משתמש:Yehuger/לגראנז'יאן

בפיזיקה, לגראנז'יאן (או לגרנג'יאן) היא פונקציה המתארת מערכת פיזיקלית (בדרך כלל חסרת חיכוך או דיסיפציה אחרת). השימוש הראשון בלגראנז'יאן היה בפורמליזם הלגראנז'י של המכניקה הקלאסית שפותח על ידי ז'וזף-לואי לגראנז' במאה ה-18. עם התפתחות הפיזיקה במאה ה-20, הפך הלגראנז'יאן לכלי עיקרי בניסוח תיאוריות פיזיקליות קוונטיות בגלל הקלות בהכללתו לתורת שדות ווהעובדה שבפיזיקה המודרנית תורות שדה הן הדרך לתאר את מרבית הכוחות בטבע.

באופן כללי, מערכת פיזיקלית מתוארת על ידי משתנים בלתי-תלויים ומשתנים תלויים שהם פונקציות של המשתנים הלא-תלויים. התנועה של המערכת מתוארת על ידי הפונקציות הללו. הלגראנז'יאן הוא פונקציה של המשתנים הלא-תלויים, המשתנים התלויים והנגזרות של המשתנים התלויים לפי המשתנים הלא-תלויים. בדרך כלל, ניתן להסתפק בנגזרות מסדר ראשון. בכל הפיזיקה הידועה כיום, התלות במשתנים התלויים היא לוקאלית, כלומר הלגראנז׳יאן לא כולל את ערכי המשתנים התלויים בשתי ערכים שונים במשתנים התלויים. במכניקה אנליטית, המשתנה הבלתי תלוי הוא הזמן, המשתנים התלויים הם הקואורדינטות המוכללות, והנגזרות שלהם לפי המשתנים הלא תלויים הם המהירויות המוכללות. הלגראנז'יאן, לפיכך, הוא פונקציה של הזמן, של הקואורדינטות המוכללות ושל המהירויות המוכללות.

ללגראנז'יאן יש קשר עם הסימטריות המתקיימות במערכת. ניתן להשתמש בסימטריות של המערכת כדי לבנות את הלגראנז'יאן. לדוגמה, מאחר שבמכניקה אנליטית, חלקיק חופשי יכול לנוע באותו אופן בכל אחד מהכיוונים במרחב (איזוטרופיות), הלגראנז'יאן של חלקיק כזה לא יכול להכיל את המהירות הווקטורית של החלקיק (שהיא תלוית כיוון), אלא רק את גודלה. בתורת היחסות הפרטית, הלגראנז'יאן חייב להיות סקלר לורנץ, וכך התנועה שהמערכת שמתוארת על ידו תקיים תהיה אינווריאנטית לטרנספורמציות לורנץ. הקשר של הלגראנז'יאן לסימטריה מתחזק עם השימוש במשפט נתר, הקובע שאם הלגראנז'יאן אינווריאנטי לטרנספורמציה מסוימת, יהיה קיים במערכת גודל נשמר הקשור לאינווריאנטיות. כך לדוגמה, האינווריאנטיות לסיבוב שנובעת מהאיזוטרופיות יוצרת את שימור התנע הזוויתי.

בתורות קלאסיות (להבדיל מקוונטיות), הפעולה, שהיא הפונקציונל שמתקבל מאינטגרציה של הלגראנז'יאן לפי המשתנים הלא-תלויים לאורך המסלול בו המערכת נעה, היא סטציונרית. עקרון זה, הידוע בשם עקרון המילטון, מאפשר למצוא את משוואות התנועה של המערכת שהן משוואות דיפרנציאליות אותן מקיימים המשתנים התלויים. משוואות אלו נקראות משוואת אוילר-לגראנז'.

