קובע שבעבור כל שני נפחים, הבועה הכפולה הסטנדרטית (המצייתת לכללים שתוארו מקודם) היא הצורה בעלת השטח המינימלי שעוטפת אותם; שום קבוצה אחרת של משטחים עוטפת את אותה כמות של מרחב עם פחות שטח פנים כולל.

במישור האוקלידי, באופן אנלוגי, ההיקף הכולל המינימלי של מערכת עקומים העוטפת שני שטחים נתונים מתקבל על ידי שלוש קשתות מעגליות, עם אותו קשר בין הרדיוסים שלהם, והנפגשות באותה זווית של 120°. בעבור שני שטחים שווים, הקשת האמצעית מתנוונת לכדי קטע של קו ישר. הבועה הכפולה הסטנדרטית התלת-ממדית היא גוף סיבוב של הבועה הכפולה הדו-ממדית הזאת. בכל ממד גבוה יותר, המעטפת האופטימלית של שני נפחים היא שוב שלוש כיפות של היפר-ספירות, הנפגשות כולן בזווית 120°.

ההוכחה

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו.

ראו גם

• בועת סבון

קישורים חיצוניים

• משפט הבועה הכפולה, באתר MathWorld (באנגלית)