גם בתורות קוונטיות, יש יתרון לשימוש בלגראנז'יאן על פני ניסוחים אחרים. במכניקה קוונטית הלגראנז'יאן משמש בניסוח של התיאוריה באמצעות אינטגרלי מסלול, והעקרון אותו שיטה זו מתארת היא שהחלקיק נע לאורך כל המסלול האפשריים בין שתי נקודות הקצה, וצובר פאזה לפי הפעולה. ההרחבה של עקרון זה לתורת שדות קוונטיים נעשה באמצעות עקרון הפעולה של שווינגר, והוא מניב את משוואת שווינגר-דייסון.

תכונות וסימטריה

על אף שהשימוש בלגראנז׳יאן בחלקים שונים של הפיזיקה משתנה, ישנן מספר תכונות המשותפות ללגראנז׳יאן באופן כללי. תכונות אלו נובעים מהאפיון והתיאור המתמטי של מערכות פיזיקלית. חלק מהמאפיינים של הלגראנז׳יאן הוצגו במבוא. הלוקליות של פונקציית הלגראנז׳יאן היא הנחה לגבי תנועת מערכת פיזיקלית ובאופן מתמטי טהור אפשר ליצור מערכות שלא יכולות להיות מתוארות על ידי פונקציה לוקלית.

הנחה נוספת לגבי הלגראנז׳יאן הוא שאם לגראנז׳יאן מסוים מתאר את תנועתה של מערכת סגורה אחת, ולגראנז׳יאן שני מתאר את תנועתה של מערכת שנייה, סכום הלגראנז׳יאנים יתאר את שתי המערכות יחדיו אם הן אינן מבצעות אינטראקציה זו עם זו. אם מתקיימת אינטראקציה הלגראנז׳יאן של שתי המערכות יחדיו יהיה סכום של שני הלגראנז׳יאנים המקוריים ופונקציה נוספת שמתארת את האינטראקציה.

מאחר שהלגראנז'יאן מתאר את המערכת הפיזיקלית, הוא חייב לקיים את הסימטריות שקיימות במערכת הפיזיקלית. כך לדוגמה, אם המערכת הפיזיקלית תנוע באותו אופן כאשר היא נעה בין הזמנים $t_{1}$ ו-$t_{2}$ ובין הזמנים $t_{1}+dt$ ו-$t_{2}+dt$ (תכונה הנקראת סימטריה להזזה בזמן), אז הלגראנז'יאן לא יכול להיות תלוי באופן ישיר בזמן. באופן דומה, אם המערכת הפיזיקלית אינווריאנטית תחת טרנספורמציית לורנץ אז הלגראנז׳יאן צריך להיות סקלר לורנץ. בתורת שדות, ובפרט בתורת שדות קוונטיים), הדרישה הזו מחייבת שכל שדה פיזיקלי שמתואר על ידי הלגראנז׳יאן יהיה הצגה של חבורת פואנקרה. להצגות שונות יש ערכי ספין ומסה שונה, ובכך מתאפשרים חלקיקים יסודיים שונים בתורת השדות הקוונטיים.

תורות קלאסיות

במערכות פיזיקליות קלאסיות מתקיים עקרון המילטון, לפיו אם המערכת מתוארת על ידי לגראנז'יאן מהצורה $L\left(q(s),{\frac {dq}{ds}},s\right)$ היא תנוע בין הנקודות $q_{1}(s_{1})$ ו-$q_{2}(s_{2})$ לאורך מסלול שיקיים $\delta \int _{s_{1}}^{s_{2}}L\left(q,{\frac {dq}{ds}},s\right)ds=0$ לכל וריאציה של המסלול. את ההצהרה הזו ניתן להרחיב למצב בו במערכת קיים יותר מאשר משתנה בלתי תלוי אחד. משוואות אוילר-לגראנז' מתקבלות מעיקרון וריאציוני זה, ולפיהם התנועה של המערכת חייבת לקיים: ${\frac {d}{ds}}{\frac {\partial L}{\partial \left({\frac {dq}{ds}}\right)}}-{\frac {\partial L}{\partial q}}=0$.

מכניקה קלאסית

ערך מורחב – מכניקה לגראנז'ית
במכניקה קלאסית, בעיית התנועה מסתכמת במציאת מסלולם של חלקיקים שונים כפונקציה של הזמן. כלומר הזמן הוא המשתנה הבלתי-תלוי של המערכת, ומיקומם של החלקיקים הם המשתנים התלויים. מכניקה קלאסית אינווריאנטית לטרנספורמציות גליליי - אם צופה מסוים רואה את הגופים במערכת נעים במהירויות ${\vec {v}}_{i}$ אז צופה שנע ביחס לצופה הראשון במהירות ${\vec {V}}$ יראה את הגופים נעים במהירות ${\vec {v}}'_{i}={\vec {v}}_{i}-{\vec {V}}$. לפיכך, על מנת שעקרון המילטון יתקיים בשתי מערכות הייחוס ההפרש בין הלגראנז'יאנים של שתי מערכות הייחוס חייב להיות נגזרת מלאה של פונקציה כלשהי לפי הזמן.

חלקיק חופשי

גוף נקודתי חופשי במכניקה הקלאסית מקיים סימטריה להזזה בזמן, להזזה במרחב, ולסיבוב של הכיוונים במרחב. לאור זאת, הלגראנז'יאן של גוף נקודתי חופשי לא יכול להיות תלוי באופן ישיר בזמן, בקואורדינטות המוכללות ובכיוון של המהירויות המוכללות. לכן הלגראנז'יאן של גוף כזה חייב להיות מהצורה $L({\vec {x}},{\vec {v}},t)=L(v^{2})$.

מכניקה קלאסית גם מקיימת סימטריה לטרנספורמציות גליליי זה יכול להתקיים רק אם ${\frac {\partial L}{\partial (v^{2})}}$ קבוע, ולכן נקבל עבור גוף חופשי $L({\vec {x}},{\vec {v}},t)=T({\vec {v}})={\frac {1}{2}}mv^{2}$ כאשר $m$ היא המסה של הגוף ו-$T$ היא האנרגיה הקינטית. נשים לב שמתקבל $L({\vec {x}}',{\vec {v}}',t)=L({\vec {x}},{\vec {v}},t)+{\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}m\left(V^{2}t-2{\vec {V}}\cdot {\vec {r}}\right)\right)$.

אינטראקציה רגילה

לפי ההנחה שהובאה בחלק התכונות, כאשר במערכת קיימים מספר חלקיקים שונים שלא מקיימים אינטראקציה זה עם זה, הלגראנז'יאן יהיה סכום הלגראנז'יאנים. אם קיימת אינטראקציה בין החלקיקים או שהחלקיקים אינם חופשיים (כלומר הם מקיימים אינטראקציה עם גורם חיצוני - לדוגמה שדה כבידה). בדרך כלל האינטראקציה תלויה רק במיקום החלקיקים ולא במהירותם, במקרים כאלה ניתן להוסיף ללגראנז'יאן איבר מהצורה $-U({\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{2},...)$ (כאשר $U$ נקרא האנרגיה הפוטנציאלית). את הלגראנז'יאן יש לתאר באמצעות הקואורדינטות המוכללות, ולכן באופן כללי במכניקה קלאסית הלגראנז'יאן של מערכת פיזיקלית הוא:

$L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)=T(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)-U(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)$

כאן $\mathbf {q}$ היא קבוצת קואורדינטות מוכללות ($q_{1},q_{2}...q_{n}$) ו-$\mathbf {\dot {q}}$ הן המהירויות המוכללות. התלות הישירה בזמן מתקיימת רק אם הקואורדינטות תלויות בזמן באופן ישיר, או שהאינטראקציה תלויה בזמן באופן ישיר (וכך נשברת הסימטריה להזזה בזמן). אם הקואורדינטות המוכללות לא תלויות בזמן באופן ישיר, מתקיים $T(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)=\sum _{i,j}f(q_{i},q_{j}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}$, כלומר האנרגיה הקינטית היא תבנית ביליניארית של המהירויות המוכללות.

שדה אלקטרומגנטי

במקרה של האינטראקציה עם השדה האלקטרומגנטי, האינטראקציה תלויה במהירות של החלקיק. במקרה זה, ניתן לרשום את הלגראנז'יאן על ידי:

$L({\vec {x}},{\vec {v}},t)={\frac {1}{2}}mv^{2}-q\phi +{\frac {q}{c}}{\vec {A}}\cdot {\vec {v}}$

כאשר $\phi$ הוא הפוטנציאל החשמלי, ו-${\vec {A}}$ הפוטנציאל המגנטי. במקרה זה, הגודל $U({\vec {x}},{\vec {v}},t)=q\left[\phi -{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {A}}}{c}}\right]$ משמש כפוטנציאל, והוא תלוי במהירות החלקיק.

יחסות פרטית

בתורת היחסות הפרטית, הזמן והמרחב מקבלים את אותה חשיבות מבחינת המשמעות הפיזיקלית. ולכן שימוש בזמן במערכת ייחוס מסוימת בתור המשתנה הבלתי-תלוי איננו טבעי, והההעדפה היא להשתמש בפרמטר אפיני שהוא סקלר לורנץ. הסימטריה של הלגראנז׳יאן מחייבת שההפרש בין הלגראנז׳יאנים של שתי מערכות ייחוס הקשורות באמצעות טרנספורמציית לורנץ יהיו נגזרת מלאה של פונקציה כלשהי לפי המשתנה האפיני.

חלקיק חופשי

עבור חלקיק חופשי, הסימטריה להזזה בזמן ובמרחב, יחד עם האינווריאנטיות לטאנספורמציות לורנץ גורמת לכך שהלגראנזי'אן היחידי האפשרי הוא $L(x^{\mu },{\frac {dx^{\mu }}{d\sigma }},\sigma )=-{\frac {\alpha }{2}}{\frac {dx^{\mu }}{d\sigma }}{\frac {dx_{\mu }}{d\sigma }}$ עבור קבוע כלשהו. עבור חלקיק מסיבי, ניתן להשתמש באורך קו העולם $ds={\sqrt {c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}}}$ בתור הפרמטר האפיני $\sigma$. במקרה זה, אם נכתוב את הלגראנז'יאן כפונקציה של הזמן במערכת ייחוס אינרציאלית, נקבל:$L(x^{\mu },{\frac {dx^{\mu }}{dt}},t)=-\alpha {\frac {\sqrt {c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}}}{dt}}=-\alpha c{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}\approx -\alpha c+{\frac {\alpha }{2c}}v^{2}$

כאשר הקירוב נעשה בגבול של אנרגיות נמוכות. כדי להתאים למכניקה קלאסית, נדרוש ש-$\alpha =mc$, וכך נקבל שביחסות פרטית הלגראנז'יאן של חלקיק חופשי כשהוא מתואר בזמן במערכת יחוס אינרציאלית כמשתנה הבלתי תלוי הוא $L\left(x^{\mu },{\frac {dx^{\mu }}{dt}},t\right)=-mc^{2}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}=-{\frac {mc^{2}}{\gamma }}$.

חלקיק בשדה אלקטרומגנטי

השדה האלקטרומגנטי מתואר בתורת היחסות הפרטית באמצעות ה-4 פוטנציאל $\mathbf {A} _{\mu }(x^{\mu })=\left(\phi ,-{\vec {A}}\right)$. אם חלקיק מקיים אינטראקציה עם השדה יש להוסיף את איבר האינטראקציה ללגראנז'יאן. סימטריה של האינטראקציה לטרנספורמציית כיול קובעת שהאיבר האפשרי היחיד לאינטראקציה בלגראנז'יאן הוא: $-{\frac {q}{c}}\mathbf {A} _{\mu }{\frac {dx^{\mu }}{ds}}$. לכן מתקבל הלגראנז'יאן: $L(x^{\mu },{\frac {dx^{\mu }}{ds}},s)=-{\frac {mc}{2}}{\frac {dx^{\mu }}{ds}}{\frac {dx_{\mu }}{ds}}-{\frac {q}{c}}\mathbf {A} _{\mu }(x^{\mu }){\frac {dx^{\mu }}{ds}}$. משוואות אוילר-לגראנז' הן: $-mc{\frac {dx^{\nu }}{ds^{2}}}-{\frac {q}{c}}\left[{\frac {dA_{\nu }}{ds}}-{\frac {dx^{\mu }}{ds}}{\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}\right]=-mc{\frac {dx^{\nu }}{ds^{2}}}-{\frac {q}{c}}\left[{\frac {dx^{\mu }}{ds}}{\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}-{\frac {dx^{\mu }}{ds}}{\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}\right]=0$ ומכאן:

$mc^{2}{\frac {dx^{\mu }}{ds^{2}}}=q\left[\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\right]{\frac {dx^{\nu }}{ds}}=qF_{\mu \nu }{\frac {dx^{\nu }}{ds}}$

תורת שדות קלאסית

שדה קלאסי הוא משתנה פיזיקלי התלוי בזמן ובמרחב, אליהם מתייחסים כמשתנים לא-תלויים. גם לשדות ניתן לכתוב לגראנז'יאן המתאר את הפיזיקה של השדה, ואת משוואות אוילר-לגראנז' ניתן להרחיב למקרה של שדות קלאסיים, ובכך לקבל משוואות תנועה לשדות. מבחינה סמנטית, נהוג לקרוא לפונקציה של הזמן והמרחב צפיפות הלגראנז'יאן (ולסמנה ${\mathcal {L}}$), ולאינטגרל על פני המרחב שלה - הלגראנז'יאן (ולסמנו $L$). משוואות התנועה נגזרות מצפיפות הלגראנז'יאן. במצב כזה הלגראנז'יאן ${\mathcal {L}}\left(\varphi (\mathbf {x^{\mu }} ),\partial _{\mu }\varphi ,\mathbf {x^{\mu }} \right)$ מקיים עקרון וריאציוני לפיו $\delta \int _{\mathbf {x} _{1}^{\mu }}^{\mathbf {x} _{2}^{\mu }}{\mathcal {L}}\left(\varphi (\mathbf {x} ^{\mu }),\partial _{\mu }\varphi ,\mathbf {x} ^{\mu }\right)d^{d}\mathbf {x} =0$ (תנאי השפה של האינטגרל נקבעים לפי הבעיה). משוואות אוילר-לגראנז' המתקבלות הן:${\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}=0$.

תנועה של מיתר

אם נסתכל על מיתר (לדוגמה מיתר של גיטרה), ניתן לתאר את תנועתו באמצעות התזוזה האנכית של כל נקודה לאורך המיתר, כלומר באמצעות שדה מהצורה $h(x,t)$. צפיפות האנרגיה הקינטית של כל נקודה תלויה במהירות התזוזה של הנקודה, ולכן היא תהיה ${\frac {1}{2}}\lambda \left({\frac {dh}{dt}}\right)^{2}$ (כאשר $\lambda$ צפיפות המסה האורכית של המיתר), כדי לתאר את האנרגיה הפוטנציאלית של המיתר נשים לב שהאורך המקומי של המיתר מקיים $d\ell ={\sqrt {dx^{2}+dh^{2}}}=dx{\sqrt {1+\left({\frac {dh}{dx}}\right)^{2}}}\approx dx\left(1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {dh}{dx}}\right)^{2}\right)$, בהנחה שהמתיחות של המיתר קבועה $\tau$ אז האנרגיה הפוטנציאלית היא מכפלה של התארכות המיתר במתיחות. לפיכך צפיפות הלגראנז'יאן של המערכת תקיים:

${\mathcal {L}}(x,t)={\frac {1}{2}}\lambda \left({\frac {\partial h}{\partial t}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\tau \left({\frac {\partial h}{\partial x}}\right)^{2}$

ומשוואת התנועה הנגזרת ממנה תהיה משוואת הגלים: $\lambda {\frac {\partial ^{2}h}{\partial t^{2}}}=\tau {\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{2}}}$.

שדה קליין-גורדון

ערך מורחב – משוואת קליין-גורדון
באופן דומה לאופן בו בנינו את הלגראנז'יאן של חלקיק חופשי, ניתן לנסות לבנות את הלגראנז'יאן של שדה חופשי משיקולים של סימטריה. שדה חופשי יהיה שדה מרוכב מהצורה $\varphi ({\vec {x}},t)=\varphi (\mathbf {x} ^{\mu })$ ונניח שהשדה יכול להיות מרוכב. הסימטריות ביחס לטרנספורמציות לורנץ מחייבות שהאיבר היחיד שתלוי בנגזרות של השדה יהיה מהצורה ${\frac {1}{2}}\alpha \partial _{\mu }\varphi \partial ^{\mu }\varphi ^{*}$. באופן עקרוני כל איבר שתלוי רק בגודל השדה $V(\varphi \varphi ^{*})$ יקיים סימטריה ביחס לטרנספורמציות לורנץ. עם זאת, איברים מסדר גבוה מ-1 ייצרו אינטראקציה של השדה עם עצמו, כלומר משוואות התנועה יכילו איברים מהצורה $\varphi ^{n}$. לכן הלגראנז'יאן עבור שדה חופשי שלא מקיים אינטראקציה עם עצמו מקבל את הצורה:

${\mathcal {L}}(\mathbf {x} )=\partial _{\mu }\varphi ^{*}(\mathbf {x} )\partial ^{\mu }\varphi (\mathbf {x} )-m^{2}\varphi ^{*}(\mathbf {x} )\varphi (\mathbf {x} )$

האיבר השמאלי מזכיר את האנרגיה הקינטית של לגראנז'ין של חלקיקים, ולכן הוא נקרא האיבר הקינטי. האיבר הימני מתקשר למסה של החלקיק והוא נקרא איבר המסה. משוואת התנועה שהשדה מקיים היא: $(\partial _{\mu }\partial ^{\mu }+m^{2})\varphi =0$. משוואה זו נקראת משוואת קליין-גורדון, ויש לה חשיבות רבה בתורת שדות קוונטית.

השדה האלקטרומגנטי

צפיפות המטען מתוארת על ידי ה-4 וקטור $\mathbf {J} _{\mu }=\left(c\rho ,-{\vec {J}}\right)$. ניתן להגדיר את הטנזור האלקטרומגנטי $F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }\mathbf {A} _{\nu }-\partial _{\nu }\mathbf {A} _{\mu }$. נשים לב שכל השדות האלו הם פונקציות של הזמן-מרחב. צפיפות הלגראנז'יאן של השדה האלקטרומגנטי היא:

${\mathcal {L}}(\mathbf {x} )=-\mathbf {A} _{\mu }(\mathbf {x} )\mathbf {J} ^{\mu }(\mathbf {x} )-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }(\mathbf {x} )F^{\mu \nu }(\mathbf {x} )$

את האיבר הראשון ניתן מקבלים כשמנסים לכתוב לגראנז'יאן מהאינטראקציה בין חלקיק טעון לשדה החשמלי, המתוארת על-ידי כוח לורנץ. האיבר השני הוא האיבר הפשוט ביותר עבור שדה וקטורי שהוא סקלר לורנץ אינווריאנטי לטרנספורמציית כיול.

משוואות התנועה המתקבלות מצפיפות זו הם:$\partial _{\mu }F^{\mu \nu }=\mu _{0}\mathbf {J} ^{\nu }$, הצבת הפוטנציאלים והקשרים בינם לבין השדות מניבה את חוק גאוס (מ-$\nu =0$) ואת חוק פארדאיי.

בתורת הקוונטים

מבחינה היסטורית, הלגרנז׳יאן הופיע בתורת הקוונטים לאחר הניסוחים הקנוניים, והמשמעות שניתנה לו בדרך כלל הוסקה מהמשמעות של ההמילטוניאן או של משוואות התנועה.

מכניקה קוונטית

ערך מורחב – אינטגרלי מסלול
בתורת הקוונטים של חלקיקים הלא יחסותית

תורת שדות קוונטית

כוח האלקטרומגנטי, הכוח הגרעיני החלש עוברת דרך

ההלגראנז'יאן אינו יחיד: ישנן מספר פונקציות המתארות את אותה המערכת ומקיימות את משוואת אוילר-לגראנז'. בניגוד להמילטוניאן, הלגראנז'יאן אינו מכמת ערך פיזיקלי כלשהו, אלא מהווה תיאור מתמטי של המערכת. הדרך הפשוטה ביותר למצוא לגראנז'יאן של מערכת פיזיקלית היא בעזרת אנרגיה קינטית T ואנרגיה פוטנציאלית U של המערכת:

$L(q,{\dot {q}},t)=T(q,{\dot {q}},t)-U(q,{\dot {q}},t)$

כאן $\ q$ היא קבוצת קואורדינטות מוכללות ($\ q_{1},q_{2}...q_{n}$) ו $\ {\dot {q}}$ הן נגזרותיהן לפי הזמן (מהירויות מוכללות).

את משוואות התנועה מקבלים מתוך הלגראנז'יאן באמצעות משוואת אוילר-לגראנז': ${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial q}}$

דוגמה לשימוש בלגראנז'יאן

מטוטלת מתמטית

דוגמה נפוצה לשימוש בלגראנז'יאן היא פתרון של מטוטלת פשוטה. נבחר כקואורדינטה מוכללת את $\ \theta$, זווית מוט המטוטלת מן האנך. האנרגיה הקינטית של המטוטלת תהיה $T={\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}$ והאנרגיה הפוטנציאלית (כתוצאה מהכבידה): $\ U=-mgl\cos \theta$ (קו האפס של הפוטנציאל מוגדר כאשר המטוטלת תלויה על מישור הייחוס). הלגראנז'יאן יהיה לכן:

$L=T-U={\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}+mgl\cos \theta$ ומשוואת אוילר-לגראנז':
${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}\right)={\frac {d}{dt}}(ml^{2}{\dot {\theta }})=ml^{2}{\ddot {\theta }}={\frac {\partial L}{\partial \theta }}=-mgl\sin \theta$.

את $\ \sin \theta$ מקרבים בקירוב ראשון ל-$\ \theta$ ומקבלים את המשוואה הדיפרנציאלית של המטוטלת: ${\ddot {\theta }}=-{\frac {g}{l}}\theta$. כדאי לשים לב שגם $L={\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}+mgl\cos \theta +{\dot {\theta }}\theta$ הוא לגראנז'יאן של המערכת כי ${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}\right)={\frac {d}{dt}}(ml^{2}{\dot {\theta }}+\theta )=ml^{2}{\ddot {\theta }}+{\dot {\theta }}={\frac {\partial L}{\partial \theta }}=-mgl\sin \theta +{\dot {\theta }}$ ומקבלים את אותה משוואת התנועה.

ראו גם

• המילטוניאן
• משוואת המילטון-יעקובי
• מכניקה אנליטית
• חשבון וריאציות
• קואורדינטות מוכללות

לקריאה נוספת

• Mechanics, L.D. Landau and E.M Lifshitz